7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными

7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными.

Вопросы

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Метод подстановки.

Су­ще­ству­ет несколь­ко ме­то­дов ре­ше­ния си­стем. Один из них метод под­ста­нов­ки. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 1:

Суть ме­то­да под­ста­нов­ки за­клю­ча­ет­ся в том, что в одном из урав­не­ний нужно вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через вто­рую и под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние.

В дан­ном слу­чае удоб­но вы­ра­зить х во вто­ром урав­не­нии:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее ре­ше­ние си­сте­мы:

При­мер 2:

В дан­ном слу­чае неко­то­рая слож­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что ис­ход­ную си­сте­му нужно пре­об­ра­зо­вать, чтобы была воз­мож­ность удоб­но и без оши­бок при­ме­нить метод под­ста­нов­ки. Для этого умно­жим оба урав­не­ния на шесть:

Вы­ра­зим у из пер­во­го урав­не­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, пара чисел:

на дан­ном уроке мы озна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми и одним из ме­то­дов ее ре­ше­ния – спо­со­бом под­ста­нов­ки. Мы ре­ши­ли при­ме­ры для по­ни­ма­ния и за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Источник конспекта: http://interneturok. ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki? konspekt&chapter_id=10

Метод сложения.

Рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.

Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, как и метод под­ста­нов­ки, за­клю­ча­ет­ся в том, что из­на­чаль­но из двух урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми нужно по­лу­чить одно урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. Рас­смот­рим метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния на при­ме­ре:

При­мер 1:

За­да­на си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при под­ста­нов­ке ее в урав­не­ния по­лу­чи­лись вер­ные чис­ло­вые ра­вен­ства.

Неслож­но за­ме­тить, что в пер­вом урав­не­нии у стоит с ми­ну­сом, а во вто­ром – с плю­сом, и если сло­жить эти урав­не­ния, то у уни­что­жит­ся, и мы по­лу­чим одно урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

Най­дем зна­че­ние х:

Под­ста­вим зна­че­ние х во вто­рое урав­не­ние и най­дем у:

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что мы рас­смат­ри­ва­ем метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, зна­чит, урав­не­ния можно не толь­ко скла­ды­вать, но и вы­чи­тать. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер

При сло­же­нии урав­не­ний по­лу­чим:

По­про­бу­ем вы­честь урав­не­ния, при­чем, вы­чтем пер­вое из вто­ро­го:

на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли новый метод ре­ше­ния си­стем двух ли­ней­ных урав­не­ний – метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Мы ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров для за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Решение систем линейных уравнений графическим способом

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственноерешение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечноемножество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

«Решение систем линейных уравнений с двумя переменными» ( 7 класс)

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными Алгебра – 7 класс

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы

Формируемые результаты Предметные : обобщить и систематизировать знания о системах двух линейных уравнений с двумя переменными. Личностные : формировать умение соотносить полученный результат с поставленной целью. Метапредметные : формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным показателям, моделировать выбор способов деятельности, группировать.

Графическое решение систем линейных уравнений с двумя переменными Если угловые коэффициенты прямых различны, то они пересекаются в одной точке, следовательно , система имеет единственное решение. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью Оу различны, то прямые параллельны, следовательно, система не имеет решения. Если уравнения прямых одинаковы, то их графики совпадают, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки 4х + у = 2, х – у = 3. 1-й шаг. Выразить из какого – нибудьуравнения системы одну переменнуючерездругую. х = 3 + у 2-й шаг. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. 4(3+ у)+ у = 2, х = 3 + у 3-й шаг. Решить полученное уравнение с одной переменной. 4(3 + у) + у = 2, 12 + 4у + у = 2, 5у= — 12 + 2, 5у = — 10, у = — 2. 4-й шаг. Найти соответствующее значение второй переменной. х = 3 + у, х = 3 + ( -2) , х = 1. 5-йшаг. Записать ответ Ответ: ( 1 ; — 2)

Решение систем линейных уравнений способом подстановки 3х + 2у = — 1, 5х + 4 у = — 3. 1-й шагУмножитьпочленноуравнения системынатакие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. — 6х – 4у = 2, 5х + 4у = -3. 2-й шаг. Сложитьпочленнолевые и правые части уравнений системы. — х = — 1, 3-й шаг. Решить получившеесяуравнение с одной переменной. — х = — 1, х = -1 : (-1), х = 1 4-й шаг. Найти соответствующее значение второй переменной. если х = 1 , то 3х+ 2у = — 1, 3· 1 + 2у = — 1, 2у = — 4, у = — 2. 5-йшаг. Записать ответ Ответ: ( 1 ; — 2)

Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных. а) б) в) Задание № 1 х + 3у = 1, — 4х + 2у = 5 ; х – у = 7, 5х + 3у = 2 ; 2х + 3у = — 2, 5х – 6у = 4.

Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных. а) б) в) Задание № 1 х + 3у = 1, — 4х + 2у = 5 ; х – у = 7, 5х + 3у = 2 ; 2х + 3у = — 2, 5х – 6у = 4.

Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку : а) а) б) Задание № 2 х + 2у = -1, х — у = — 2 ; 5х – 3у = 14, 2х + у = 10 .

Решите способом сложения систему уравнений : а) а) б) Задание № 3 х + у = 4, 3х — у = 20 ; 4х – 5у = 1, 2х — 3у = 2 ;

© 2018 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Системы линейных уравнений с двумя переменными. 7-й класс

Разделы: Математика

Тип урока: урок изучения нового.

Вид урока: традиционный

Диагностируемые цели урока:

  • Обучающие: выявить содержание понятия «системы линейных уравнений», используя методы аналогии, индукции, дедукции;
  • Развивающие: развивать учебно-познавательную компетентность, коммуникативную и ценностно-смысловую компетентности.
  • Воспитательные: воспитывать аккуратность, культуру общения; создать условия для самооценки учащихся.

В результате ученик:

  • Знает определение системы линейных уравнений с двумя переменными;
  • Знает, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными;
  • Умеет записывать систему линейных уравнений с двумя переменными;
  • Понимает, сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными;
  • Умеет определять, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько.

Этапы урока.

  • Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.
  • Изучение и усвоение новых знаний и способов деятельности.
  • Первичная проверка усвоения знаний.
  • Итог урока.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1.1. Актуализация знаний и умений учащихся.

а) 3х – у = 17 в) 13х + 6у = 0
б) х 2 – 2у = 5 г) ху + 2х = 9.

2. Является ли пара чисел и решением уравнения х + у = 6? Укажите еще два решения этого уравнения.
3. Из линейного уравнения 2х + у = 4 выразите: а) переменную х; б) переменную у.
4. Что представляет собой график уравнения 2х + у = 6?
5. Определите координаты точки пересечения прямых:

1) вид уравнения
2) решение уравнения.

(учитель записывает цель на доске)

1. Как записать систему линейных уравнений.
2. Сформулировать определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.
3. Определить, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными.
4. Сколько решений может иметь система.
5. Выяснить способы решения систем.

3х – 4у = 8 (1)
2х + 5у = – 10 (2)
4ху – 9х = 0 (3)
3х 2 – 2у = 4 (4)
+ = 11 (5)