Биссектрисы углов а и в трапеции авсд пересекаются в точке к лежащей

Биссектрисы углов B и C тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, ле­жа­щей на сто­ро­не AD. Докажите, что точка O рав­но­уда­ле­на от пря­мых AB, BC и CD.

В за­да­че воз­мож­ны два случая.

Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и BOK Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да OH = OK. Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ков KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.

Второй случай, AD — одна из бо­ко­вых сторон. Не­смот­ря на дру­гую гео­мет­ри­че­скую конфигурацию, до­ка­за­тель­ство пол­но­стью по­вто­ря­ет до­ка­за­тель­ство для пер­во­го случая.

Задача 16944 Биссектрисы углов А и В трапеции ABCD

Биссектрисы углов А и В трапеции ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и AD.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Прямоугольные треугольники ВМК и ВTК равны по общей гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников
СК=МК

Биссектрисы углов A и D трапеции

Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.

Дано : ABCD — трапеция, AD∥BC, AM — биссектриса ∠BAD, DM — биссектриса ∠DAB, AM∩DM=M, M∈BC,

1) Рассмотрим треугольники AMK и AMF. ∠AKM=90º, ∠AFM=90º (по условию).

∠MAK=∠MAF (так как AM — биссектриса ∠BAD по условию).

Гипотенуза AM — общая.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MK=MF.

2) Аналогично, из равенства треугольников DMK и DME следует MK=ME.

3) Значит, MF=MK=ME.

Что и требовалось доказать .

Если точка пересечения биссектрис углов при основании трапеции принадлежит другому основанию, то эта точка равноудалена от трёх сторон трапеции.

Для доказательства можно непосредственно воспользоваться свойством биссектрисы угла.

Так как любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то для угла BAD MF=MK, для угла ADC MK=ME, откуда следует, что все три отрезка равны: MF=MK=ME.