Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство , то точка М0 называется точкой максимума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М00, у0) верно неравенство , то точка М0 называется точкой минимума.

Теорема (необходимые условия экстремума).

Если функция f(x, y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку 0, у0) будем называть критической точкой.

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки 0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение: , где , , .

1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке 0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если — максимум, если — минимум.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Условные экстремумы и метод множителей Лагранжа

Сегодня на уроке мы научимся находить условные или, как их ещё называют, относительные экстремумы функций нескольких переменных, и, прежде всего, речь пойдёт, конечно же, об условных экстремумах функций двух и трёх переменных, которые встречаются в подавляющем большинстве тематических задач.

Что нужно знать и уметь на данный момент? Несмотря на то, что эта статья находится «на окраине» темы, для успешного усвоения материала потребуется не так уж и много. На данный момент вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства, уметь находить частные производные (хотя бы на среднем уровне) и, как подсказывает беспощадная логика, разбираться в безусловных экстремумах. Но даже если у вас низкий уровень подготовки, не спешите уходить – все недостающие знания/навыки реально «подобрать по пути», причём безо всяких многочасовых мучений.

Сначала проанализируем само понятие и заодно осуществим экспресс-повторение наиболее распространённых поверхностей. Итак, что же такое условный экстремум? …Логика здесь не менее беспощадна =) Условный экстремум функции – это экстремум в обычном понимании этого слова, который достигается при выполнении определённого условия (или условий).

Представьте произвольную «косую» плоскость в декартовой системе . Никакого экстремума здесь нет и в помине. Но это до поры до времени. Рассмотрим эллиптический цилиндр, для простоты – бесконечную круглую «трубу», параллельную оси . Очевидно, что эта «труба» «высечет» из нашей плоскости эллипс, в результате чего в верхней его точке будет максимум, а в нижней – минимум. Иными словами, функция, задающая плоскость, достигает экстремумов при условии, что её пересёк данный круговой цилиндр. Именно «при условии»! Другой эллиптический цилиндр, пересекающий эту плоскость, почти наверняка породит иные значения минимума и максимума.

Если не очень понятно, то ситуацию можно смоделировать реально (правда, в обратном порядке): возьмите топор, выйдите на улицу и срубите… нет, Гринпис потом не простит – лучше порежем «болгаркой» водосточную трубу =). Условный минимум и условный максимум будут зависеть от того, на какой высоте и под каким (негоризонтальным) углом осуществлён разрез.

Настало время облачить выкладки в математическое одеяние. Рассмотрим эллиптический параболоид , который имеет безусловный минимум в точке . Теперь найдём экстремум при условии . Данная плоскость параллельна оси , а значит, «высекает» из параболоида параболу. Вершина этой параболы и будет условным минимумом. Причём плоскость не проходит через начало координат, следовательно, точка останется не при делах. Не представили картинку? Срочно идём по ссылкам! Потребуется ещё много-много раз.

Вопрос: как найти этот условный экстремум? Простейший способ решения состоит в том, чтобы из уравнения (которое так и называют – условием или уравнением связи) выразить, например: – и подставить его в функцию:

В результате получена функция одной переменной, задающая параболу, вершина которой «вычисляется» с закрытыми глазами. Найдём критические точки:

Далее проще всего использовать второе достаточное условие экстремума:

запишем точку условного минимума , удостоверимся, что она действительно лежит в плоскости (удовлетворяет уравнению связи):

и вычислим условный минимум функции :
при условии («добавка» обязательна. ).

Рассмотренный способ без тени сомнения можно использовать на практике, однако, он обладает рядом недостатков. Во-первых, далеко не всегда понятна геометрия задачи, а во-вторых, зачастую бывает невыгодно выражать «икс» либо «игрек» из уравнения связи (если вообще есть возможность что-то выразить). И сейчас мы рассмотрим универсальный метод нахождения условных экстремумов, получивший название метод множителей Лагранжа:

Найти условные экстремумы функции при указанном уравнении связи на аргументы .

Узнаёте поверхности? 😉 …Я рад видеть ваши счастливые лица =)

Кстати из формулировки данной задачи становится ясно, почему условие называют уравнением связи – аргументы функции связаны дополнительным условием, то есть найденные точки экстремума должны обязательно принадлежать круговому цилиндру.

Решение: на первом шаге нужно представить уравнение связи в виде и составить функцию Лагранжа:
, где – так называемый множитель Лагранжа.

В нашем случае и:

Алгоритм нахождения условных экстремумов весьма похож на схему отыскания «обычных» экстремумов. Найдём частные производные функции Лагранжа, при этом с «лямбдой» следует обращаться, как с константой:

Составим и решим следующую систему:

Клубок распутывается стандартно:
из первого уравнения выразим ;
из второго уравнения выразим .

Подставим в уравнение связи и проведём упрощения:

В результате получаем две стационарные точки. Если , то:

Легко видеть, что координаты обеих точек удовлетворяют уравнению . Щепетильные люди могут выполнить и полную проверку: для этого нужно подставить в первое и второе уравнения системы, и затем сделать то же самое с набором . Всё должно «сойтись».

Проверим выполнение достаточного условия экстремума для найденных стационарных точек. Я разберу три подхода к решению данного вопроса:

1) Первый способ – это геометрическое обоснование.

Вычислим значения функции в стационарных точках:

Далее записываем фразу примерно такого содержания: сечение плоскости круговым цилиндром представляет собой эллипс, в верхней вершине которого достигается максимум, а в нижней – минимум. Таким образом, бОльшее значение – есть условный максимум, а меньшее – условный минимум.

По возможности лучше применять именно этот метод – он прост, и такое решение засчитывают преподаватели (большим плюсом идёт то, что вы показали понимание геометрического смысла задачи). Однако, как уже отмечалось, далеко не всегда понятно, что с чем и где пересекается, и тогда на помощь приходит аналитическая проверка:

2) Второй способ основан на использовании дифференциала второго порядка . Если окажется, что в стационарной точке , то функция достигает там максимума, если же – то минимума.

и составим этот дифференциал:

При , значит, функция достигает максимума в точке ;
при , значит, функция достигает минимума в точке .

Следует отметить, что дифференциал представляет собой квадратичную форму относительно , и мы получаем быстрый результат, если эта форма определена отрицательно или положительно; причём она может быть таковой даже в «неочевидных» случаях наподобие – существует критерий Сильвестра, который позволяет легко установить положительность этого дифференциала.

Но что делать, когда форма знакопеременная, то есть когда знак зависит от значений ? Например ?

В этом случае берём дифференциал от уравнения связи, проведём формальное решение для нашей задачи:

, после чего для и точки получаем:
;
и для :

И, кроме того, можно использовать «тяжёлую артиллерию» – достаточное условие в матричной форме:

3) Продифференцируем по «икс» и по «игрек» уравнение связи:

и составим следующую симметричную матрицу:

Если в стационарной точке , то функция достигает там (внимание!) минимума, если – то максимума.

Запишем матрицу для значения и соответствующей точки :

Вычислим её определитель:
, таким образом, функция имеет максимум в точке .

Аналогично для значения и точки :

, таким образом, функция имеет минимум в точке .

Ответ: при условии :

После обстоятельного разбора материала просто не могу не предложить вам пару типовых задач для самопроверки:

Найти условный экстремум функции , если её аргументы связаны уравнением

Найти экстремумы функции при условии

И вновь настоятельно рекомендую разобраться в геометрической сути заданий, особенно, это касается последнего примера, где аналитическая проверка достаточного условия – не подарок. Вспомните, какую линию 2-го порядка задаёт уравнение , и какую поверхность эта линия порождает в пространстве. Проанализируйте, по какой кривой цилиндр пересечёт плоскость и где на этой кривой будет минимум, а где – максимум.

Решения и ответы в конце урока.

Рассматриваемая задача находит широкое применение в различных областях, в частности – далеко ходить не будем, в геометрии. Решим всем понравившуюся задачу о поллитровке (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи) вторым способом:

Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на изготовления банки пошло наименьшее количество материала, если объем банки равен

Решение: рассмотрим переменный радиус основания , переменную высоту и составим функцию площади полной поверхности банки:
(площадь двух крышек + площадь боковой поверхности)

Требуется найти минимум этой функции, при условии, что объём банки равен . Таким образом, функция Лагранжа получается прямо из словесной формулировки задачи!

Найдём частные производные по «эр» и по «аш»:

Составим и решим стандартную систему, при этом первое уравнение сразу сокращаем на , а второе – на «пи»:

Удобнее начать со второго уравнения:

Нулевой радиус не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи и поэтому для исследования остаётся 2-й множитель, из которого выражаем:
– подставим в 1-е уравнение:

В результате получаем, что высота оптимальной банки должна быть в 2 раза больше радиуса основания:

Подставим в уравнение связи:

Осталась маленькая проблемка – проверить достаточное условие экстремума. А то вдруг в найденной точке функция наоборот – достигает максимального значения?

Возможно, здесь существует лаконичное геометрическое обоснование, но с ходу мне его отыскать не удалось, и поэтому частные производные второго порядка:

Поэтому находим дифференциал от уравнения связи. В соответствии с правилом дифференцирования произведения:

Желающие могут пойти более академичным путём, а именно, продифференцировать по «эр» и по «аш» уравнение связи:

Если честно, хотел вообще опустить 3-й способ ввиду его трудоёмкости, но мало ли кому понадобится.

Ответ: радиус основания оптимальной банки: , её высота:

На практике выбор того или иного пути решения определяется темой, которую вы проходите, и сложностью выбранного метода. Кстати, первый способ (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи) с технической точки зрения ничуть не приятнее. Также следует отметить, что существует много задач, в которых без метода множителей Лагранжа уже не обойтись, и с таким геометрическим примером мы встретимся в следующем параграфе:

Условные экстремумы функции трёх переменных

Переключаем внимание на функцию трёх переменных , задачи с которой не менее популярны. Принципиальный алгоритм решения остаётся прежним:

Найти условный экстремум функции относительно уравнения связи

Решение: представим уравнение связи в виде и составим функцию Лагранжа:

Приравниваем частные производные к нулю и присоединяем к системе уравнение связи:

Из первых трёх уравнений выразим:
– подставим в уравнение связи:

– подставим в выражения для «икс», «игрек», «зет»:

Таким образом, стационарная точка:

Напоминаю, что в целях проверки будет не лишним подставить её координаты и значение во все уравнения системы. Здесь это легко сделать устно.

Достаточное условие экстремума. С геометрией дела плохи и поэтому в нашем распоряжении остаются аналитические методы. Составим дифференциал второго порядка функции трёх переменных:

И перед нами не что иное, как квадратичная форма относительно .

Если в стационарной точке , то функция достигает в ней максимума, если – то минимума; если же окажется знакопеременным, то потребуются дополнительные действия.

Надо сказать, большое везение чего я буду мучиться – даже подставлять ничего не пришлось:
, значит, функция достигает условного минимума в точке :

Ответ: при условии :

Найти условный экстремум функции относительно уравнения связи

Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Рассмотренные два примера – это самые что ни есть «заезженные» типовики, но время от времени встречаются и более трудные задания. Первая трудность, состоит, как правило, в решении системы, а вторая – в проверке достаточного условия экстремума. Приглашаю всех ознакомиться с заключительными примерами, которые не только интересны, но и требуют, я бы сказал, творческого подхода:

Найти экстремумы функции при условии

Казалось бы, ничто не предвещает сложностей, и решение начинается как обычно:

Запишем функцию Лагранжа и найдём её частные производные 1-го порядка:

Составим стандартную систему:

Привлекательнее всего выглядит 1-е уравнение, из которого, очевидно, рациональнее выразить «лямбду»:
– подставим во второе уравнение:

Примечание: если и / или , то и уравнение связи фактически перестаёт играть таковую роль, поэтому данные случаи исключаем из рассмотрения.

Теперь подставим в третье уравнение:

подставим в уравнение связи:

На самом деле ещё не очень сложно, бывают куда более «плохие» системы.

Теперь найдём частные производные 2-го порядка:

и аккуратно, ВНИМАТЕЛЬНО составим соответствующий полный дифференциал:

Вычислим значение дифференциала в точке :

Используя критерий Сильвестра (да и просто анализируя слагаемые), легко убедиться, что данная квадратичная форма знакопеременна, т. е. знак зависит от значений . Поэтому используем уже знакомую схему действий. Найдём дифференциал от уравнения связи, здесь он элементарен:

Теперь нужно выразить какой-нибудь дифференциал, в нашем случае выгоднее – подставляем его в наше «знакопеременное недоразумение»:

после чего раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

В результате получена квадратичная форма уже от двух переменных, запишем её матрицу:

Таким образом, квадратичная форма определена отрицательно:
, а значит, функция достигает условного максимума в точке :

Есть ли другой способ проверки достаточного условия? Есть.

Составляем симметрическую матрицу:

Далее рассчитываем угловые миноры 3-го и 4-го порядка в стационарной точке:

Если окажется, что , то функция достигает условного минимума в стационарной точке; если – то условного максимума.

и для точки получаем следующую матрицу:

Желающие могут провести вычисления, найти (рациональнее именно в таком порядке) и сделать тот же самый вывод о наличии условного максимума.

Разумеется, матричный способ более громоздкий, но возможно, кому-то придётся по вкусу.

Ответ: при условии :

Интересно отметить, что в рассмотренном примере нам даже не потребовалось находить значение «лямбда».

Обещанная геометрическая задача:

Определите размеры прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину, высоту) максимального объема, если известно, что сумма длин всех его рёбер равна .

Постарайтесь не только найти решение, но и добросовестно проверить достаточное условие экстремума.

До сих пор нам встречались задания с единственным уравнением связи, но, вообще говоря, условий может быть несколько: два, три и бОльшее количество. И иногда такие примеры не только существуют в «чистой теории», но и реально встречаются на практике:

Исследовать на экстремум функции при условиях

Здесь функция Лагранжа принимает вид и дальнейшие действия будут отличаться мало: находим частные производные 1-го порядка и приравниваем их к нулю, при этом к системе нужно присоединить оба уравнения связи. После нахождения стационарной точки проверяем достаточное условие экстремума, для которого «хватает» дифференциала 2-го порядка.

Решите этот пример самостоятельно – и вы очень удивитесь, как всё легко!

Задача отыскания условных экстремумов реализуема и для функций бОльшего числа переменных, причём условий может быть тоже сколько угодно. Общий алгоритм, думаю, понятен: находим частные производные по всем переменным, приравниваем их к нулю и добавляем в систему все уравнения связи. При проверке достаточного условия экстремума выгоднее использовать теорию квадратичных форм, при необходимости уменьшая количество входящих в неё переменных (отыскивая и выражая дифференциалы из уравнений связи). Однако существует и общая матричная форма достаточного условия, частные случаи которой мы тоже разобрали.

Надеюсь, вы отлично провели время! . правда, не очень хорошо, что я научил вас спиливать водосточные трубы =) …но зато вдруг стало понятно, почему в стране разруха…. Потому что испокон веков на Руси были такие учителя!

Жду от вас свежих идей =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: из уравнения связи выразим – подставим в функцию:

Найдём критические точки:

– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

В частности: , значит, функция достигает максимума в точке .

– точка условного максимума.

Ответ: при условии :

Пример 3: Решение: составим функцию Лагранжа:

и найдём её частные производные 1-го порядка:

Найдём критические точки:

Из 1-го уравнения:
Из 2-го уравнения:
Подставим в уравнение связи:

Если , то
Если , то
Проверим выполнение достаточного условия экстремума.

Способ первый: гиперболический цилиндр , параллельный оси , пересекает плоскость по гиперболе. Вершина нижней ветви этой гиперболы будет максимумом, а вершина верхней ветви – минимумом. Вычислим значения функции в стационарных точках:

Поскольку , то – условный максимум, а – условный минимум.

Способ второй: найдём частные производные второго порядка:

и составим соответствующий дифференциал:

Способ третий: продифференцируем уравнение связи:

и составим следующую матрицу:

Запишем матрицу для значения и точки :

и вычислим её определитель:
, таким образом, функция имеет минимум в точке .
Запишем матрицу для , точки :

и вычислим её определитель:
, таким образом, функция имеет максимум в точке .

Ответ: при условии :

Пример 6: Решение: составим функцию Лагранжа:

Найдём частные производные 1-го порядка:

Найдём стационарные точки:

Из первых трёх уравнений выразим:
– подставим в уравнение связи:

Если , то
Если , то
Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Составим дифференциал второго порядка:

Найдём частные производные второго порядка:

Таким образом:
При , значит, функция достигает условного максимума в точке .
При , значит, функция достигает условного минимума в точке .

Ответ: при условии :

Пример 8: Решение: обозначим через – длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда. По условию: . При данном условии требуется найти максимальное значение объёма параллелепипеда.
Составим функцию Лагранжа и найдём её частные производные:

Найдём стационарные точки:

Из первых трёх уравнений следуют соотношения:

Таким образом:

– стационарная точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Найдём частные производные 2 порядка

и составим соответствующий полный дифференциал:

Для точки :

Очевидно, что данная квадратичная форма знакопеременна. Найдём дифференциал от уравнения связи:

, откуда выразим, например, – подставим в полный дифференциал 2 порядка и проведём упрощения:

В результате получена квадратичная форма уже двух переменных, запишем её матрицу:

и вычислим угловые миноры:

Согласно критерию Сильвестра, , значит, функция достигает усл. максимума в точке :

Ответ: оптимальный параллелепипед представляет собой куб с ребром , при этом максимальный объём:

Пример 9: Решение: из 1-го уравнения связи выразим – подставим во 2-е уравнение связи:

– подставим в выражение :

Подставим и в функцию:

Найдём критические точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
, в частности:
, значит, функция достигает минимума в точке
Вычислим две другие координаты:

– точка условного минимума функции .

Ответ: при условиях :

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x, y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x, y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\varphi(x, y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=\psi(x)$, то подставив $y=\psi(x)$ в $z=f(x, y)$, получим функцию одной переменной $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x, y)=f(x, y)+\lambda\varphi(x, y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_^<''>dx^2+2F_^<''>dxdy+F_^<''>dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x, y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F 0$, то $d^2F 0$, т. е. имеем условный минимум функции $z=f(x, y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть

Некоторые авторы записывают определитель $H$ в иной форме (с знаком «-«):

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H m$):

Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F 0$, поэтому в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x, y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_<\max>=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем: $H=8\cdot\left| \begin 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end \right|= 8\cdot\left| \begin 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end \right|=-40$. Так как $H 0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т. е. $\left( dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac<1><2>$ получим $d^2F 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_<\max>=\frac<500><243>$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

Так как $ d^2F \Bigr|_=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x, y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F \Bigr|_=-10 dx^2 0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_<\min>=u(0)=0$. Так как $u_^<''>(M_2) 0; \; y > 0. \end \right. $$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac<5x>$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-\frac<5x>\cdot \frac<4>=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $\frac<4y^2><8>+\frac<2>-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:

Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_<\max>=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.