Формула площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла С.

Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

12(B13). Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы (вар. 48)

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 63054

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Ксюшинда

Спасибо большое. Всё понятно до невозможности)))))):)

Формула площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы

Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

12(B13). Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы (вар. 48)

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 63055

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Ксюшинда

Спасибо большое. Всё понятно до невозможности)))))):)

Формула площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы

Площадь основания призмы: от треугольной до многоугольной

Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник — от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если треугольник прямоугольный, то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания треугольной призмы в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * на. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: на = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота на противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d1 d2. Здесь d1 и d2 — две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней площадь равностороннего треугольника следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

№ 1. Дана правильная прямая четырехугольная призма. Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 — н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 — н 2 )/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности — 960 см 2 .

№ 2. Дана правильная треугольная призма. В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

Ответ. Площади: основания — 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы — 180 см 2 .

площадь боковой поверхности шестиугольной призмы

Боковая поверхность шестиугольной призмы:

Как мы видим — призма имеет шесть боковых сторон, которые представляют из себя прямоугольники со сторонами a и h

Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы равна сумме шести площадей боковых граней.

Подставим сюда формулу площади прямоугольника, получим:

Призма. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Определение

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • Главная формулаобъема призмы:
    ,
    где — площадь основания,
    — высота.
  • Необычная формула объема призмы:
    ,
    где — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
    — длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

1. Что такое призма?

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми. Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Примечание: Не забудь, что у нас ты можешь пройти пробный ЕГЭ в онлайне . Но если тебе это не нужно, читай дальше:)

А теперь: рёбра. Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее: бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах. А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF.

2. Высота призмы

И ясно даже (а тебе?), что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

3. Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро — прямоугольники.

4. Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник. Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильнаятреугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

2) Правильнаячетырёхугольнаяпризма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

3) Правильнаяшестиугольнаяпризма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Объём призмы

Главная формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то «превращается» в боковое ребро. И тогда

– то же самое, что

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

— площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

— длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Правильная треугольная призма

Пусть дано, что сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Подставляем в формулу объёма:

Правильная четырёхугольная призма

Опять дано: сторона основания равна , боковое ребро равно .

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Правильная шестиугольная призма

Что же такое ? Как найти?

Смотри: шестиугольник состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Площадь поверхности призмы

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

, где — периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Все боковые грани – прямоугольники. Значит .

— это уже выводили при подсчёте объёма.

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

  • Что тебе понравилось? Что не понравилось?
  • Может быть ты нашел ошибку?
  • Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке:

Комментарии

Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде. Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды»,который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!

Спасибо, Илья! Всегда рады помочь! 🙂

Всё хорошо. Только нет чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильной треугольной призмы

Спасибо, Александр за замечание. Постараемся учесть.

Сайт отличный! Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.

Спасибо, Дмитрий. В этом — наша цель. У нас могут быть (и есть! ) ошибки и мы их исправляем, но мы стараемся, чтобы вы поняли суть, чтобы вы научились понимать и размышлять. Зовите друзей на наш сайт. Хорошая работа не должна пропасть 🙂

Аааааааа, это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии. Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спаибо большое

Регина, знала бы ты, как нам приятно такое читать! ) Удачи на экзаменах.

илтимос, луфтан, рәхим итеге, берни түгел, зинһар

Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно

Спасибо большое, Настя! Заходи к нам еще! 🙂

формулы не везде видно, например вместо них фигни типа этих $\text=<<\text>_<\text<основания>>>\cdot \text=<<\text>_<\text>>\cdot \text$

Да, я понимаю о чем идет речь. «Фигни типа этих» возникают если у вас не обновлена страница. Нужно обновить страницу или, если не поможет, почистить кэш, то есть нажать ctrl + F5.

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail