Дифференциальное уравнение Бернулли

В этой статье мы разберем методы решения дифференциального уравнения Бернулли. Для закрепления материала подробно рассмотрим решение примеров.

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид . При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными .

Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной . Действительно, при такой замене имеем и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид

Так дифференциальное уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.

Разберем на примере.

Найдите общее решение дифференциального уравнения Бернулли .

В нашем примере . Введем новую переменную , тогда . После проведения замены переменной и небольших преобразований получаем ЛНДУ первого порядка

Решим его методом вариации произвольной постоянной.

Для этого сначала находим общее решение дифференциального уравнения .

z = 0 также является решением дифференциального уравнения , так как оно обращается в тождество при нулевой функции z . Этот случай можно описать равенством при C = 0 . Таким образом, общим решением дифференциального уравнения является , где C – произвольная постоянная.

Теперь варьируем произвольную постоянную, то есть, принимаем общим решением дифференциального уравнения . Поэтому

Таким образом, .
Осталось провести обратную замену. Так как мы принимали , то . Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Рассмотрим еще один метод решения дифференциального уравнения Бернулли, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения функций u(x) и v(x) .

В этом случае . После подстановки в уравнение Бернулли получаем

Если в качестве функции v взять ненулевое частное решение дифференциального уравнения , то придем к равенству

Решим пример этим способом, чтобы стало все понятно.

Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений

Предпраздничные новогодние дни предвещают зачеты и экзамены, поэтому в срочном порядке я решил порадовать читателей еще одним уроком по теме Дифференциальные уравнения первого порядка. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида .

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:

Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: .

Если или , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.

Целая степень может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, может быть обыкновенной дробью, например .

Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах. Волком:

Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень.

Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если ) является решение: . Действительно, если найти и подставить в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Как отмечалось в статье об однородных уравнениях, если по условию требуется найти только частное решение, то функция по понятной причине нас не морозит, но вот когда требуется найти общее решение/интеграл, то необходимо проследить, чтобы эту функцию не потерять!

Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой.

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
,

Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе с задачей Коши. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в двух уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае.

Решение: Данный диффур имеет вид , а значит, является уравнением Бернулли

Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?

Алгоритм достаточно прост и незамысловат.

На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого сбрасываем в низ левой части и проводим почленное деление:

Далее необходимо избавиться от игрека вот в этом слагаемом:

Для этого проводим замену: , то есть меняем дробь с «игреком» на букву «зет».
Находим производную:
.
Если данное действие не понятно, пожалуйста, посмотрите первый параграф урока Производные неявной и параметрически заданной функций.

Смотрим на первое слагаемое:

Таким образом, в результате проведенной замены уравнение превращается в уравнение:

Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. С той лишь разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет».

Вывод: уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка

Я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли:

Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать.

Данный интеграл берётся по частям:

Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала.

Но это ещё не всё, выполняем обратную замену:
Если изначально было , то обратно будет

В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:

Тривиальное решение потерялось (это произошло в самом начале при делении на ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию :

Ответ: частное решение:

Для мастодонтов дифференциального исчисления вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнения:

1) проверяем, выполнено ли начальное условие;
2) берём ответ и находим производную ;
3) подставляем ответ и найденную производную в исходное ДУ – должно получиться верное равенство.

Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку.

Когда я подбирал первый пример для этой статьи, то очень хотелось разобрать распространенное уравнение Бернулли в духе , однако сразу же после замены оно становится до неприличия похоже на Пример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Поэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное.

Но, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров для самостоятельного решения:

Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию

Найти решение задачи Коши
,

Полные решения и ответы в конце урока.

В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: .

Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например:

Как говорится, сиди студент и разгадывай ребус – какого хрена типа этот диффур. То ли уравнение с разделяющимися переменными, то ли уравнение в полных дифференциалах, то ли еще какое-нибудь уравнение.

Интереснейшая задача и новая информация, о которой я до сих пор не рассказывал:

Найти решение ДУ , соответствующее начальному условию

Корни, куда же без них.

Решение: Пожалуйста, классический вид уравнения Бернулли.

По условию требуется решить только задачу Коши, поэтому ось абсцисс снова идёт лесом.

Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на :

Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:

Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:

Из первого уравнения найдем :

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию :

…вот тебе и раз. Уравнение имеет два корня и в результате получаются… два частных решения? Нет. Когда мы выражали общее решение, то выполнили возведение в квадрат, из-за чего у нас появился посторонний корень. Поэтому начальное условие лучше подставить непосредственно в общий интеграл :

Легко видеть, что значению соответствует частный интеграл , и он не удовлетворяет начальному условию , ибо .

Вот так-то оно бывает! – в статье об однородных уравнениях мы рассмотрели случаи потери решений, а оказывается «решение» можно ещё и «приобрести».

Ответ: частное решение – проверку выполните самостоятельно, она тут устная.

И сейчас ещё один любопытный факт. Надеюсь, вы хорошо изучили раздел «Функции и графики» и представляете, как выглядит типичный график многочлена 4-й степени. Семейство кривых (общее решение ДУ) располагается в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в каждой её точке. Образно говоря, множество графиков (при всех действительных значениях константы) своими точками касания порождает решение , которое, как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло.

Такое необычное решение называют особым решением дифференциального уравнения.
В общем случае особое решение тоже представляет собой кривую, которая огибает «основное семейство», но в рассмотренном примере оно – есть прямая, которая ассоциируется с «подставкой» под графики функций .

Конец факта. И начало следующих 🙂

Возможно, некоторые удивились, почему я ничего не рассказал про математика Бернулли. Забыл. Не будем нарушать традиций. Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на пяти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей династии есть серьёзные достижения и в области физики. …Пожалуй, этой информации будет достаточно, а то мне в голову стал приходить крайне неэтичный юмор в духе «Якоб, Иоганн – какая студенту разница?» =) …Побродил немного по комнате, посмеялся, продолжаю:

Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.

Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока.

Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли.

Очевидно, что является решением этого уравнения.

И только после этой оговорки делим обе части на :

Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену:

Получено линейное уравнение, проведем замену:

Из первого уравнения найдем :

Проведём обратную замену: если изначально , то обратно:

В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде:
, но, согласитесь, смотрится не очень…, словно Дедушка Мороз подсунул в подарок гнилую мандаринку. Эта фишка уже рассматривалась мной на уроке Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Нет-нет, испорченные продукты питания никому не предлагал =)

Лично я в похожей ситуации почти всегда склоняюсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно париться не нужно).

Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение:

Перед кремлёвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью.

Найти частное решение дифференциального уравнения
,

Это пример для самостоятельного решения.

Ну вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. Хотя, честно, Новый Год не люблю, сегодня вычитал на Анекдоте. ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без всякой пользы либо с большим вредом.

Отличной вам сессии!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.

Проведем замену:

Получено линейное неоднородное уравнение, замена: .

Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение:

Таким образом:
Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:
Красиво.

Пример 3: Решение:
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, разделим обе части на :

Проведем замену:

Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение:

Таким образом:

Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Пример 5: Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли.
Очевидно, что является решением данного уравнения.

Замена:

В полученном линейном неоднородном уравнении, проведем замену:

Решим систему: .
Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение:

Таким образом:
Общее решение:
Обратная замена:

Ответ: общее решение ; ещё одно решение:

Пример 7: Решение:
Данное ДУ является уравнением Бернулли.

Ответ: частное решение:

Метод Бернулли

Для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида: существует замечательный метод Бернулли решения дифференциальных уравнений. Суть его состоит в том, чтобы сделать замену в дифференциальном уравнении на: . После того, как замена будет выполнена ДУ сведется к системе уравнений с разделяющимися переменными, о решении которых было рассказано в статье решение ДУ с разделяющимися переменными. Советуем ознакомиться с ней. Так как умение решать уравнения данного типа необходимо для успешного решения большинства видов дифференциальных уравнений, в том числе и методом Бернулли, о котором пойдёт речь ниже.

Примеры решений

Пожалуй решение начнем с замены подстановкой Получаем Далее необходимо вынести за скобку общий множитель u во втором и третьем слагаемом левой части дифференциального уравнения. Имеем

Теперь каким-то образом нужно найти неизвестные функции и . Чтобы их найти придётся составить систему уравнений

Заметьте, что значение первого уравнения мы взяли равным нулю, чтобы из него получить , а затем зная из второго получить . Приступаем решать её:

Зная теперь чему равно v возьмём и подставим его во второе уравнение системы. Далее найдём