Две стороны и угол треугольника

Зная две стороны в треугольнике и угол между ними, можно с помощью теоремы косинусов вычислить третью сторону треугольника. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов известных сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними. (рис.76) a^2=b^2+c^2-2bc cos⁡α a=√(b^2+c^2-2bc cos⁡α )

Угол β или γ можно рассчитать через ту же теорему косинусов, зная две, образующие их стороны, при этом один из них – последний, проще найти, отняв два известных от 180 градусов. cos⁡β=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(b^2+c^2-2bc cos⁡α+c^2-b^2)/(2c√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ))=(2c^2-2bc cos⁡α)/(2c√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ))=(c-b cos⁡α)/√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ) cos⁡γ=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(b^2+c^2-2bc cos⁡α+b^2-c^2)/(2b√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ))=(b-c cos⁡α)/√(b^2+c^2-2bc cos⁡α )

Медиана треугольника рассчитывается по вполне однозначной формуле, тогда как если нужно найти медианы через две стороны и угол между ними, то требуются преобразования. m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2=√(2b^2+2c^2-b^2-c^2+2bc cos⁡α )/2=√(b^2+c^2+2bc cos⁡α )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2b^2+2c^2-4bc cos⁡α+2c^2-b^2 )/2=√(b^2+4c^2-4bc cos⁡α )/2 m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2b^2+2c^2-4bc cos⁡α+2b^2-c^2 )/2=√(4b^2+c^2-4bc cos⁡α )/2

Для расчета биссектрис в произвольном треугольнике также существуют стандартные формулы, из которых только одна может быть преобразована и упрощена для двух сторон и угла между ними. l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-b^2-c^2+2bc cos⁡α ) )/(b+c)=(bc√(2(1+cos⁡α ) ))/(b+c)

Чтобы найти высоту, нужно знать все три стороны в треугольнике. Подставив их в формулу так, чтобы сторона, на которую опущена искомая высота была в знаменателе, рассчитываются их величины. h_a=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/a h_b=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/b h_c=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c

Вычислить среднюю линию треугольника можно, зная лишь ту сторону, которой она параллельна, так как сторона будет в два раза больше. В случае с неизвестной стороной, можно подставить в формулу радикал, выведенный по теореме косинусов. M_a=a/2=√(b^2+c^2-2bc cos⁡α )/2 M_b=b/2 M_c=c/2

На пересечении биссектрис в треугольнике расположен центр окружности, которую можно в него вписать. Радиус такой окружности рассчитывается по следующей формуле(рис.75.5) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)

Центр описанной вокруг треугольника окружности в свою очередь расположен в точке пересечения медиатрисс, и его формула значительно видоизменена в сравнении с радиусом вписанной окружности. (рис.75.6) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

Сторона треугольника

Треугольник — геометрическая фигура с тремя сторонами. Обычно стороны обозначают малыми буквами в соответствии с лежащими напротив вершинами. Если известны две стороны и угол между ними, третью сторону треугольника найдем по теореме косинусов: сторона треугольника равна корню из суммы квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

где а, b, с — стороны треугольника. Следует помнить, если угол тупой, то косинус угла будет отрицателен.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c 1 , c 2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α , β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , ( H ):

6. Найти длину биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.