Численные методы решения нелинейных уравнений

Пусть имеется уравнение вида

f(x)= 0

где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.

│x* – xпр │ 0 элемент xn выражается через элемент xn-1 по рекуррентной формуле

В теореме 1 функции мало быть непрерывной, ей нужно быть монотонной, иначе теорема не сработает.

Чтобы аналитически выполнять «отделение корней» — ИМХО надо вычислить вторую производную, т. к. она равна нулю в точках перегиба, т. е. точках где монотонность функции изменяется. Ну а иначе — не понятно каким образом мне подбирать границы интервала.

Я думаю, что вычисление функции, для которой ищете корни надо было вынести в отдельную функцию. Очень странное ограничение у вас на количество итераций, зачем оно?

В теореме 1 сказано о наличии корня на указанном интервале, а не о его единственности.
Чтобы говорить о единственности корня необходимо убедиться в монотонности функции на рассматриваемом интервале. Для этого необходимо определить экстремумы функции (взять первую производную функции и приравнять ее к нулю). Экстремумы ограничивают интервалы монотонности функции.
Да, можно вынести вычисление в отдельную функцию (как сделано в примере по дихотомии).
Ограничение на количество итераций играет роль «предохранительного клапана» и предотвращает «зависание» алгоритма.

Здравствуйте, спасибо за отличную статью, очень помогла разобраться в теме. Можете объяснить, почему в методе Ньютона в условии продолжения цикла происходит сравнение допустимой ошибки eps со значением функции по модулю fabs(f), а не с разностью | Xn+1 — Xn | ?

Наша задача — найти такое значение x, при котором функция будет принимать нулевое значение.

Метод итераций

Правила ввода функции

  1. Примеры
    ≡ x^2/(x+2)
    cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
    ≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай , то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Метод решения нелинейных уравнений метод простой итерации

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство

Как указано в теореме, метод Ньютона обладает локальной сходимостью, то есть областью его сходимости является малая окрестность корня .

Неудачный выбор может дать расходящуюся итерационную последовательность.

Метод простой итерации (метод последовательных повторений).

Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации .

Это преобразование можно выполнить различными способами.

Функция называется итерационной функцией.

Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

Теорема о сходимости метода простой итерации.

Пусть в некоторой — окрестности корня функция непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неравенству

где 0 0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство

Если величина , то можно использовать более простой критерий окончания итераций:

Если в неравенстве ( 5 ) q > 1 , то итерационный метод ( 4 ) расходится .

Если в неравенстве ( 5 ) q = 1 , то итерационный метод ( 4 ) может как сходится так и расходится .

В том случае , если q > = 1 , то итерационный метод ( 4 ) расходится и

применяется метод простой итерации с итерационным параметром .

Ключевой момент в применении метода простой итерации с итерационным параметром состоит в эквивалентном преобразовании уравнения :

где α – итерационный параметр (вещественная константа ).

Расчетная формула метода простой итерации с итерационным параметром имеет вид:

Итерационный процесс , построенный по форме ( 10) сходится , если :

1-ая производная функции f(x)знакопостоянна и ограничена на интервале локализации изолированного корня [a, b] ;

знак итерационного параметра α противоположен знаку 1-ой производной функции f(x) на интервале локализации изолированного корня [a, b] ;

модуль значения итерационного параметра α оценивается из неравенства