Докажите, что если при пересечение двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180′

Докажите, что если при пересечение двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180′,то прямые параллельны.

Сумма односторонних углов А и В при пересечении прямых а и b секущей с равна 180°. Доказать, что а и b– параллельны.

Предположим, что прямые a и b не параллельны и пересекутся в некоторой точке М.

Тогда сумма углов ∆ АВМ=∠А+∠В+∠М >180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Значит, а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

wiki. eduVdom. com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.
∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)

Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 — х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.

Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
х + 30° + х = 180°.

Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.
∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° — 75° = 105°.

Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.

Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.

Найдем остальные углы (рис. 8):

∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° — ∠ 3.

Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.

Признак параллельности прямых по сумме градусных мер односторонних углов

Урок 15. Геометрия 7 класс

Конспект урока «Признак параллельности прямых по сумме градусных мер односторонних углов»

Первый признак параллельности прямых:

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Второй признак параллельности прямых:

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов 1 и 2 равна 180 градусам.

Так как углы 2 и 3 являются смежными, то ∠2+∠3=180 градусов.

Из равенств ∠1+∠2=180 градусов и ∠2+∠3=180 градусов следует, что ∠1=∠3. А поскольку ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими, то прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

При пресечении двух параллельных прямых а и b секущей c образовано 8 углов. ∠1=130 градусов. Найдите остальные углы.

Так как прямая а параллельна прямой b, то ∠7=∠1=130 градусов как внешние накрест лежащие углы.

∠5=∠1=130 градусов как соответственные углы.

∠3=∠1=130 градусов как вертикальные.

По свойству смежных углов ∠2=180-∠1=50 градусов.

∠8=∠2=50 градусов как внешние накрест лежащие углы.

∠6=∠2=50 градусов как соответственные углы.

∠4=∠2=50 градусов как вертикальные углы.

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. А ∠ВАС=60 градусов. Луч СD — биссектриса угла ВСЕ смежного с углом АСВ. Доказать, что прямая АВ параллельна прямой СD.

Так как АВ=ВС, то треугольник АВС является равнобедренным. Углы ВАС и АСВ равны как углы при основании равнобедренного треугольника и равны 60 градусов.

Углы ВСЕ и АСВ являются смежными, поэтому ∠ВСЕ=180-∠АСВ=120 градусов.

∠BCD=60 градусов, так как по условию задачи СD — биссектриса угла ВСЕ.

Тогда ∠ВАС + ∠DСА=180 градусов.

Следовательно, прямые АВ и СD параллельны. Что и требовалось доказать.

В треугольнике АВС, ∠А=40 градусов, а ∠В=70 градусов. Через вершину В проведена прямая ВD так, что луч ВС является биссектрисой угла АВD. Доказать, что прямые ВD и АС параллельны.

Рассмотрим прямые АС, ВD и секущую прямую АВ. Углы ВАС и АВD — внутренние односторонние.

По условию задачи ВС — биссектриса угла АВD, а значит ∠АВС=∠СВD=70 градусов. Тогда угол ∠АВD=140 градусов.

Угол ∠ВАС+∠АВD=40+40=80 градусов. А так как эти углы являются внутренними односторонними, то получаем, что прямая АС параллельна прямой BD. Что и требовалось доказать.