Дифференциал непрерывной функции двух переменных в точке локального минимума

Отметим, что если функция имеет в точке локальный экстремум, то:

в случае локального максимума,

в случае локального минимума.

Из сказанного выше следует, что полное приращение функции не меняет знака в . Однако для всех точек определить знак приращения практически невозможно, поэтому надо искать другие условия, по которым можно судить о наличии и характере экстремума функции в данной точке.

Теорема (необходимые условия существования локального экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

или, по крайней мере, одна из них не существует.

Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы.

Рассмотрим в лишь те точки, для которых . Получим функцию одной переменной . Эта функция имеет в точке экстремум, следовательно, .

Аналогично доказывается, что .

Проиллюстрируем примером второе утверждение теоремы .

Функция имеет максимум в точке О(0; 0; 0), так как для любой точки (О) выполняется условие (0; 0) > . Частные производные

в точке О(0; 0) не существуют для . Графиком этой функции является конус, представленный на рисунке.

Следствие.Если функция имеет в точке локальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.

Точка , в которой частные производные равны нулю, или хотя бы одна из них не существует, называется точкой возможного экстремума. Такие точки называются также стационарными или критическими.

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием существования экстремума функции в точке .

Действительно, возьмем, например, функцию . Она задана на всей числовой плоскостиR 2 . Точка О(0; 0) будет критической, поскольку частные производные в ней равны нулю. Так как функция равна нулю в точке О, а в любой сколь угодно малой окрестности (О) она принимает как положительные, так и отрицательные значения, то функция не имеет в точке О экстремума.

Теорема (достаточные условия существования локального экстремума). Пусть — стационарная точка трижды дифференцируемой в функции и пусть

Тогда стационарная точка является:

1) точкой локального максимума, если и ;

2) точкой локального минимума, если и ;

3) если , то стационарная точка не является точкой локального экстремума функции.

Замечание.Если , то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке . В этом случае необходимо произвести дополнительные исследования знака функции в .

Приращения и не могут равняться нулю одновременно, поскольку в подобном случае точка совпала бы с точкой и функция не получила бы никакого приращения.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.Вычислим частные производные первого порядка данной функции:

Находим точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений:

Таким образом, существует только одна стационарная точка (1; 0), в которой функция может достигать экстремума.

Воспользуемся теоремой о достаточных условиях существования локального экстремума.

Для этого найдем частные производные второго порядка функции z:

Вычислим значения частных производных второго порядка для стационарной точки :

то по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума точка (1; 0) является точкой локального экстремума, а т. к. А > 0, то точка (1; 0) является точкой локального минимума, при этом

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.Вычислим частные производные первого порядка данной функции: , .

Для определения точек возможного экстремума решим систему уравнений:

Данная система имеет два решения

Следовательно, функция имеет две стационарные точки (0; 0) и (1, 1). Вычислим частные производные второго порядка функции :

Вычислим для точки (0; 0). Так как (0; 0) , то в точке (0; 0) нет экстремума.

Вычислим для точки (1, 1). Т. к. (1; 1) , то точка (1, 1) является точкой локального экстремума, а т. к. , то точка (1, 1) является точкой локального максимума, при этом

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.Вычислим частные производные первого порядка функции :

Решая систему уравнений:

находим единственную стационарную точку (0; 0) данной функции.

Найдем частные производные второго порядка функции :

Для стационарной точки (0; 0)

Следовательно, по теореме о достаточных условиях существования локального экстремума нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке (0; 0). В данном случае стационарная точка (0; 0) является точкой локального минимума, поскольку, для (0; 0)=0.

Дифференциал непрерывной функции двух переменных в точке локального минимума

В прямоугольном треугольнике высота опущенная на гипотенузу делит его на треугольники, площади которых: 54 см^2 и 6см^2. Найти все стороны треугольника.

Определение локального экстремума функции двух переменных.

Функция имеет Локальный максимум в точке М0(х0,у0), если значении функции в этой точке больше, чем её значение в любой другой точке М(х, у) некоторой окрестности точки М0. (т. е. М0 – максимум, если для любых точек её окрестности.)

Функция имеет Локальный минимум В точке М0(х0,у0), если значении функции в этой точке меньше, чем её значение в любой другой точке М(х, у) некоторой окрестности точки М0 (Точка М0 – минимум, если для любых точек её окрестности.)

Условия существования экстремума для функции двух переменных.

Необходимое: Если функция достигает экстремума при х=х0, у=у0, то каждая частная производная первого порядка от этой функции при этих значениях аргументов или обращается в ноль или не существует.

Достаточное: Пусть в некоторой окрестности точки М0(х0,у0) функция имеет непрерывные частные производные, равные нулю в этой точке, тогда, если, М0(х0,у0) – является экстремумом функции,

Причём, если, точка М0 – минимум, если, точка М0 – максимум.

Производная неявной функции : , тогда

Определение производной по направлению заданного вектора. Производная функции, в данном направлении, равна пределу отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения, при стремлении последнего к нулю.

Формула производной по направлению.

, где — направляющие косинусы вектора

Вектор градиент.Вектор, координаты которого равны частным производным функции, называется вектором градиентом этой функции. .

Признак дифференцируемости функции двух переменных в точке.

Если функция имеет непрерывные частные производные в точке, то она дифференцируема в этой точке.

Полным дифференциалом функции называется главная, линейная часть полного приращения, вычисленная по формуле: , где дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями ( ).

Признак полного дифференциала.

Выражение является полным дифференциалом некоторой функции в области D, если функции и и их частные производные непрерывны в этой области и выполняется

Использование полного дифференциала в приближенных вычислениях

ПРИМЕР.Найти полный дифференциал и полное приращение функции в точке М(4;5) при = 0,1; = 0,2.

Формула для вычисления приближенного значения функции.

Частные производные сложной функции.

Формула для вычисления полной производной сложной функции.

Формула для вычисления полного дифференциала сложной функции.

Дифференциал непрерывной функции двух переменных в точке локального минимума

Экстремумы функций двух и трёх переменных

Поздравляю всех читателей сайта с большим событием – после кропотливой и технически сложной разработки темы Функций нескольких переменных, наконец-то появилась на свет эта долгожданная статья! Сегодня на уроке мы научимся находить максимумы и минимумы функций двух и трёх переменных, а также обобщим алгоритм решения данной задачи на случай бОльшего количества аргументов. С понятиями точек экстремума и экстремумов вы уже знакомы из статьи Об экстремумах функции одной переменной, и для «старших сестёр» эти понятия имеют родственный смысл. Освежим в памяти элементарную терминологию:

– точки экстремума – это общее название точек минимума и максимума;

– экстремумы – это общее название минимумов и максимумов.

Начнём с Функции двух переменных , применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости, а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности.

Да, и сразу важное напутствие для «чайников», нормальных студентов =) и сомневающихся – рассматриваемый материал сам по себе прост, но требует базовых знаний и навыков в нескольких разделах высшей математики. Поэтому если у вас возникнет (или уже возникло) какое-либо недопонимание по ходу изложения, то проставленные ссылки в помощь.

Итак, «действующие лица» следующие: функция, внутренняя точка её Области определения и — окрестность данной точки. Для удобства считаем, что окрестность представляет собой круг радиуса с центром в точке (в учебной литературе чаще встречается окрестность-квадрат).

Определение: если в некоторой — окрестности точки выполнено неравенство, то говорят, что функция имеет Минимум в точке.

При этом точка называется Точкой минимума, а соответствующее значение функции («высота») – Минимумом. Ещё раз призываю не путаться в терминах!

Простейший пример минимума – это вершина Эллиптического параболоида, чаша которого направлена вверх:

Давайте ещё раз внимательно перечитаем определение и вдумаемся в его суть. Сформулированное определение говорит нам о том, что функция достигает минимума в точке, если существует хоть какая-то — окрестность этой точки, в которой значение высоты меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений.

Следует отметить, что в нашем примере под определение подходит вообще любая — окрестность, т. к. поверхность уходит вверх на бесконечность и никаких точек ниже – нет в принципе. Такой минимум называют глобальным.

А теперь мысленно разверните чашу параболоида вниз – чтобы красная точка стала «вершиной горы».

Определение: если в некоторой — окрестности точки выполнено неравенство, то говорят, что функция имеет Максимум в точке.

Соответственно, точка называется Точкой максимума, а значение – Максимумом функции.

В случае с нашим параболоидом максимум, естественно, тоже глобальный, но на практике гораздо чаще встречаются локальные экстремумы. Так, например, функция на нижеследующем чертеже достигает локального максимума (слева вверху) и локального минимума (справа внизу):

Наверное, всем понятно, в чём различие, но всё-таки закомментирую: почему, например, такой максимум называют локальным? Потому что функция на своей Области определения достигает и бОльших значений – по правую руку поверхность уходит «за облака», где о красной точке разве что легенды слагают. Таким образом, о «вершине горы» речь идёт лишь на локальном участке области определения. «Гора», кстати, «горЕ» рознь – бывают поверхности, у которых минимумы и максимумы если и различимы на глаз, то выглядят, как пупырышки =) Важно, чтобы существовала пусть даже очень малая — окрестность точки, где выполнено условие минимума или максимума (см. определения).

Из вышесказанного следует ещё одна важная вещь, которая опять же касается понятий. Пожалуйста, РАЗЛИЧАЙТЕ и будьте аккуратны в выражениях:

Максимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что Максимальное значение функции;

Минимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что Минимальное значение функции.

Да, в примере с эллиптическим параболоидом соответствующие понятия совпадают, но вот у только что рассмотренной поверхности «красный» максимум – это отнюдь не наибольшее, а «оранжевый» минимум – отнюдь не наименьшее значение функции. Задачу Нахождения минимального и максимального значений функции мы рассмотрим в самом ближайшем будущем, а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:

Как исследовать функцию на экстремум?

Прежде всего, нужно ориентироваться на Необходимое условие экстремума:

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то обе Частные производные 1-го порядка в данной точке равны нулю:

Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют Критической, а чаще – Стационарной точкой.

! Примечание: условие необходимо именно для дифференцируемой в точке функции. Как мы увидим в Примере 6, экстремум может существовать и при других обстоятельствах.

Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Его там может и не быть.

Так, например, у функции, которая как раз задаёт Эллиптический параболоид, частные производные обращаются в ноль в точке – и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»).

Но у функции с производными, равными нулю в этой же точке, не наблюдается ничего подобного. Это Гиперболический параболоид или «седло»:

Для точки Не существует — окрестности, в которой поверхность располагалась бы только вверху или только внизу. Грубо говоря, в любой — окрестности точки куски поверхности есть и сверху, и снизу.

Точку такого рода так и называют – Седловой, а иногда, по известной географической ассоциации – Точкой перевала.

Читатели, знакомые с материалами статьи Производная по направлению и градиент, наверное, уже поняли геометрический смысл выкладок: из условий

следует равенство нулю Производной и по всем направлениям: . То есть, если мы сделаем бесконечно малый «шажок» из точки в любую сторону, то наша высота останется неизменной. И этот факт справедлив, как для точек экстремума, так и для точки перевала.

Итак, условия необходимы для существования экстремума дифференцируемой там функции, но на основании только этой информации мы ещё не можем сделать вывода о характере точки. С достаточным условием экстремума познакомимся прямо по ходу практической задачи, а то что-то мы засиделись в теории:

Исследовать на экстремум функцию

И решим систему:

В данном случае получена Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Но мудрить здесь не надо – как проще, так и решаем. Из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение:

– стационарная точка. Тут, главное, не перепутать координаты.

Выполним промежуточную проверку:

Отлично. А точнее, хорошо, поскольку пройдено всего лишь пол пути. В найденной точке может быть минимум, максимум либо перевал, и выяснить, что же там на самом деле, нам поможет

Достаточное условие экстремума функции двух переменных,

Для применения которого нужно вычислить Частные производные 2-го порядка В точке Для компактности обычно используют следующие обозначения:

Если, то функция имеет экстремум в точке, причём, если, то это минимум, а если – то максимум.

Примечание: здесь также можно ориентироваться и на букву «цэ», т. к. неравенство выполняется только в том случае, если и – одного знака.

Если, то в точке нет экстремума.

Если же, то требуется дополнительное исследование, о котором загадочно умалчивают практически все источники. Впрочем, беспокоиться особо не нужно – встретите вряд ли.

В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:

А значит, соответствующим константам они равны и в частности в точке :

Таким образом: , следовательно, в точке Есть экстремум, и так как, то это – минимум. Осталось его найти. Перепишем функцию, чтобы она была перед глазами, и ОЧЕНЬ внимательно проведём вычисления:

Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».

Ответ:

Признаюсь честно, привык я использовать значки, что не есть хорошо, т. к. они обычно используется для обозначения Минимального и максимального значений функции. От чего вас и предостерегаю.

И справка для любознательных: поверхность представляет собой ни что иное, как «подзашифорованный» Эллиптический параболоид – весьма похожий на тот, который мы видели на 1-й картинке урока.

Пара разминочных примеров для самостоятельного решения:

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Решение 3-го примера осложняется тем, что получается система нелинейных уравнений. Подумайте, что и откуда выгоднее выразить. Примерный образец чистового оформления задач в конце урока.

Когда я подбирал материалы к этой статье, то обнаружил у себя целую тьму подобных примеров (даже сам удивился) и поэтому рекомендую со всей ответственностью отнестись к предлагаемым заданиям.

Нередко приходится разбираться с двумя или даже бОльшим количествам стационарных точек. Типовая задача с экспонентой:

Исследовать функцию на экстремум

Решение: чтобы определить стационарные точки, найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их к нулю. Техническая сложность дифференцирования состоит в применении Правила , после чего, руководствуясь здравой логикой, нужно «загонять» слагаемые в одну скобку и по необходимости «наводить там порядок»:

На всякий пожарный проверим, что (тем более, находить всё равно придётся):

Поскольку экспоненты не могут равняться нулю, то их можно с чистой совестью убрать:

В подобных системах нужно проявить смекалку: где-то удаётся удачно выразить одну переменную через другую, где-то можно выделить полный квадрат, ну а у нас решение лежит на поверхности:

Теперь подставляем соотношение в любое, например, во 2-е уравнение системы:

В результате получены 2 стационарные точки:

Не упущу возможности позанудствовать и напомнить о проверке – координаты найденных точек должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Достаточное условие экстремума, как вы понимаете, нужно проверить для каждой точки отдельно. И в том, и в другом случае нам потребуются частные производные 2-го порядка:

Смешанная производная уже найдена:

И, наконец, «двойная игрековая»:

. Это ещё не самый страх – пример я подобрал довольно гуманный =)

На очереди кропотливые вычисления:

1) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке нет экстремума.

2) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке существует экстремум, и поскольку, то это – максимум. Вспоминаем про функцию и НЕ ОШИБАЕМСЯ:

Ответ:

О точке перевала в ответе не упоминаем. Зачем? Нас же просили провести исследование на экстремум.

От следующего задания тоже трудно отказаться – почти баян:

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ в конце урока

Время от времени посетители сайта просят меня включать в уроки задания и посложнее… ну что же, нашёлся тут интересный экземпляр: . Здесь придётся разрулить не самую простую систему и проверить на экстремум несколько стационарных точек. Чтобы не убивать интригу, в конце урока не будет ни решения, ни ответа =)

И специально для всех читателей mathprofi. ru, можно сказать, эксклюзивная задача:

Исследовать функцию на экстремум

Решение начинается как обычно:

Но вот следующий шаг, казалось бы, сразу приводит к ответу об отсутствии экстремумов:

Система не имеет решений, поскольку единственная «подозрительная» точка обращает знаменатели в ноль, то есть функция – не дифференцируема в данной точке. Но неужели всё так просто? И действительно – ведь САМА-ТО функция там определена:

И более того, поверхность Непрерывна в точке (да и вообще в любой точке плоскости ). Так почему же тут не может существовать минимум или максимум?

Сомнения не напрасны! По аналогии с похожим «плоским» случаем (см. Пример 8 урока Возрастание, убывание и экстремумы функции) такая точка тоже считается стационарной и в ней тоже может быть экстремум!

Но здесь возникает второй камень преткновения. В знаменателях частных производных 2-го порядка (проверьте самостоятельно) находятся корни, что делает невозможным вычисление значений.

Как быть? В трудной ситуации всегда есть смысл проанализировать самое простое решение. А самое элементарное в экстремумах – это непосредственно их определения!

Рассмотрим достаточно малую — окрестность точки. Любую точку данной окрестности, отличную от, можно представить в виде, где значения не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка входила в эту окрестность.

Примечание: оба числа могут быть положительны, отрицательны, разных знаков: либо ; и, кроме того, одно из них может равняться нулю (ещё 4 случая). Таким образом, обозначение действительно пригодно.

Вычислим значение функции в этой произвольной точке окрестности:

Так как не равны нулю одновременно, то корень будет хоть чуть-чуть, но больше нуля, а значит, . И вспоминая, что, записываем очевидный факт: . Грубо говоря, в рассматриваемой окрестности значение «самое низкое».

Вывод: для точки нашлась — окрестность, в которой выполнено неравенство, таким образом, – минимум по определению.

Нетрудно понять, что минимум глобальный. Геометрически поверхность представляет собой своеобразное пространственное остриё, а точнее – «шип».

Ответ:

Представленное решение полностью корректно и полноценно! Более того, данный способ можно попытаться применить и в ситуации, когда достаточное условие экстремума не даёт ответа. Однако дело осложняется тем, что неравенство либо нужно обосновать для каждого из восьми случаев (см. Примечание), что реально осуществимо далеко не всегда. Зависит от функции.

И заключительный, не менее интересный параграф:

Экстремумы функции трёх переменных

Плюс одно измерение. Рассмотрим Функцию трёх переменных , внутреннюю точку её области определения и — окрестность данной точки, которая представляет собой шар с центром в точке радиуса.

Определение: если в некоторой — окрестности точки выполнено неравенство ( – точка — шара, отличная от ), то функция имеет Минимум в точке ; если же – то Максимум.

Вполне, кстати, понятное и на такое уж абстрактное определение.

Всё очень похоже. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то обязательно выполняются условия. Но с другой стороны, если в какой-либо точке производные 1-го порядка равны нулю, то это ещё не значит, что там есть экстремум.

Алгоритм решения сохраняется прежним:

Найти экстремумы функции

Чтобы найти стационарные точки, составим и решим следующую систему:

Аккуратно расположим переменные в обычном порядке и, кроме того, разделим последнее уравнение на 2:

Систему можно решить Методом Гаусса, но зачем такие сложности? Из 3-го уравнения выразим и подставим его в первые два уравнения:

Из 1-го уравнения выразим и подставим во 2-е уравнение:

Таким образом, – стационарная точка. Здесь, напоминаю, не помешает подставить найденное решение в каждое уравнение исходной системы и убедиться в выполнении условий.

Проверка достаточного условия экстремума осуществляется несколько по-другому. Сначала нужно найти все Частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить так называемую Матрицу Гессе:

Да не пугайтесь вы так =) Данная Матрица является симметричной (или симметрической). Это значит, что её элементы симметричны относительно главной диагонали, на которой в данном случае расположены «однобуквенные» частные производные. Уловили закономерность?

Далее нужно вычислить угловые миноры. Это Определители, которые «разрастаются» из левого верхнего угла:

1) Если, то функция достигает минимума в точке.

2) Если (так и только так!), то функция достигает максимума в точке.

3) Если получилось что-то другое и при этом, то – седловая точка. Здесь это уже во многом условное название.

4) Если, то признак не даёт ответа о характере точки.

Внимательные читатели заметили, что эту схему в варианте «два на два» мы использовали и в предыдущем параграфе – только оформление «детское» было. Но не будем отвлекаться.

В нашем примере все производные 2-го порядка равны константам:

А значит, они равны константам и в точке. Составим матрицу Гессе:

И вычислим её угловые миноры:

Вывод: функция достигает максимума в точке.

Для удобства вычислений скопирую функцию:

Ответ:

Аналогичное задание для закрепления материала:

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ рядом.

Рассмотренный алгоритм исследования распространяется и на функции бОльшего количества переменных. Я бы мог расписать его в общем виде, но заметная часть аудитории просто на дух не переносит общие формулы с нагромождением цифр и индексов. Поэтому разберём ещё случай функции 4 переменных, а дальше – будет понятно.

Чтобы исследовать на экстремум дифференцируемую функцию четырёх аргументов, нужно найти частные производные 1-го порядка и решить систему:

Предположим, что в результате решения найдена стационарная точка. Далее нужно найти частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить матрицу Гессе:

После чего вычислить её угловые миноры.

Если все миноры положительны, то в точке – минимум, если знакочередуются в следующем порядке: (и именно в таком!), то в точке – максимум. Если имеет место другой случай, но, то – седловая точка; если же, то признак не даёт ответа о характере точки.

Ну и для совсем продвинутых читателей сообщу, что это есть ни что иное, как проверка Квадратичной формы полного дифференциала 2-го порядка на знакоопределённость Методом Сильвестра (для функций 2, 3, 4 и бОльшего количества переменных).

Удачных вам исследований!

Как наберётесь сил – приходите ещё! =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём стационарные точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, в точке нет экстремума.

Пример 3: Решение: найдём стационарные точки:

Из 1-го уравнения выразим: – подставим во 2-е уравнение:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, в точке существует экстремум, так как, то это – максимум:

Ответ:

Пример 5: Решение: найдем частные производные 1-го порядка:

Составим и решим систему:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:

В результате получены 2 стационарные точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, в точке нет экстремума.

, значит, в точке существует экстремум, и поскольку, то это минимум:

Ответ:

Пример 8: Решение: найдём стационарные точки:

Составим и решим систему:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:

Найдём частные производные 2-го порядка:

Частные производные равны константами, а значит, они равны соответствующим константам и в точке. Составим матрицу Гессе:

И вычислим её угловые миноры:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Дифференциал непрерывной функции двух переменных в точке локального минимума

Экстремумы функций двух и трёх переменных

Поздравляю всех читателей сайта с большим событием – после кропотливой и технически сложной разработки темы Функций нескольких переменных, наконец-то появилась на свет эта долгожданная статья! Сегодня на уроке мы научимся находить максимумы и минимумы функций двух и трёх переменных, а также обобщим алгоритм решения данной задачи на случай бОльшего количества аргументов. С понятиями точек экстремума и экстремумов вы уже знакомы из статьи Об экстремумах функции одной переменной, и для «старших сестёр» эти понятия имеют родственный смысл. Освежим в памяти элементарную терминологию:

– точки экстремума – это общее название точек минимума и максимума;

– экстремумы – это общее название минимумов и максимумов.

Начнём с Функции двух переменных , применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости, а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности.

Да, и сразу важное напутствие для «чайников», нормальных студентов =) и сомневающихся – рассматриваемый материал сам по себе прост, но требует базовых знаний и навыков в нескольких разделах высшей математики. Поэтому если у вас возникнет (или уже возникло) какое-либо недопонимание по ходу изложения, то проставленные ссылки в помощь.

Итак, «действующие лица» следующие: функция, внутренняя точка её Области определения и — окрестность данной точки. Для удобства считаем, что окрестность представляет собой круг радиуса с центром в точке (в учебной литературе чаще встречается окрестность-квадрат).

Определение: если в некоторой — окрестности точки выполнено неравенство, то говорят, что функция имеет Минимум в точке.

При этом точка называется Точкой минимума, а соответствующее значение функции («высота») – Минимумом. Ещё раз призываю не путаться в терминах!

Простейший пример минимума – это вершина Эллиптического параболоида, чаша которого направлена вверх:

Давайте ещё раз внимательно перечитаем определение и вдумаемся в его суть. Сформулированное определение говорит нам о том, что функция достигает минимума в точке, если существует хоть какая-то — окрестность этой точки, в которой значение высоты меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений.

Следует отметить, что в нашем примере под определение подходит вообще любая — окрестность, т. к. поверхность уходит вверх на бесконечность и никаких точек ниже – нет в принципе. Такой минимум называют глобальным.

А теперь мысленно разверните чашу параболоида вниз – чтобы красная точка стала «вершиной горы».

Определение: если в некоторой — окрестности точки выполнено неравенство, то говорят, что функция имеет Максимум в точке.

Соответственно, точка называется Точкой максимума, а значение – Максимумом функции.

В случае с нашим параболоидом максимум, естественно, тоже глобальный, но на практике гораздо чаще встречаются локальные экстремумы. Так, например, функция на нижеследующем чертеже достигает локального максимума (слева вверху) и локального минимума (справа внизу):

Наверное, всем понятно, в чём различие, но всё-таки закомментирую: почему, например, такой максимум называют локальным? Потому что функция на своей Области определения достигает и бОльших значений – по правую руку поверхность уходит «за облака», где о красной точке разве что легенды слагают. Таким образом, о «вершине горы» речь идёт лишь на локальном участке области определения. «Гора», кстати, «горЕ» рознь – бывают поверхности, у которых минимумы и максимумы если и различимы на глаз, то выглядят, как пупырышки =) Важно, чтобы существовала пусть даже очень малая — окрестность точки, где выполнено условие минимума или максимума (см. определения).

Из вышесказанного следует ещё одна важная вещь, которая опять же касается понятий. Пожалуйста, РАЗЛИЧАЙТЕ и будьте аккуратны в выражениях:

Максимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что Максимальное значение функции;

Минимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что Минимальное значение функции.

Да, в примере с эллиптическим параболоидом соответствующие понятия совпадают, но вот у только что рассмотренной поверхности «красный» максимум – это отнюдь не наибольшее, а «оранжевый» минимум – отнюдь не наименьшее значение функции. Задачу Нахождения минимального и максимального значений функции мы рассмотрим в самом ближайшем будущем, а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:

Как исследовать функцию на экстремум?

Прежде всего, нужно ориентироваться на Необходимое условие экстремума:

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то обе Частные производные 1-го порядка в данной точке равны нулю:

Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют Критической, а чаще – Стационарной точкой.

! Примечание: условие необходимо именно для дифференцируемой в точке функции. Как мы увидим в Примере 6, экстремум может существовать и при других обстоятельствах.

Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Его там может и не быть.

Так, например, у функции, которая как раз задаёт Эллиптический параболоид, частные производные обращаются в ноль в точке – и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»).

Но у функции с производными, равными нулю в этой же точке, не наблюдается ничего подобного. Это Гиперболический параболоид или «седло»:

Для точки Не существует — окрестности, в которой поверхность располагалась бы только вверху или только внизу. Грубо говоря, в любой — окрестности точки куски поверхности есть и сверху, и снизу.

Точку такого рода так и называют – Седловой, а иногда, по известной географической ассоциации – Точкой перевала.

Читатели, знакомые с материалами статьи Производная по направлению и градиент, наверное, уже поняли геометрический смысл выкладок: из условий

следует равенство нулю Производной и по всем направлениям: . То есть, если мы сделаем бесконечно малый «шажок» из точки в любую сторону, то наша высота останется неизменной. И этот факт справедлив, как для точек экстремума, так и для точки перевала.

Итак, условия необходимы для существования экстремума дифференцируемой там функции, но на основании только этой информации мы ещё не можем сделать вывода о характере точки. С достаточным условием экстремума познакомимся прямо по ходу практической задачи, а то что-то мы засиделись в теории:

Исследовать на экстремум функцию

И решим систему:

В данном случае получена Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Но мудрить здесь не надо – как проще, так и решаем. Из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение:

– стационарная точка. Тут, главное, не перепутать координаты.

Выполним промежуточную проверку:

Отлично. А точнее, хорошо, поскольку пройдено всего лишь пол пути. В найденной точке может быть минимум, максимум либо перевал, и выяснить, что же там на самом деле, нам поможет

Достаточное условие экстремума функции двух переменных,

Для применения которого нужно вычислить Частные производные 2-го порядка В точке Для компактности обычно используют следующие обозначения:

Если, то функция имеет экстремум в точке, причём, если, то это минимум, а если – то максимум.

Примечание: здесь также можно ориентироваться и на букву «цэ», т. к. неравенство выполняется только в том случае, если и – одного знака.

Если, то в точке нет экстремума.

Если же, то требуется дополнительное исследование, о котором загадочно умалчивают практически все источники. Впрочем, беспокоиться особо не нужно – встретите вряд ли.

В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:

А значит, соответствующим константам они равны и в частности в точке :

Таким образом: , следовательно, в точке Есть экстремум, и так как, то это – минимум. Осталось его найти. Перепишем функцию, чтобы она была перед глазами, и ОЧЕНЬ внимательно проведём вычисления:

Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».

Ответ:

Признаюсь честно, привык я использовать значки, что не есть хорошо, т. к. они обычно используется для обозначения Минимального и максимального значений функции. От чего вас и предостерегаю.

И справка для любознательных: поверхность представляет собой ни что иное, как «подзашифорованный» Эллиптический параболоид – весьма похожий на тот, который мы видели на 1-й картинке урока.

Пара разминочных примеров для самостоятельного решения:

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Решение 3-го примера осложняется тем, что получается система нелинейных уравнений. Подумайте, что и откуда выгоднее выразить. Примерный образец чистового оформления задач в конце урока.

Когда я подбирал материалы к этой статье, то обнаружил у себя целую тьму подобных примеров (даже сам удивился) и поэтому рекомендую со всей ответственностью отнестись к предлагаемым заданиям.

Нередко приходится разбираться с двумя или даже бОльшим количествам стационарных точек. Типовая задача с экспонентой:

Исследовать функцию на экстремум

Решение: чтобы определить стационарные точки, найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их к нулю. Техническая сложность дифференцирования состоит в применении Правила , после чего, руководствуясь здравой логикой, нужно «загонять» слагаемые в одну скобку и по необходимости «наводить там порядок»:

На всякий пожарный проверим, что (тем более, находить всё равно придётся):

Поскольку экспоненты не могут равняться нулю, то их можно с чистой совестью убрать:

В подобных системах нужно проявить смекалку: где-то удаётся удачно выразить одну переменную через другую, где-то можно выделить полный квадрат, ну а у нас решение лежит на поверхности:

Теперь подставляем соотношение в любое, например, во 2-е уравнение системы:

В результате получены 2 стационарные точки:

Не упущу возможности позанудствовать и напомнить о проверке – координаты найденных точек должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Достаточное условие экстремума, как вы понимаете, нужно проверить для каждой точки отдельно. И в том, и в другом случае нам потребуются частные производные 2-го порядка:

Смешанная производная уже найдена:

И, наконец, «двойная игрековая»:

. Это ещё не самый страх – пример я подобрал довольно гуманный =)

На очереди кропотливые вычисления:

1) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке нет экстремума.

2) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке существует экстремум, и поскольку, то это – максимум. Вспоминаем про функцию и НЕ ОШИБАЕМСЯ:

Ответ:

О точке перевала в ответе не упоминаем. Зачем? Нас же просили провести исследование на экстремум.

От следующего задания тоже трудно отказаться – почти баян:

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ в конце урока

Время от времени посетители сайта просят меня включать в уроки задания и посложнее… ну что же, нашёлся тут интересный экземпляр: . Здесь придётся разрулить не самую простую систему и проверить на экстремум несколько стационарных точек. Чтобы не убивать интригу, в конце урока не будет ни решения, ни ответа =)

И специально для всех читателей mathprofi. ru, можно сказать, эксклюзивная задача:

Исследовать функцию на экстремум

Решение начинается как обычно:

Но вот следующий шаг, казалось бы, сразу приводит к ответу об отсутствии экстремумов:

Система не имеет решений, поскольку единственная «подозрительная» точка обращает знаменатели в ноль, то есть функция – не дифференцируема в данной точке. Но неужели всё так просто? И действительно – ведь САМА-ТО функция там определена:

И более того, поверхность Непрерывна в точке (да и вообще в любой точке плоскости ). Так почему же тут не может существовать минимум или максимум?

Сомнения не напрасны! По аналогии с похожим «плоским» случаем (см. Пример 8 урока Возрастание, убывание и экстремумы функции) такая точка тоже считается стационарной и в ней тоже может быть экстремум!

Но здесь возникает второй камень преткновения. В знаменателях частных производных 2-го порядка (проверьте самостоятельно) находятся корни, что делает невозможным вычисление значений.

Как быть? В трудной ситуации всегда есть смысл проанализировать самое простое решение. А самое элементарное в экстремумах – это непосредственно их определения!

Рассмотрим достаточно малую — окрестность точки. Любую точку данной окрестности, отличную от, можно представить в виде, где значения не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка входила в эту окрестность.

Примечание: оба числа могут быть положительны, отрицательны, разных знаков: либо ; и, кроме того, одно из них может равняться нулю (ещё 4 случая). Таким образом, обозначение действительно пригодно.

Вычислим значение функции в этой произвольной точке окрестности:

Так как не равны нулю одновременно, то корень будет хоть чуть-чуть, но больше нуля, а значит, . И вспоминая, что, записываем очевидный факт: . Грубо говоря, в рассматриваемой окрестности значение «самое низкое».

Вывод: для точки нашлась — окрестность, в которой выполнено неравенство, таким образом, – минимум по определению.

Нетрудно понять, что минимум глобальный. Геометрически поверхность представляет собой своеобразное пространственное остриё, а точнее – «шип».

Ответ:

Представленное решение полностью корректно и полноценно! Более того, данный способ можно попытаться применить и в ситуации, когда достаточное условие экстремума не даёт ответа. Однако дело осложняется тем, что неравенство либо нужно обосновать для каждого из восьми случаев (см. Примечание), что реально осуществимо далеко не всегда. Зависит от функции.

И заключительный, не менее интересный параграф:

Экстремумы функции трёх переменных

Плюс одно измерение. Рассмотрим Функцию трёх переменных , внутреннюю точку её области определения и — окрестность данной точки, которая представляет собой шар с центром в точке радиуса.

Определение: если в некоторой — окрестности точки выполнено неравенство ( – точка — шара, отличная от ), то функция имеет Минимум в точке ; если же – то Максимум.

Вполне, кстати, понятное и на такое уж абстрактное определение.

Всё очень похоже. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то обязательно выполняются условия. Но с другой стороны, если в какой-либо точке производные 1-го порядка равны нулю, то это ещё не значит, что там есть экстремум.

Алгоритм решения сохраняется прежним:

Найти экстремумы функции

Чтобы найти стационарные точки, составим и решим следующую систему:

Аккуратно расположим переменные в обычном порядке и, кроме того, разделим последнее уравнение на 2:

Систему можно решить Методом Гаусса, но зачем такие сложности? Из 3-го уравнения выразим и подставим его в первые два уравнения:

Из 1-го уравнения выразим и подставим во 2-е уравнение:

Таким образом, – стационарная точка. Здесь, напоминаю, не помешает подставить найденное решение в каждое уравнение исходной системы и убедиться в выполнении условий.

Проверка достаточного условия экстремума осуществляется несколько по-другому. Сначала нужно найти все Частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить так называемую Матрицу Гессе:

Да не пугайтесь вы так =) Данная Матрица является симметричной (или симметрической). Это значит, что её элементы симметричны относительно главной диагонали, на которой в данном случае расположены «однобуквенные» частные производные. Уловили закономерность?

Далее нужно вычислить угловые миноры. Это Определители, которые «разрастаются» из левого верхнего угла:

1) Если, то функция достигает минимума в точке.

2) Если (так и только так!), то функция достигает максимума в точке.

3) Если получилось что-то другое и при этом, то – седловая точка. Здесь это уже во многом условное название.

4) Если, то признак не даёт ответа о характере точки.

Внимательные читатели заметили, что эту схему в варианте «два на два» мы использовали и в предыдущем параграфе – только оформление «детское» было. Но не будем отвлекаться.

В нашем примере все производные 2-го порядка равны константам:

А значит, они равны константам и в точке. Составим матрицу Гессе:

И вычислим её угловые миноры:

Вывод: функция достигает максимума в точке.

Для удобства вычислений скопирую функцию:

Ответ:

Аналогичное задание для закрепления материала:

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ рядом.

Рассмотренный алгоритм исследования распространяется и на функции бОльшего количества переменных. Я бы мог расписать его в общем виде, но заметная часть аудитории просто на дух не переносит общие формулы с нагромождением цифр и индексов. Поэтому разберём ещё случай функции 4 переменных, а дальше – будет понятно.

Чтобы исследовать на экстремум дифференцируемую функцию четырёх аргументов, нужно найти частные производные 1-го порядка и решить систему:

Предположим, что в результате решения найдена стационарная точка. Далее нужно найти частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить матрицу Гессе:

После чего вычислить её угловые миноры.

Если все миноры положительны, то в точке – минимум, если знакочередуются в следующем порядке: (и именно в таком!), то в точке – максимум. Если имеет место другой случай, но, то – седловая точка; если же, то признак не даёт ответа о характере точки.

Ну и для совсем продвинутых читателей сообщу, что это есть ни что иное, как проверка Квадратичной формы полного дифференциала 2-го порядка на знакоопределённость Методом Сильвестра (для функций 2, 3, 4 и бОльшего количества переменных).

Удачных вам исследований!

Как наберётесь сил – приходите ещё! =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём стационарные точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, в точке нет экстремума.

Пример 3: Решение: найдём стационарные точки:

Из 1-го уравнения выразим: – подставим во 2-е уравнение:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, в точке существует экстремум, так как, то это – максимум:

Ответ:

Пример 5: Решение: найдем частные производные 1-го порядка:

Составим и решим систему:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:

В результате получены 2 стационарные точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, в точке нет экстремума.

, значит, в точке существует экстремум, и поскольку, то это минимум:

Ответ:

Пример 8: Решение: найдём стационарные точки:

Составим и решим систему:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:

Найдём частные производные 2-го порядка:

Частные производные равны константами, а значит, они равны соответствующим константам и в точке. Составим матрицу Гессе:

Функции двух переменных. Локальный (безусловный) экстремум

Напоминаем, что переменная z называется функцией двух переменных x и у, если каждой паре их значений (х, у) из множества D ставится в соответствие определенное значение z=f(x, y). Множество D называется областью определения функции, а множество всех возможных значений переменной zобластью значений функции.

Геометрически областью определения функции двух переменных является плоскость или часть ее. Например, областью определения функции z = x 2 +y 2 является плоскость х0у, а для функции z = lnxy область определения первый и третий квадранты плоскости х0у, исключая оси координат, т. е там где ху >0.

Графиком функции двух переменных является поверхность в трехмерном пространстве. Например, графиком функции z=5x+4y-1 является плоскость (5х+4у-z-1=0), а графиком функции — полусфера ( ) радиуса R=5.

Из аналитического задания функции ясно, что данная функция имеет максимум в точке 0(0,0). В общем случае вопрос о существовании и нахождении локального экстремума функции многих переменных, так же как и в случае функции одной переменной, решается методами дифференциального исчисления.

Напомним понятие частных производных функции двух переменных. Пусть дана функция f(x, y). Полным приращением функции f(x, y) в точке М(х, у) называется разность

где — приращения аргументов, вызвавшие данное приращение функции. Если одна из переменных не получает приращения, то соответствующая разность определяет частное приращение по другой переменной

Предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента при стремлении последнего к нулю называется частной производной по данной переменной

Полный дифференциал функции двух переменных равен сумме частных дифференциалов

Практически при вычислении частных производных руководствуются теми же правилами, что и в случае функции одной переменной, причем, если производная вычисляется по переменной х, то переменная у считается постоянной величиной и наоборот.

Пример 31. найти частные производные и вычислить полный дифференциал функции в точке М(1;4) при dx=0,01; dy=0,02.

Для функции многих переменных, как и в случае одной переменной, вводятся производные старших порядков. Так, для функции двух переменных существуют четыре производные второго порядка:

Производные и называются смешанными. В нашем курсе будут встречаться только функции, для которых = , хотя для некоторых функций это равенство не справедливо.

Пример 32. Найти все частные производные второго порядка для функции

Частные производные первого порядка равны:

Дифференцируя их, получим

Напомним определения локального экстремума непрерывной функции двух переменных и методику его нахождения. Точка называется точкой локального максимума (минимума) непрерывной функции f(x, y), если существует такая окрестность точки , принадлежащая ООФ , что для всех точек М(х, у) из этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство

Согласно необходимому условию, координаты точки, подозрительной на экстремум (стационарной точки), являются решением системы уравнений

Чтобы выяснить, имеется ли в стационарной точке экстремум и какого типа, необходимо применить достаточное условие экстремума. Составим матрицу из производных второго порядка

Вычислим два ее угловых минора в стационарной точке .

Тогда, если D2 0, то в точке экстремум имеется, причем, если D1 0, то минимум.

Пример 33. Найти экстремум функции z=2x 3 — xy 2 +5x 2 +y 2

(I) Используя необходимые условия экстремума, составим систему уравнений и решим ее.

Следовательно, возможны два случая:

а) у = 0. Тогда из первого уравнения системы имеем

что дает координаты двух стационарных точек М1(0,0); М2(-5/3,0).

б) х = 1. В этом случае из первого уравнения системы получим

В результате имеем координаты еще двух точек, подозрительных на экстремум: М3(1,4); М2(1,-4).

(II) Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Построим матрицу

Вычислим значения ее угловых миноров в точке М1

,
Следовательно, точка М1(0,0) является точкой минимума .

Легко проверить, что в остальных стационарных точках экстремума нет. Например, в точке М2 имеем: