12. Стереометрия

12.1. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Параллельность прямых и плоскостей

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Теоремы о параллельных прямых и параллельных плоскостях:

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.

Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Углы между прямыми и плоскостями

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (угол на рис. 12.1).

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным скрещивающимся прямым.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой. Полуплоскости называются гранями, прямая – ребром двугранного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру (угол на рис. 12.2).

Градусная (радианная) мера двугранного угла равна градусной (радианной) мере его линейного угла.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярнойэтой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Две плоскости называются перпендикулярными, если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях:

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей

Признаки параллельности прямой и плоскости.

Признаки параллельности плоскостей.

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости.

Наклонная к плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах.

Признаки параллельности прямых в пространстве.

Признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым.

Признаки параллельности прямой и плоскости:

1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки параллельности плоскостей:

1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:

1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Наклонная к плоскости. Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

Признаки параллельности прямых в пространстве:

1) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

2) Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.

wiki. eduVdom. com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Содержание

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные прямые в пространстве – две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые, угол между которыми равен 90º.

Прямая и плоскость

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. См.Рис.1.

Перпендикулярные прямые обозначаются: a⊥b .

Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Свойства прямых, перпендикулярных плоскости: См.Рис.2.

Теорема о трех перпендикулярах. Наклонная к плоскости перпендикулярна к прямой, лежащей в этой плоскости, тогда и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна этой прямой. См.Рис.3.

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Признак перпендикулярности двух плоскостей:

Если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. См.Рис.4.