7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными

7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными.

Вопросы

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Метод подстановки.

Су­ще­ству­ет несколь­ко ме­то­дов ре­ше­ния си­стем. Один из них метод под­ста­нов­ки. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 1:

Суть ме­то­да под­ста­нов­ки за­клю­ча­ет­ся в том, что в одном из урав­не­ний нужно вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через вто­рую и под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние.

В дан­ном слу­чае удоб­но вы­ра­зить х во вто­ром урав­не­нии:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее ре­ше­ние си­сте­мы:

При­мер 2:

В дан­ном слу­чае неко­то­рая слож­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что ис­ход­ную си­сте­му нужно пре­об­ра­зо­вать, чтобы была воз­мож­ность удоб­но и без оши­бок при­ме­нить метод под­ста­нов­ки. Для этого умно­жим оба урав­не­ния на шесть:

Вы­ра­зим у из пер­во­го урав­не­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, пара чисел:

на дан­ном уроке мы озна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми и одним из ме­то­дов ее ре­ше­ния – спо­со­бом под­ста­нов­ки. Мы ре­ши­ли при­ме­ры для по­ни­ма­ния и за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Источник конспекта: http://interneturok. ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki? konspekt&chapter_id=10

Метод сложения.

Рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.

Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, как и метод под­ста­нов­ки, за­клю­ча­ет­ся в том, что из­на­чаль­но из двух урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми нужно по­лу­чить одно урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. Рас­смот­рим метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния на при­ме­ре:

При­мер 1:

За­да­на си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при под­ста­нов­ке ее в урав­не­ния по­лу­чи­лись вер­ные чис­ло­вые ра­вен­ства.

Неслож­но за­ме­тить, что в пер­вом урав­не­нии у стоит с ми­ну­сом, а во вто­ром – с плю­сом, и если сло­жить эти урав­не­ния, то у уни­что­жит­ся, и мы по­лу­чим одно урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

Най­дем зна­че­ние х:

Под­ста­вим зна­че­ние х во вто­рое урав­не­ние и най­дем у:

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что мы рас­смат­ри­ва­ем метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, зна­чит, урав­не­ния можно не толь­ко скла­ды­вать, но и вы­чи­тать. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер

При сло­же­нии урав­не­ний по­лу­чим:

По­про­бу­ем вы­честь урав­не­ния, при­чем, вы­чтем пер­вое из вто­ро­го:

на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли новый метод ре­ше­ния си­стем двух ли­ней­ных урав­не­ний – метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Мы ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров для за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Решение систем линейных уравнений графическим способом

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственноерешение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечноемножество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

«Решение систем линейных уравнений с двумя переменными» ( 7 класс)

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными Алгебра – 7 класс

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы

Формируемые результаты Предметные : обобщить и систематизировать знания о системах двух линейных уравнений с двумя переменными. Личностные : формировать умение соотносить полученный результат с поставленной целью. Метапредметные : формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным показателям, моделировать выбор способов деятельности, группировать.

Графическое решение систем линейных уравнений с двумя переменными Если угловые коэффициенты прямых различны, то они пересекаются в одной точке, следовательно , система имеет единственное решение. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью Оу различны, то прямые параллельны, следовательно, система не имеет решения. Если уравнения прямых одинаковы, то их графики совпадают, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки 4х + у = 2, х – у = 3. 1-й шаг. Выразить из какого – нибудьуравнения системы одну переменнуючерездругую. х = 3 + у 2-й шаг. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. 4(3+ у)+ у = 2, х = 3 + у 3-й шаг. Решить полученное уравнение с одной переменной. 4(3 + у) + у = 2, 12 + 4у + у = 2, 5у= — 12 + 2, 5у = — 10, у = — 2. 4-й шаг. Найти соответствующее значение второй переменной. х = 3 + у, х = 3 + ( -2) , х = 1. 5-йшаг. Записать ответ Ответ: ( 1 ; — 2)

Решение систем линейных уравнений способом подстановки 3х + 2у = — 1, 5х + 4 у = — 3. 1-й шагУмножитьпочленноуравнения системынатакие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. — 6х – 4у = 2, 5х + 4у = -3. 2-й шаг. Сложитьпочленнолевые и правые части уравнений системы. — х = — 1, 3-й шаг. Решить получившеесяуравнение с одной переменной. — х = — 1, х = -1 : (-1), х = 1 4-й шаг. Найти соответствующее значение второй переменной. если х = 1 , то 3х+ 2у = — 1, 3· 1 + 2у = — 1, 2у = — 4, у = — 2. 5-йшаг. Записать ответ Ответ: ( 1 ; — 2)

Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных. а) б) в) Задание № 1 х + 3у = 1, — 4х + 2у = 5 ; х – у = 7, 5х + 3у = 2 ; 2х + 3у = — 2, 5х – 6у = 4.

Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных. а) б) в) Задание № 1 х + 3у = 1, — 4х + 2у = 5 ; х – у = 7, 5х + 3у = 2 ; 2х + 3у = — 2, 5х – 6у = 4.

Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку : а) а) б) Задание № 2 х + 2у = -1, х — у = — 2 ; 5х – 3у = 14, 2х + у = 10 .

Решите способом сложения систему уравнений : а) а) б) Задание № 3 х + у = 4, 3х — у = 20 ; 4х – 5у = 1, 2х — 3у = 2 ;

© 2018 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы вспомним понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, ее общий вид, варианты и способы решения. Мы вспомним некоторую терминологию и решим несколько примеров.

Понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, основные факты

Напомним, что из себя представляет система двух линейных уравнений с двумя переменными. Это система вида:

Из первого уравнения можно получить линейную функцию, в случае если : . График данного уравнения – прямая линия.

Bторое линейное уравнение:

, из него также можно получить линейную функцию, при условии, что : . График данного уравнения – также прямая линия.

Запишем систему в другом виде:

Мы знаем, что множеством решений первого уравнения является множество точек, лежащих на соответствующей ему прямой, аналогично и для второго уравнения множество решений – это множество точек на другой прямой. Две прямые могут пересекаться – и тогда у системы будет единственное решение, единственная пара чисел х и у будет удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Это происходит, если . Две прямые также при некоторых значениях численных параметров могут быть параллельны, в таком случае они никогда не пересекутся и не будут иметь ни одной общей точки, значит в этом случае система не будет иметь решений. Для этого должны выполняться условия: и . Кроме того, две прямые могут совпадать, и тогда каждая точка будет решением обоих уравнений, а значит система будет иметь бесчисленное множество решений. Для этого должны выполняться условия: и .

Способ подстановки

На данном уравнении можно продемонстрировать сразу несколько способов решения систем уравнений.

1 способ – способ подстановки: выразим во втором уравнении х и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Подставим найденное значение у во второе уравнение и найдем значение х:

Способ алгебраического сложения

2 способ – способ алгебраического сложения: выполним сложение уравнений:

Из полученного уравнения найдем х:

Теперь вычтем из первого уравнения системы второе:

Таким образом, мы получили решение системы двумя способами, и это решение – точка с координатами (2; 1).

Системы уравнений с одним решением

В данном случае удобнее применить способ алгебраического сложения, вычтем из второго уравнения первое. Получаем:

Найдем значение у:

Подставим значение у во второе уравнение и найдем х:

В данной системе нет переменных с одинаковыми коэффициентами, но мы можем их уравнять самостоятельно, для этого выполним преобразования:

Выполним сложение уравнений:

Подставим полученное значение у в первое уравнение и определим значение х:

Системы, имеющее бесконечное множество или не имеющие решений

Разделим второе уравнение на два:

Вычтем из первого уравнения второе:

Очевидно, что полученное выражение не зависит от значений переменных системы и не является верным числовым равенством, значит, система не имеет решений. В данном случае рекомендуется графически доказать, что система не имеет решений, для этого из уравнений записать линейные функции, построить их и показать, что прямые параллельны.

Очевидно, что, если разделить второе уравнение на два, получим первое уравнение:

Мы получили два одинаковых уравнения, значит, чтобы довести решение системы до конца, можем оставить одно: ; это линейное уравнение с двумя переменными, график его – прямая линия, и оно имеет бесчисленное множество решений, а значит и система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы записать решения, выразим у: , таким образом, дадим ответ: х – любое число,

Графическая иллюстрация (рис. 1):

Подведение итогов урока

Вывод: мы рассмотрели системы двух линейных уравнений с двумя переменными, варианты и способы их решения. Мы вспомнили некоторые термины, понятия и свойства и решили примеры для закрепления техники.

Список литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  3. ЕГЭ по математике (Источник).
  4. Школьный помощник (Источник).
  5. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  6. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №1072, ст. 200;
  2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №1084, ст. 204;
  3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №1086, ст. 204.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.