Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Определение и формулы биссектрисы равнобедренного треугольника

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего против основания, является медианой и высотой.

Три биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника.

Для биссектрисы равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Биссектрисы делят противоположные боковые стороны треугольника на части, пропорциональные прилегающим сторонам:

  • Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  • Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.
  • Все формулы для треугольника

    1. Как найти неизвестную сторону треугольника

    Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

    a , b , c — стороны произвольного треугольника

    α , β , γ — противоположные углы

    Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

    * Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

    Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

    2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

    Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

    a , b — катеты

    c — гипотенуза

    α , β — острые углы

    Формулы для катета, ( a ):

    Формулы для катета, ( b ):

    Формулы для гипотенузы, ( c ):

    Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

    3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

    Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

    b — сторона (основание)

    a — равные стороны

    α — углы при основании

    β — угол образованный равными сторонами

    Формулы длины стороны (основания), (b ):

    Формулы длины равных сторон , (a):

    4. Найти длину высоты треугольника

    Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

    Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

    H — высота треугольника

    a — сторона, основание

    b, c — стороны

    β , γ — углы при основании

    p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

    R — радиус описанной окружности

    S — площадь треугольника

    Формула длины высоты через стороны, ( H ):

    Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

    Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

    Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

    5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

    В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

    H — высота из прямого угла

    a, b — катеты

    с — гипотенуза

    c 1 , c 2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

    α , β — углы при гипотенузе

    Формула длины высоты через стороны, ( H ):

    Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

    Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

    Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , ( H ):

    6. Найти длину биссектрисы в треугольнике

    L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

    a, b — стороны треугольника

    с — сторона на которую опущена биссектриса

    d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

    γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

    p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2

    Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

    Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

    Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

    Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):

    Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

    Как найти биссектрису треугольника?

    Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника.

    Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

    Вычислить биссектрису можно, если знать длину стороны, которую она делит пополам, или же величины углов треугольника.

    Биссектриса равнобедренного треугольника

    Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, то и биссектрисы прилегающих углов будут равными. Т. к. углы треугольника также равны.

    При проведении биссектрисы из одного из углов, она будет считаться высотой данного треугольника и его медианой.

    Задачи, как найти биссектрису треугольника, решаются с применением формул.

    Для решения данных формул в условии должны быть обозначены значения длин сторон, или величин углов треугольника. Зная их, можно вычислить биссектрису по косинусам, либо по периметру.

    Например, берем равнобедренный треугольник ABC и проводим биссектрису AE к основанию BC. Полученный треугольник AEB – прямоугольный. Биссектриса – это его высота, сторона AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, а BE и AE – катеты.

    Применяется теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Исходя из нее BE = v (AB — AE). Поскольку AE – это медиана треугольника ABC, то катет BE = BC/2. Таким образом, BE = v (AB — (BC /4)).

    В случае, если задан угол основания ABC, то биссектриса треугольника AEB, AE = AB/sin(ABC). Угол основания AEB, BAE = BAC/2. Поэтому биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).

    Как найти биссектрису треугольника, вписанного в другой треугольник?

    В равнобедренном треугольнике ABC проведем к стороне АС сторону ВК. Этот отрезок не будет являться ни биссектрисой треугольника, ни его медианой. Здесь применятся формула Стюарта.

    По ней вычисляется периметр треугольника – сумма длин всех его сторон. Для ABC вычисляем полупериметр. Это периметр треугольника, деленный пополам.

    Р = ( АВ+ ВС+ АС)/2. По этой формуле высчитываем биссектрису, проведенную к стороне. ВК = v(4*ВС*АС*Р (Р-АВ)/ (ВС+АС).

    По теореме Стюарта можно также увидеть, что биссектриса, проведенная к другой стороне треугольника, будет равна ВК, т. к. эти две стороны треугольника равны между собой.

    Биссектриса прямоугольного треугольника

    Для того чтобы знать, как находиться биссектриса в прямоугольном треугольнике, нужно также пользоваться формулами. Не стоит забывать, что в прямоугольном треугольнике один угол обязательно прямой, т. е. равный 90 градусам. Таким образом, если биссектриса начинается из прямого угла, даже если в условии не будет указан синус или косинус угла, можно их узнать по величине угла.

    • Находится биссектриса по формуле Стюарта. Если имеется треугольник АВК, и его полупериметр высчитывается, как Р = ( АВ+ ВК+ АК)/2. Исходя из полученного, высчитываем биссектрису АЕ = v(4*ВК*АК*Р (Р-АВ)/ (ВК+АК).
    • Длина биссектрисы определяется еще таким образом. АЕ = v (ВК*АК) – (ЕВ*ЕК), где ЕВ и ЕК – отрезки, на которые биссектриса АЕ делит сторону ВК.
    • Либо можно воспользоваться косинусами углов прямоугольного треугольника, если они известны. Биссектриса будет равна (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
    • Либо находить биссектрису так. По формуле (cos а) – (cos b)/2, найдите необходимый в дальнейшем делитель. Далее высота, проведенная к стороне с, делится на полученное значение. Для получения косинусов нужно знать величину углов. Либо вычислить их, исходя из величины единственно известного угла – прямого, в 90 градусов.

    Равносторонний треугольник

    В таком треугольнике все стороны равны между собой, соответственно и углы. Поэтому все биссектрисы и медианы также будут равными. Если некоторые значения сторон будут неизвестными, то нужным будет значение одной стороны. Т. к. стороны равны. И величины углов также. Поэтому для нахождения биссектрисы по формуле косинусов, нужно знать либо вычислить значение лишь одного из углов.

    Длина медианы и биссектриса треугольника равна — L.

    Стороны треугольника равны — а.

    В треугольнике АВС, биссектриса АЕ = (АВСv3)/2.

    По этой же формуле вычисляются высота и медиана равностороннего треугольника.

    Разносторонний треугольник

    В таком треугольнике все стороны имеют разные значения, поэтому и биссектрисы не равны между собой.

    Берется треугольник с произвольными значениями сторон. Если некоторые значения сторон неизвестны, то они вычисляются по формуле периметра треугольника.

    После того, как биссектрисы углов будут проведены, стоит прибавить к их обозначениям нижний индекс1. Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, обозначаются также с нижним индексом 1.

    Длины этих отрезков вычисляются по теореме синусов.

    Длина же биссектрисы вычисляется как L = v аb – а1b1, где аb – прилежащие к отрезкам стороны, а а1b1 – произведение отрезков. Формула применяется ко всем сторонам разностороннего треугольника. Главное, это знать длины сторон, либо вычислить их, зная величины прилегающих к ним углов.