Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке

Задание 26. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 6, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 6.

Так как ABCD параллелограмм, а AK и BK – биссектрисы углов A и B, то точка K равноудалена от сторон AB и BC (см. рисунок). По условию задачи точка K удалена от стороны AB на расстояние 6 единиц, следовательно, от стороны BC она также удалена на 6 единиц. Получаем, что высота параллелограмма (красная линия на рисунке) равна единиц. Тогда площадь параллелограмма можно найти как

Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке

28 августа СРОЧНО!
11 сентября в Москве суд над Дмитрием Гущиным за сообщение об утечках на ЕГЭ-2018. Ищем средства на юриста. Подробности.

Наша группа Вконтакте
Мобильные приложения:

Биссектрисы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь параллелограмма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

Проведём через точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис высоту. Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, углы и равны, сто­ро­на — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Аналогично, равны тре­уголь­ни­ки H и от­ку­да Найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на высоту:

Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке

В прошлый раз мы рассмотрели свойства параллелограмма, в котором точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис двух углов па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, при­над­ле­жит его про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­не. Перейдем к примерам использования этих свойств.

Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке, принадлежащей про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­не. Найти периметр параллелограмма, если его большая сторона равна 40 см.

Дано : ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC, BC=20 см.

Если биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне, то одна сторона параллелограмма в два раза больше другой. Значит,

Периметр параллелограмма ABCD равен

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, F, принадлежащей сто­ро­не BC. ∠D=120º, DF=8. Найти периметр ABCD и AF.

Дано : ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC,

Рассмотрим треугольник AFD.

Так как биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны, то ∠AFD=90º.

Так как FD — биссектриса угла ADC, то

Так как биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, треугольник CDF — равнобедренный с основанием DF. А так как ∠CDF=60º, то треугольник CDF — равносторонний, и CD=DF=8.

Так как биссектрисы углов A и D параллелограмма пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне, то одна сторона параллелограмма в два раза больше другой: BC=2AB.