Гдз по математике наглядная геометрия 5-6 класс шарыгин гдз

УСЛОВИЕ: В выпуклом четырёхугольнике АВСD известно, что AB=BC, AD=CD, угол В=100 °, угол D=120 °. Найдите угол А. Ответ дайте в °ах. РЕШЕНИЕ: Треугольник АВС – равнобедренный, тогда угол ВАС=(180–100):2=40(°). Треугольник АDC–равнобедренный, тогда угол DAC=(180–120):2=30(°).

Математика. Наглядная геометрия. 5-6 классы. Учебник / Шарыгин

Содержание учебника 5-6 класса Шарыгина, Ерганжиевой по наглядной геометрии развивает геометрическую интуицию, пространственное воображение, изобразительные навыки учащихся. Включает интересные задачи, исторические сведения, примеры влияния геометрии на искусство-архитектуру, а также головоломки, лабиринты, орнаменты и др. Стимулирует интерес к изучению геометрии. Стиль изложения — художественное оформление учебника также способствуют стимулированию интереса к геометрии.

Первые шаги — геометрии 4

Пространство и размерность 7

Простейшие геометрические фигуры 14

Конструирование из Т 17

Куб — его свойства 18

Задачи на разрезание — складывание фигур 24

Правильные многогранники 36

Геометрические головоломки 39

Измерение длины 43

Измерение площади — объема 48

Вычисление длины, площади — объема 51

Геометрический тренинг 66

Топологические опыты 69

Задачи со спичками 77

Зашифрованная переписка 77

Задачи, головоломки, игры 81

Фигурки из кубиков — их частей 87

Параллельность — перпендикулярность 91

Координаты, координаты, координаты 104

Замечательные кривые 114

Кривые Дракона 119

Геометрия клетчатой бумаги 128

Зеркальное отражение 129

Симметрия помогает решать зад-чи 148

Одно важное св-во окружности 151

Задачи, головоломки, игры 156

Математика. Наглядная геометрия. 5-6 классы. Учебник / Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. -2-е изд. — М., 2015 -192 с.

Вместе с «Математика. Наглядная геометрия. 5-6 классы. Учебник / Шарыгин» скачивают:

Ещё, Скачать!

Математика. 1 класс. Поурочные планы к учебнику и рабочей тетради Моро

Геометрия. 11 класс. Готовимся к ЕГЭ / Литвиненко

Математика. 6 класс — Зубарева, Мордкович

Русский язык, Математика, Литературное чтение. Диагностика. 4 класс / .

ЕГЭ. Математика. Сечения многогранников. Профильный уровень — Ре.

Алгебра. 7 класс. Поурочные планы к учебникам Макарычева и Алимова

Рабочая тетрадь по математике. 5 класс. К учебнику Зубаревой — Е.

Математика. ЕГЭ 2016. Демонстрационный вариант: профильный урове.

Гдз по математике наглядная геометрия 5-6 класс шарыгин гдз

Математика. Наглядная геометрия. 5-6 классы. Учебник / Шарыгин

Содержание учебника 5-6 класса Шарыгина, Ерганжиевой по наглядной геометрии развивает геометрическую интуицию, пространственное воображение, изобразительные навыки учащихся. Включает интересные задачи, исторические сведения, примеры влияния геометрии на искусство-архитектуру, а также головоломки, лабиринты, орнаменты и др. Стимулирует интерес к изучению геометрии. Стиль изложения — художественное оформление учебника также способствуют стимулированию интереса к геометрии.

Первые шаги — геометрии 4

Пространство и размерность 7

Простейшие геометрические фигуры 14

Конструирование из Т 17

Куб — его свойства 18

Задачи на разрезание — складывание фигур 24

Правильные многогранники 36

Геометрические головоломки 39

Измерение длины 43

Измерение площади — объема 48

Вычисление длины, площади — объема 51

Геометрический тренинг 66

Топологические опыты 69

Задачи со спичками 77

Зашифрованная переписка 77

Задачи, головоломки, игры 81

Фигурки из кубиков — их частей 87

Параллельность — перпендикулярность 91

Координаты, координаты, координаты 104

Замечательные кривые 114

Кривые Дракона 119

Геометрия клетчатой бумаги 128

Зеркальное отражение 129

Симметрия помогает решать зад-чи 148

Одно важное св-во окружности 151

Задачи, головоломки, игры 156

Математика. Наглядная геометрия. 5-6 классы. Учебник / Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. -2-е изд. — М., 2015 -192 с.

Вместе с «Математика. Наглядная геометрия. 5-6 классы. Учебник / Шарыгин» скачивают:

Ещё, Скачать!

Математика. 1 класс. Поурочные планы к учебнику и рабочей тетради Моро

Геометрия. 11 класс. Готовимся к ЕГЭ / Литвиненко

Математика. 6 класс — Зубарева, Мордкович

Русский язык, Математика, Литературное чтение. Диагностика. 4 класс / .

ЕГЭ. Математика. Сечения многогранников. Профильный уровень — Ре.

Алгебра. 7 класс. Поурочные планы к учебникам Макарычева и Алимова

Рабочая тетрадь по математике. 5 класс. К учебнику Зубаревой — Е.

Математика. ЕГЭ 2016. Демонстрационный вариант: профильный урове.

Гдз по математике наглядная геометрия 5-6 класс шарыгин гдз

ГДЗ по математике 5 класс Дорофеев Шарыгин ответы

ГДЗ готовые домашние задания учебника по математике за 5 класс Дорофеев, Суворова, Шарыгин ФГОС от Путина. Решебник (ответы на вопросы и задания) учебников и рабочих тетрадей необходим для проверки правильности домашних заданий без скачивания онлайн

Выберите номер задания учебника

Другие решебники

ГДЗ от Путина ру — онлайн решебники (ГДЗ) к учебникам и рабочим тетрадям (копирование материалов сайта запрещено)

Решение задач по математике онлайн

Содержание учебника направлено на развитие геометрической интуиции, пространственного воображения, изобразительных навыков учащихся. Включение в учебник интересных задач, исторических сведений, примеров влияния геометрии на архитектуру и искусство, а также головоломок, лабиринтов, орнаментов и др. способствует развитию интереса к изучению геометрии. Этому же способствуют стиль изложения и художественное оформление учебника. Учебник может быть использован с любым систематическим курсом математики для 5-6 классов основного общего образования.

Автор: Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н.

Год издания: 2015

Размер файла: 5,7 Мб

Если хотите пожаловаться на книгу, то оставьте сообщение в форме обратной связи

Учебник Математика Наглядная геометрия 5-6 класс Шарыгин Ерганжиева

7 | а) б) Рис. 24 4. Можно ли куб завернуть в букву Т в один слой? Если да, то нарисуйте эту букву. Укажите ее размеры, если ребро куба равно 1 см. 5. Имеется кусок клетчатой бумаги размером 10 х 10 клеток. Вырежьте из нее как можно больше букв Т такой формы, как на рисунке 23. 6. Разрежьте фигуры (рис. 24, а, б) на буквы Т такой же формы, как в задании 5. Куб и его свойства Пожалуй, трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики — любимая игра малышей. Кажется, что мы о кубе знаем все. Но так ли это ? Что вы можете о нем рассказать, какие его свойства вам известны ? Куб является представителем большого семейства многогранников. С некоторыми из многогранников вы уже встречались. Это пирамида, прямоугольный параллелепипед. Знакомство с другими, например октаэдром, додекаэдром, ожидает вас впереди. Многогранники при всем различии имеют ряд общих свойств. Например, поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников, которые называются ГРАНЯМИ МНОГОГРАННИКА. Два соседних 18 Куб и его свойства першнна Рис. 25 Рис. 26 грань ребро плоских многоугольника имеют общую сторону — РЕБРО МНОГОГРАННИКА. Концы ребер являются ВЕРШИНАМИ МНОГОГРАННИКА. Рассмотрите изображение куба на рисунке 25, перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов куба. Запомните и в дальнейшем используйте эти термины! Решение следующих задач и выполнение заданий позволит вам обнаружить некоторые свойства куба. 1. Возьмите в руки кубик из любого материала. Лучше, если он будет не очень маленьким. Ваша цель — исследовать его, т. е. обнаружить путем измерения, наблюдения, подсчета как можно больше свойств куба. Обнаруженные свойства запишите в тетрадь. Обсудите в классе полученные результаты. Дополните, если это понадобится, свой список свойств куба теми свойствами, которые заметили ваши одноклассники. (Как склеить куб, сказано в задании 2.) 2. Перечертите на клетчатую бумагу фигуру (рис. 26) и вырежьте ее (сторона каждого квадрата 4 см). Сверните из нее куб, склейте его. Вырезанная фигура называется РАЗВЕРТКОЙ КУБА. Подумайте, почему она так названа. Из чего она состоит? Придумайте еще несколько разверток куба и начертите их в тетради. 3. Из фигур, изображенных на рисунке 27, выберите те, которые являются развертками куба, и перенесите их в тетрадь. Объясните, почему вы выбрали именно их. Рис. 27 Куб и его свойства [19 В н Б ‘ I □ ■ Ш л Г ■ п Рис. 28 Рис. 29 / / / а) б) т «) Рис. 30 4. Условимся боковые грани куба обозначать буквой Б, верхнюю — В, нижнюю — Н. Расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными (рис. 28). 5. Дана развертка куба (рис. 29). Какие из кубиков на рисунке 30, а—в можно из нее склеить? Выберите кубик и обоснуйте выбор. 6. На развертке куба (рис. 31) пронумерованы его грани. Запишите парами номера противоположных граней (противоположные грани не имеют общих ребер): 1,_ , 2,_ , 3,_ . Запишите грани, которые соседствуют с гранью 6. Перечертив развертку на бумагу, обозначив грани и вырезав ее, проверьте себя. 7. На видимых гранях куба (рис. 32, а) проставлены числа 1, 2, 3. А на развертках (рис. 32, б, в) — два из названных чисел или одно. Расставьте на развертках куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7. 8. Пунктирными линиями обозначены невидимые ребра куба (рис. 33). Обведите ребра куба, которые лежат ближе к вам, красным цветом, а дальние — синим. Какие ребра ведут вглубь? Обведите их зеленым. 2 1 4 3 6 5 а) 1 б) в) Рис. 31 Рис. 32 20 Куб и его свойства слева снизу справа сверху справа снизу Рис. 33 Рис. 34 На этот куб мы смотрели справа сверху. На рисунке 34 проведите сплошные линии (видимые ребра) так, чтобы куб был «виден»: а) слева снизу; б) справа сверху; в) справа снизу. 9. Отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба (наиболее удаленные друг от друга), называется ДИАГОНАЛЬЮ КУБА (рис. 35). Как измерить диагональ непустого куба, пользуясь только линейкой и карандашом, если есть: а) еще два таких же куба; б) один такой куб? 10. Рассмотрите рисунок 36. Что за странный куб изображен на нем? Что в нем необычного? 11. Сколько кубиков вы видите на рисунке 37? 12. Имеется полоска бумаги размером 1 х7. Как из нее сложить единичный кубик (т. е. куб с ребром 1)? 13. Представьте, что куб стоит на одной своей вершине и освещен прямо сверху. Какая в этом случае получается тень от куба? 14. Имеется куб со стороной 3 см. Сколько надо сделать распилов, чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см? 15. В противоположных (наиболее удаленных друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха (рис. 38). Каким кратчайшим путем паук может доползти до мухи? Объясните ответ. >л . * — Ч\- Рис. .35 — f *1 : К’ Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38 Куб и его свойства |21! % Рисунок к заданию 11 относится к НЕОДНОЗНА ИНЫМ ФИ — • ГУРАМ. Рассмотрите картинки, изображенные на рисунке 39. ‘ Сколько разных объяснений вы найдете для каждой из них ? > Э. Боринг. Леди и старуха С какой стороны мы смотрим на этот каркасный куб? 22 Задачи на разрезание и складывание фигур Задачи на разрезание и складывание фигур «Семь раз отмерь, один раз отрежь!» Эта пословица предостерегает вас от поспешности в решении задан. Заданную фигуру, которая для облегчения работы часто разделена на равные клеточки, надо разрезать на две или несколько одинаковых частей. Если эти части можно наложить одну на другую так, что они совпадут <при этом разрешается переворачивать их наизнанку), то задача решена верно. а) б) Рис. 40 1. На рисунке 40, а показан способ разрезания квадрата со стороной в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части. Найдите пять других способов. Сколько существует способов разрезания квадрата на две равные части линиями, идущими по сторонам маленьких квадратиков? 2. Эта задача посложнее, так как фигура на рисунке 40, б, которую также нужно разрезать на две равные части, не такая простая. 3. Над разрезанием этих фигурок (рис. 41) на две равные части подумайте на досуге. Это очень хороший и полезный отдых, гораздо лучще сидения перед телевизором. Замечание. Разрезать можно не только по сторонам, но и по диагоналям клеточек. 7 7 7 7 ГГ ■\ 7 N 7 7 \ 7 1\ Рис. 41 Задачи на разрезание и складывание фигур |23 А теперь мы предлагаем вам не задачу, а игру. И называется она ПЕНТАМИНО. Эта игра была придумана в 50-х годах XX в. американским математиком С. Голомбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики. Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причем квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами. Составьте из пяти квадратов все 12 фигур пентамино. Сравните свои результаты с рисунком 42. Изготовьте из картона набор пентамино со стороной квадратика, равной 2 см. Уложите все 12 фигур пентамино в прямоугольник 6 х 10. Сколько разных вариантов вы можете предложить? Фигурки пентамино можно переворачивать. Перемешайте фигуры пентамино на столе, чтобы они лежали произвольно, а затем сложите прямоугольник 6 х 10, не переворачивая ни одной фигурки. Постройте два прямоугольника 5x6. На рисунке 43, а фигурки пентамино, похожие на Т, уложены на плоскости без промежутков (говорят, что из них составлен паркет). Из каких еще фигурок пентамино можно составить паркет ? Нарисуйте на клетчатой бумаге эти паркеты. Рис. 42 24i Треугольник б) Рис. 43 В пентамино можно играть и вдвоем. Двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках поля 8x8. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного пентамино. Если же все фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним. Шахматную доску 8x8 полностью нельзя покрыть пентамино, останется четыре свободные клетки. Если вырезать в середине квадрат 2x2, то оставшиеся клетки покрываются двенадцатью фигурками пентамино. На рисунке 43, б изображено покрытие, предложенное Голомбом. Найдите еше хотя бы один вариант подобного покрытия квадрата 8 X 8 с вырезанной серединой. _л 1 1 г — Треугольник Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике^, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты ?! А ведь знакомый всем нам с детства треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного. Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство МНОГОУГОЛЬНИКОВ. Присмотритесь к слову «многоугольник» и скажите, из каких частей оно состоит. Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл. Слово «многоугольник» указывает на то, что у всех фигур из этого семейства много углов. ' Бермудский треугольник находится в Атлантическом океане между Бер мудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида. Треугольник 25 а) Рис. 45 а) б) Рис. 46 Но для характеристики фигуры этого еще недостаточно. Например, у фигуры, изображенной на рисунке 44, тоже много углов, но она не является многоугольником. Определяя многоугольник, мы говорим, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга. Подставьте в слове «многоугольник» вместо части «много» конкретное число, например 5. Вы получите пятиугольник (рис. 45, а, б). Или 6. Тогда — шестиугольник (рис. 46, а, б). Заметьте, что сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками. Внимательно рассмотрите рисунки 45 и 46. Чем отличаются многоугольники на рисунках 45, а и 46, а от многоугольников на рисунках 45, б и 46. 6? Каким НАИМЕНЬШИМ числом можно заменить «много» в слове «многоугольник» ? Самым простым многоугольником является треугольник. Но простым — еще не значит неинтересным. Посмотрим, что преподнесет нам знакомство с треугольниками. На рисунке 47 изображен треугольник АВС и указаны основные его элементы. Вершины треугольника, а также соответствующие углы принято обозначать большими латинскими буквами А, В, Сили К, L, М w т. д., а весь треугольник обозначают так: Л А ВС или А KLM (по буквам вершин). Все большое семейство треугольников можно разделить на группы по числу равных сторон: И Равных сторон нет — разносторонний треугольник-. две равные стороны — равнобедренный треугольник (равные стороны называются боковыми); все стороны равны — равносторонний, или правильный, треугольник. \ Ь 261 Треугольник Треугольники можно разделить на группы в зависимости от углов:

Все углы острые — остроугольный треугольник-, есть прямой угол — прямоугольный треугольник-, есть тупой угол — тупоугольный треугольник. В Н Р R На рисунке 48 найдите равнобедренные, правильные, разносторонние, остроугольные, прямоугольные, тупоугольные треугольники. Запишите их. Попадают ли какие-либо из них в две группы сразу? В разделе 6 мы составляли из некоторых фигурок пентамино паркеты. А можно ли одинаковыми треугольниками покрыть плоскость без промежутков? Вырежьте из бумаги несколько одинаковых треугольников и проверьте свое предположение о возможности такого покрытия. Подумайте, зависит ли результат от вида треугольников. Посмотрите внимательно на получившиеся паркеты. Какой вывод о сумме углов треугольника вы можете сделать ? 1. Измерьте с помощью транспортира углы треугольников на рисунке 48 и результаты внесите в таблицу, в последнем столбце которой запишите сумму углов. а) Какое число должно было бы стоять в последнем столбце, если бы все измерения были сделаны абсолютно точно? б) Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами? в) Существует ли треугольник, все углы которого больше 70°? г) Существует ли треугольник, все углы которого меньше 50°? 2. Начертите в тетради: а) равнобедренный остроугольный треугольник; б) равнобедренный прямоугольный треугольник; в) равнобедренный тупоугольный треугольник. Треугольник 27 Рис. 49 ребро грань Рис. 50 3. Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми сторонами? А с большими? 4. На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками, соединяющими какую-либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника? А если взять произвольный «-угольник? Треугольники, соединяясь друг с другом, могут образовывать другие фигуры. Например, шесть правильных треугольников, имеющих общую вершину, образуют правильный шестиугольник (рис. 49). Шестиугольник, как и сам треугольник, плоская фигура. Если же к стороне одного правильного треугольника, лежащего на столе, приставить еще три таких треугольника так, чтобы одна вершина оказалась общей, то получится объемное геометрическое тело — ПИРАМИДА (рис. 50). Слово «пирамида» происходит от древнеегипетского слова «пурама» (так пирамиды называли древние египтяне). Современные египтяне называют пирамиды словом «хирам», которое тоже происходит от этого древнеегипетского слова. Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от того, на какой многоугольник опираются треугольники (в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании пирамиды). Треугольная пирамида имеет еще одно название — ТЕТРАЭДР, т. е. четырехгранник («тетра» — четыре, «эдр» — грань). вершина % Возьмите в руки или представьте по рисунку 50 треугольную пирамиду, исследуйте ее так, как вы исследовали когда-то куб. Результаты исследований запишите в тетрадь. Подумайте, что является разверткой тетраэдра, нарисуйте ее. Сделайте модель тетраэдра из бумаги. Будьте аккуратны при вычерчивании развертки. 28 Треугольник задняя грань — белая нижняя грань 5. Дан тетраэдр, грани которого окрашены в серый, оранжевый, розовый и белый цвета (рис. 51). Тетраэдр начинают перекатывать, как показано на рисунке, причем он оставляет след такого же цвета, что и грань, касающаяся бумаги. Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой грани, то какого цвета будет последний след? Постарайтесь догадаться без модели. Если трудно догадаться, то модель вам поможет. 6. Тетраэдр (см. рис. 51), перекатываясь с грани на грань, возвращается в свое исходное положение. Если сначала нижняя грань была оранжевой, то какой она будет после возвращения? Зависит ли результат от пути? Пирамида — «жесткое» геометрическое тело, т. е. его нельзя изменить, не сломав. Этим свойством «жесткости» обладают все ИЗВЕСТНЫЕ вам многогранники. Лишь совсем недавно американский геометр Кон-нели сумел построить «хитрый» многогранник, который этим свойством не обладает, а может изменять свою форму так, что каждая его грань остается неизменной. Это очень сложный многогранник. Некоторое представление о нем дает рисунок 52. Существует интересная геометрическая игрушка, которая состоит из треугольников и меняется, выворачиваясь наизнанку. Это игрушка ФЛЕКСАГОН (от английского слова to flex, что означает «складываться, гнуться»). Другими словами, флексагон — гнущийся многоугольник. Флексагон обладает удиви — Рис. 52 Треугольник 29

28 см^. Ощибка при этом будет меньще, чем 28 — 16 = 40 — 28 = 12 см^. Объясните, почему ощибка меньще указанной величины. Как поступить, чтобы найти площадь фигуры точнее? Для этого надо дробить квадратную единицу. В 1 см^ укладывается 10 х 10 = 100 мм^. Будем продолжать заполнять площадь фигуры квадратными миллиметрами до тех пор, пока это возможно. Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине, мы вычислим площадь фигуры с недостатком, но уже точнее. Продолжая покрывать фигуру квадратными миллиметрами, мы Рис. 72 найдем ее площадь с избытком. № ‘.V V »1 **■ S 48 Измерение площади и объема Затем вновь возьмем полусумму полученных значений. Продолжая этот процесс, можно определить площадь еще точнее. Так же можно поступить и с пространственной фигурой. В качестве единицы объема можно выбрать куб с ребром, равным соответствующей линейной единице. Получим 1 кубическую единицу — метр, сантиметр, арщин, фут и т. д. Поскольку в 1 м^ 100 X 100 X 100 = 1 000 000 см^, то 1 м^ в миллион раз больще, чем 1 см^. 1. Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре, квадратных арщинов в квадратной версте, квадратных дюймов в одном квадратном ярде, квадратных километров в одной квадратной миле, кубических сантиметров в одном кубическом километре, кубических вершков в одной кубической сажени, кубических футов в одном кубическом арщине? А теперь вновь зададим вопрос: «Почему?» Почему для получения единиц площадей и объемов мы использовали квадрат и куб? Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром, взяв за единицу треугольник, у которого все стороны равны 1 см? Или даже круглым сантиметром? Что касается круглого сантиметра, то здесь неудобство сразу бросается в глаза: непересекающимися кругами нельзя заполнить плоскость. Зато треугольниками можно. В связи с этим рещите задачу. 2. Каждая из сторон треугольника равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь? В общем, для измерения площадей треугольные сантиметры вполне подходят. Они ничем не хуже квадратных сантиметров. Но если мы таким же образом введем для измерения объемов пирамидальные единицы, т. е. будем использовать треугольные пирамиды, все ребра которых равны соответствующей единице длины, то столкнемся с больщими трудностями. Оказывается, такими пирамидами нельзя заполнить пространство, и вообще, с измерениями в пространстве Измерение площади и объема 49 все обстоит гораздо сложнее, чем на плоскости. Вот один пример в виде задачи. 3. Треугольник, каждая из сторон которого 2 см, легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями, делящими ее ребра пополам? Все ли части являются пирамидами? При решении практических задач на измерение объема не обязательно разбивать пространство на кубические единицы, а затем мельчить на меньшие кубики. Можно поступить следующим образом. Изготовим сосуд в виде единичного куба и заполним его какой-нибудь жидкостью, например водой. Тогда получившееся КОЛИЧЕСТВО воды (разумеется, при той же температуре) и будет соответствовать объему одной кубической единицы. Теперь, разливая это количество воды в различные по форме сосуды, мы будем получать единичные объемы различной формы. Именно так во многих практических ситуациях человек и поступает. Как известно, 1 л соответствует объему 1 дм^. Большинство бутылок, выпускаемых в нашей стране, вмещает объемы | л или ^ л. С их помощью нетрудно измерить объемы самых разных сосудов с точностью, достаточной в хозяйстве. Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем, хотя здесь также, разрезая квадрат на части и перекладывая эти части, можно получать фигуры единичной площади и различной конфигурации. Кроме длин, площадей и объемов в геометрии надо еще уметь измерять углы. Единица измерения угла, как мы знаем, — градус. Градус можно определить следующим образом. Возьмем произвольную окружность с центром О (рис. 73). Разделим ее на 360 равных частей — дуг. Если мы соединим центр окружности (точку О) с точками деле — Измерение площади и объема ния, ТО получим 360 равных углов, каждый из которых равен 1°. Дуги окружности также измеряются в градусах. Каждая из получившихся дуг равна 1°. Разделив каждый градус на 60 равных частей, получим более мелкую единицу угла — минуту. Минуты обозначают значком ‘. Одна шестидесятая часть минуты — секунда. Обозначается двумя штрихами «. Запись 78°16’25» читается так: 78 градусов 16 минут 25 секунд. Как видим. I Дольные единицы углов называют, как и едини — ■ I цы времени. \ В жизни человеку приходится измерять множество других различных величин: время, массу, скорость, громкость звука, силу света и многое другое. Не так уж редки ситуации, когда мы с помощью единицы одного вида измеряем не соответствующую ей величину. Например, говоря о расстоянии между двумя городами, мы указываем время, в течение которого можно доехать из одного города до другого. И это гораздо удобнее, чем указывать расстояние. При помощи песочных часов время измеряется в единицах объема — объема пересыпавшегося песка. Попытайтесь привести другие примеры такого рода. Во многих случаях, чтобы измерить какую-то величину, приходится проявлять большую изобретательность. Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного шара, площадь океана и многое другое. А это необходимо знать человеку. Помните, в разделе 5 была дана задача об измерении диагонали куба? А вот еще подобная задача. 4. Предложите способ, с помощью которого на практике можно измерить: толщину бумажного листа, объем булыжника, вместимость чайной ложки (ее объем). Придумайте свои задачи на измерение каких-то величин, требующие изобретательности. Вычисление длины, площади и объема 61 J2/ Вычисление длины, площади и объема В книге П. Л. Трэверс «Мэри Поппинс» в одном из эпизодов Кошка задает вопросы Королю. «Первый вопрос: «Высоко ли до неба ?» Король удовлетворенно хмыкнул. Это был вопрос как раз в его вкусе, и он улыбнулся с видом превосходства. — Ну, конечно, — начал он, — это понятие относительное, если мы будем измерять высоту от уровня моря — результат будет один. Если с вершины горы — другой. И приняв все это в расчет, а также определив широту и долготу, учитывая данные метеорологии, психологии, геологии, топологии и болтологии, а также астрономии и физиологии, статистики, лингвистики, беллетристики и мистики, мы можем. » К сожалению, мы вынуждены прервать цитату. Желающие могут прочесть книгу и узнать, чем закончился этот разговор. Как ни странно, но Король прав. Задача измерения весьма трудная, и одной изобретательности недостаточно. Надо многое знать — законы природы, свойства фигур, математические формулы. Так, например, зная, что звук в воздухе распространяется со скоростью 330 м/с (за 1 с проходит 330 м), а свет практически мгновенно, мы без труда определим, на каком расстоянии примерно идет гроза, есди измерим интервал времени между ударом молнии и последующим раскатом грома. В разделе 11 мы рещили несколько практических задач на измерение величин. А как быть, если требуется измерить высоту дерева, щирину реки или объем больщого камня, который трудно поднять даже нескольким силачам? Прежде чем ответить на этот вопрос, рещим следующие задачи. 1. Увеличьте ломаную на рисунке 74, в 2 раза так, чтобы ее форма не изменилась. Нарисуйте какую-нибудь ломаную для соседа по парте. Пусть он удвоит ее длину, сохранив прежнюю форму. На рисунке 74, б 52 Вычисление длины, площади и объема ; / ! 1 р г — Рис. 75 изображена линия, состоящая из отрезков прямых и дуг окружности. Как удвоить эту линию? 2. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 2^ раза? Как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 2^ раза? 3. Ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится его объем? Если каждое ребро пирамиды увеличить в 3 раза, то во сколько раз возрастет ее объем? 4. Покажите, что площадь квадрата на рисунке 75 равна 13 клеткам. 5. Начертите на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого равна 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20, 25, 26 клеткам. 6. Какая часть площади фигур, изображенных на рисунке 76, закращена? у 1Нк у У \ у \ Рис. 76 Вычисление длины, площади и объема 53 Рис. 77 Рис. 78 / 1^’ i К с 1 Рис. 79 7. На рисунке 77 изображена фигура площадью 2 см^. Нарисуйте еще две фигуры площадью 2 см^. Нарисуйте несколько фигур площадью 3 см^. 8. Найдите площади каждой части танграма, если сторона клетки на рисунке 66 равна 1. 9. Покажите, что треугольник и прямоугольник на рисунке 78 имеют одинаковые площади. 10. Через точку внутри квадрата проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток (рис. 79). Докажите, что сумма площадей закращенных частей равна сумме площадей незакращенных частей. 11. Противоположные стороны щестиугольника, изображенного на рисунке 80, равны. Взяв три верщины щестиугольника через одну, получим треугольник. Покажите, что площадь этого треугольника равна половине площади щестиугольника. Рнс. 80 ! V \ д \ V \ V /■ 1 54 Вычисление длины, площади и объема 12. Изображенные на рисунке 81 тела составлены из кубиков с ребром в 1 см. Подсчитайте объемы тел. При решении большинства предыдущих задач мы опирались на некоторые свойства фигур. Эти свойства справедливы не только для квадратов, треугольников, кубов. Они являются общими свойствами произвольных фигур. Сформулируем их. Каждая плоская фигура или пространственное тело имеет форму и размеры. Равные фигуры — это фигуры, равные по размерам и имеющие одинаковую форму. Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части, то эти фигуры будут иметь равные площади. Такие фигуры называют РАВНОСОСТАВЛЕННЫМИ. Фигуры, имеющие равные площади, называют РАВНОВЕЛИКИМИ. Плоские равновеликие многоугольники также являются равносоставленными. Иными словами. Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью. Объемные тела, составленные из одинаковых частей, имеют одинаковый объем. В отличие от многоугольников, два многогранника, имеющие одинаковый объем, не всегда можно разделить на одинаковые части. Если, не меняя формы плоской фигуры, увеличить ее размеры в п раз, то ее площадь увеличится в п х п раз. Если, не меняя формы тела, увеличить его размеры в п раз, то его объем увеличится в п х п х п раз. Вычисление длины, площади и объема Щ Используя эти свойства, можно предложить практический способ вычисления размеров больших предметов. Основная идея — постараться каким-то образом изготовить уменьшенную копию той фигуры, параметры которой надо измерить. Вот небольшая история о том, как отец одного школьника сумел измерить высоту дерева при помо-ши. лужи. Однажды сын проходил с отцом по двору. Недавно прошел дождь, и во дворе было много небольших луж. Посреди двора росло большое дерево. Сын спросил отца: «Чему равна высота этого дерева?» На этот вопрос отец ответил: «Давай не будем гадать, а вычислим его высоту. Я знаю свой рост — 180 см. Мне надо знать, на какой высоте расположены глаза. Думаю, мы не сильно ошибемся, если будем считать это расстояние равным 170 см. Мой шаг равен 90 см. А впрочем, это не важно. Сейчас я встану так, чтобы я мог видеть в этой луже отражение вершины дерева. Теперь подсчитаем, сколько шагов от меня до лужи. Получилось три шага. Так, а чему равно расстояние от лужи до дерева? . 30 шагов. Значит, высота дерева равна. » 13. Сделайте картинку, иллюстрируюшую ситуацию, описанную в рассказе, и ответьте на вопрос, чему равна высота дерева. При решении задач на нахождение тех или иных величин большую пользу могут принести формулы, позволяюшие выразить искомые величины через другие, известные или легко находимые. Простейшие из них — формулы для вычисления плошади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. / Если а и h — длины сторон прямоугольника <в каких-то единицах), то его площадь равна а х Ь квадратных единиц. Если а, Ь и с — длина, высота и ширина прямоугольного параллелепипеда, то его объем равен а х Ь х с кубических единиц. ш [Зб] Окружность Рис. 82 Рис. 83 14. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 82. 15. Нарисуйте овальную линию той же длины, что и на рисунке 83, но ограничивающую фигуру площадью на 1 см^ больще. Окружность В одном из своих стихотворений поэт Павел Коган сказал: «Я с детства не любил овал, я с детства угол рисовал. » На это ему возразил другой поэт, Наум Коржавин: «Меня, наверно. Бог не звал и вкусом не снабдил утонченным. Я с детства полюбил овал за то, что он такой законченный». Но все же не стоит противопоставлять друг другу угол и овал, треугольник и окружность. Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные: треугольник и окружность. Эти фигуры известны нам всем с раннего детства. Любой первоклассник без труда найдет слова, объясняющие, что такое треугольник. Возможно, он скажет что-то вроде: «Возьмем три точки. Если их соединить отрезками, то получится треугольник». Конечно, назвать это описание математически точным определением треугольника нельзя. Но суть выражена достаточно ясно. Следует отметить, что математики очень любят давать определения всем встречающимся в их науке по - Окружность 57 нятиям, даже самым общеизвестным, таким, как треугольник. Существуют правила, которым должно удовлетворять определение. Так, если мы скажем, что «треугольник — это многоугольник, у которого три стороны и три верщины», это значит, что мы свели понятие «треугольник» к более щирокому понятию «многоугольник». А это, в свою очередь, означает, что понятие «многоугольник» должно быть определено раньще. Оказывается, дать определение даже самым общеизвестным понятиям не так просто, как это может показаться на первый взгляд. Попробуйте поиграть в определения и определить такие понятия, как стул, щкола, веселье, бег, отдых, обед и т. д., и вы убедитесь в этом. Но вернемся к окружности. Известный математик Гротендик, вспоминая свои щкольные годы, заметил, что увлекся математикой после того, когда узнал определение окружности. Он понимал, что такое треугольник. в смысле высказывания нащего первоклассника. Но никак не мог понять, что такое окружность. Ведь эта линия в каждой точке загибается! Что же такое окружность? Оказывается, эта линия определяется совсем иначе, чем треугольник и вообще многоугольник. Окружность — это линия, состоящая иэ всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности. Н На рисунке 84 изображена окружность, отмечен ее центр — точка О, проведены два отрезка: ОС viAB. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius — «спица в колесе»). Отрезок АВ Окружнист ь соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это ДИАМЕТР окружности (в переводе с греческого — «поперечник»). Сколько можно провести в окружности радиусов и диамет - i ров ? Как связаны между собой радиус и диаметр одной окруж - ^ ности ? I Окружность — удивительно гармоничная фигура, древние греки считали ее самой совершенной. Совершенство окружности — в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от центра. Именно поэтому I ^ ■ Окружность — единственная кривая, которая может >I «скользить сама по себе», вращаясь вокруг центра. , Основное свойство окружности дает ответ на вопросы, почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми, а не квадратными или, например, треугольными. Подумайте и вы над этими вопросами. Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться. Ведь даже ацтеки, жившие в Мексике, почти до XVI в. не знали колеса. Окружность обладает еше одним интересным свойством. Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо, положив полученное кольцо на плоскость, сделаем из него разные фигуры: квадрат, треугольник, окружность и т. д. (рис. 85). Рис. 85 Площадь, ограниченная окружностью (т. е. площадь круга), — наибольшая среди полученных таким образом площадей. Окружность — это замкнутая кривая линия. Она имеет длину. Круг — плоская фигура, его характеризует ПЛОЩАДЬ. к Окружность С площадью круга связана одна из самых знаменитых задач древности — ЗАДАЧА О КВАДРАТУРЕ КРУГА. Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Поиски квадратуры круга продолжались четыре тысячелетия! Лищь в 1882 г. немецкий математик Ф. Линдеман доказал, что с помощью циркуля и линейки эта задача неразрещима. Как нарисовать окружность? Известно, что для изображения окружности служит циркуль. Гораздо труднее нарисовать окружность от руки. Попробуйте сделать это сами. Не правда ли, получается какой-то овал, лищь отдаленно напоминающий окружность? Конечно, опытные, тренированные люди весьма ловко одним росчерком изображают окружность. Рассказывают, что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки мог столь точно нарисовать окружность, что последующая проверка при помощи циркуля не показывала никаких отклонений. Посоревнуйтесь с друзьями, кто из вас лучше изобразит окружность без циркуля. ^ При вычерчивании окружности на клетчатой бумаге стоит запомнить одно правило, позволяющ, ее сделать нужное изображение от руки. Правда, речь идет об изображении окружности определенного размера. Правило это записывается в виде трех пар чисел: 3—1, 1—1, 1—3. Рис. 86 ч S \ Действовать по этому правилу нужно так. Возьмем пересечение линий (узел) клетчатой бумаги (рис. 86). Отступив на три клетки вправо и на одну вниз, поставим вторую точку. Отступая от второй точки по одной клетке вправо и вниз, находим третью точку. Четвертая 60 Окружность точка находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от третьей точки. ——————————— Соединив плавной линией по — I Скольким клеткам равен i лученные точки, мы весьма по — I радиус такой окружности ? j хоже изобразим четверть ок — ——— ружности. Много интересных задач связано с окружностью и кругом. Вот несколько таких задач: 1. Почему канализационные люки делают круглыми, а не квадратными? 2. Возьмите прямоугольный листок бумаги, который можно накрыть кругом. Перегните листок (рис. 87). Можно ли теперь накрыть его тем же кругом? 3. Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных. 4. Существует ли кольцо, изображенное на рисунке 88, в действительности, или на рисунке допущена ощибка? \ + \ \ iC,. Назовите еще две четверки параллельных между собой ребер С куба. Ребро АА^ перпендикулярно ребрам АВ, А^В^, AD и /4]/),. Угол между ребром АА^ и каждым из этих ребер равен 90°. Назовите ребра, перпендикулярные: а) ребру CCj; б) ребру DC. Ребра АА^ и ВВ^ куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани; в этой же плоскости лежат и ребра А^В^ wAB. Через ребра АА^ и CCj также можно провести плоскость — АА^С^С (диагональное сечение куба). А вот пара ребер АА^ и D^C^ особенная. Не существует плоскости, которая бы проходила через оба эти отрезка (а также через прямые АА^ и D^C^). Такие отрезки и прямые называются СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ. Какую бы плоскость мы ни провели через АА^, обязательно прямая £>iCi либо пересечет ее в какой-либо одной точке, либо не пересечет никогда. Найдите еще несколько пар скрещивающихся ребер куба ABCDA^B^C^D^. 1. Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больще примеров параллельных и перпендикулярных прямых, встречающихся в окружающем нас мире. (Можно провести конкурс в классе или дома. Участники поочередно называют примеры таких прямых. Игра заканчивается, как только в течение минуты никто не может придумать новый пример. Побеждает тот, чей пример был последним.) 2. Найдите на рисунке 181 какие-либо отрезки с концами в верщинах куба (не являющиеся его ребрами), такие, чтобы они были: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) скрещивающимися. 96 Параллелограммы 3. Пользуясь линейкой, транспортиром и чертежным угольником, найдите на рисунке 182 пары параллельных и перпендикулярных прямых. 4. На рисунке 183 изображены две параллельные прямые, пересекаемые третьей прямой. Известно, что угол 7 равен 52°. Чему равны остальные углы? Параллелограммы Параллелограмм — это красивое и звучное слово, напоминающее нам о единицах веса, на самом деле никакого отношения к ним не имеет. Проведем две пары параллельных прямых, как на рисунке 184. Рассмотрим образовавшийся при этом четырехугольник А BCD. Его стороны попарно параллельны: А В || CD, ВС || AD. Такой четырехугольник называется ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ. На рисунке 185 изображены разные параллелограммы. Да, да, не удивляйтесь, и ромб, и прямоугольник, и квадрат — тоже параллелограммы. Только это параллелограммы с некоторыми дополнительными свойствами. 77) Рис. 184 г опо Рис. 185 ] в J ! Рис. 186 Г D Параллелограммы 97 Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. А действительно ли прямоугольник является параллелограммом? Верно ли, что А В || CD и ВС || AD (рис. 186)? Вспомним свойство трех перпендикулярных прямых (с. 92). Оно говорит о том, что два перпендикуляра к одной прямой, расположенные в одной плоскости, параллельны между собой. В прямоугольнике А BCD АВ AD >л CD LAD. Значит, А В || CD. Но углы А ^ В тоже прямые, т. е. ВС L АВ w AD LAB. Значит, и ВС || А D. Получилось, что у прямоугольника стороны попарно параллельны. Следовательно, прямоугольник является параллелограммом. Квадрат — очень интересный четырехугольник. Ему можно дать несколько определений. 1. У квадрата, как и у ромба, все стороны равны. Только еще все углы прямые. Значит, квадрат — это ромб с прямыми углами. 2. У квадрата, как и у прямоугольника, все углы прямые. Только еще все стороны равны. Значит, квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. 3. У квадрата, как и у параллелограмма, стороны попарно параллельны. Только еще все они равны и все углы прямые. Значит, квадрат — это параллелограмм с прямыми углами, все стороны которого равны. У квадрата есть еще целый ряд интересных свойств. Так, например, если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади, то следует выбрать этот участок в виде квадрата. Параллелограммы Лучше изучить параллельные и перпендикулярные прямые и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги. Опыты с листом бумаги Отметьте на листе две точки Л и В, а затем сложите « лист так, чтобы А и В совпали. Как расположены друг относи — , тельно друга линия сгиба и прямая АВ? Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару перпендикулярных прямых. Из листа бумаги произвольной формы сложите и затем вырежьте прямоугольник. Покажите в нем параллельные и перпендикулярные стороны. Сверните прямоугольник так, чтобы получился квадрат. Вырежьте этот квадрат и исследуйте его. Линия сгиба, проходящая через две противоположные вершины квадрата, называется ДИАГОНАЛЬЮ КВАДРАТА. Получите перегибанием две диагонали. Какие свойства вы можете отметить, используя только перегибы и наложения бумаги ? Запишите эти свойства. Если их отыскание вызовет затруднение, помочь может следующий план исследования: 1. Сравните диагонали по длине. 2. Как диагонали расположены одна относительно другой? 3. В каком отношении диагонали делятся точкой пересечения? 4. На какие фигуры делит квадрат каждая диагональ? 5. Какого вида эти фигуры? 6. Сравните их между собой. Перегните квадрат пополам так, чтобы совпали две про — i тивоположные стороны. Через какую точку проходит линия \ сгиба? Как линия сгиба расположена относительно сторон квадрата ? На какие фигуры она делит квадрат ? г Параллелограммы \ 99 Учитель дал ребятам задание вырезать из цветной бумаги квадрат. Вася, вырезая квадрат, проверил его так: он сравнил длины сторон. Все четыре стороны оказались равными, и Вася решил, что справился с заданием. Надежна ли такая проверка? Алеша проверил работу иначе: он измерил не стороны, а диагонали. Диагонали были равны, и Алеша посчитал квадрат вырезанным правильно. Верно ли это? Лена, вырезав квадрат, сравнила все четыре отрезка, на которые диагонали разделили одна другую. Они оказались равными. По мнению Лены, это доказывало, что вырезанный четырехугольник — квадрат. А по-вашему? Как удостовериться, что вырезанная фигура — квадрат? Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник, стороны которого 6 см и 10 см, т. е. одна больше другой тоже примерно в 1,6 раза. Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется прямоугольник, одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой. Этот процесс можно продолжать и дальше. На прямоугольники, в которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6 : 1, обратили внимание очень давно. Посмотрите на изображение храма Парфенон в Афинах (рис. 187). Даже сейчас это одно из самых Рис. 187 in Параллелограммы Рис. 188 красивых сооружений мира. Этот храм построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник (рис. 188), то окажется, что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза. Такой прямоугольник назвали ЗОЛОТЫМ ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ. Говорят, что его стороны образуют ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ. Математики дают точное определение золотому сечению. Золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Число 1,6 лишь приближенно (с точностью до 0,1) представляет величину золотого сечения. У Рис. 189 Если отрезок разделен на две части так, что меньшая имеет длину х, а большая — длину у (рис. 189), то в случае золотого сечения ^ ^ ^ ^. Интересно, что / Рис. 190 АС : <АС + СВ) СВ : АС В правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий, составляюш^их эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения <рис. 190). Рис. 191 Параллелограммы 101 На рисунке 191 изображена раковина: точка С делит отрезок А В приблизительно в золотом отношении. Видели ли вы когда-нибудь предметы, имеющие форму золотого прямоугольника ? Постройте золотой прямоугольник с помощью циркуля и линейки по указаниям, данным на рисунке 192. В Начнем с квадрата. Разделим его на два равных прямоугольника Проведем диагональ одного из них Циркулем проведем дугу окружности радиусом/4 Д с центром в точке А Продолжим основание до пересечения с дугой. Проведем боковую сторону под прямым углом и закончим построение золотого прямоугольника Рис. 192 102 Координаты, координаты, координаты. 22/ Координаты, координаты, координаты. «. Но интересно, на какой же я широте и долготе?» — продолжала Алиса. Сказать по правде, она понятия не имела о том, что такое широта и долгота, но ей очень нравились эти слова. Они звучали так важно и красиво!» Географическая карта (будь то карта мира, одной страны или города) покрыта сетью тонких линий. Это параллели и меридианы (рис. 193). Горизонтальные линии — это ПАРАЛЛЕЛИ. Они показывают географическую ШИРОТУ в градусах (удаление (в градусах) данной точки от экватора). Экватору на карте мира соответствует горизонтальная линия, делящая карту пополам. Все точки экватора имеют нулевую широту. Северному полюсу соответствует значение 90° северной широты, а Южному — 90° южной широты. Москва находится севернее экватора примерно на широте 56° (говорят: 56° северной широты). Но для определения местонахождения Москвы этого недостаточно. Нужна вторая координата — ДОЛГОТА. , ^. Г'1 ' Эквато 1 У 1' г и - ; 5 cjli: Рис. 193 Координаты, координаты, координаты. 101 Вертикальные линии на карте — это МЕРИДИАНЫ. Среди них выбран начальный, нулевой, меридиан. Этот меридиан проходит через Гринвичскую обсерваторию в Англии, и поэтому его называют ГРИНВИЧСКИМ МЕРИДИАНОМ. Ему соответствует нулевая долгота. Все точки справа (восточнее) от него имеют восточную долготу. Она изменяется от 0° до 180°. В частности, Москве соответствует точка, равная 38° восточной долготы. Понятно, что точкам слева от начального меридиана соответствуют значения западной долготы. Меридианы и параллели образуют на поверхности земного шара координатную сетку. Указывая широту и долготу точки, мы указываем ее координаты, т. е. положение точки на карте. Выберем, например, две пары точек на карте, расстояния между которыми равны, но точки расположены в разных местах карты (близко к экватору и далеко от него). Этим парам точек будут соответствовать пары точек на поверхности земного шара, находящиеся на разном расстоянии одна от другой. Часть суши в нижней части карты, соответствующая Антарктиде, несоизмеримо велика. Создается впечатление, что Антарктида больше Европы, Азии и Африки, вместе взятых. Это, конечно, не так. Причины этого вы, возможно, уже поняли. Все дело в том, что земля круглая и изобразить ее поверхность на плоскости без искажений просто невозможно. (Хотя для карт города или района эти искажения незначительны и ими можно пренебречь.) На поверхности земного шара (или на его модели — глобусе) параллелям соответствуют окружности, параллельные экватору, радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора, стягиваясь к нулю у полюсов, в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности, проходящие через полюсы. Изменению широты на 1° на всех меридианах соответствует один и тот же путь (одна и та же дуга). Изменению долготы на 1° на разных параллелях соответствуют разные пути. Большой — у экватора, маленький — у полюсов. 104 Координаты, координаты, координаты. Что касается координат на плоскости, то, наверное, все ребята так или иначе с ними знакомы. Кто умеет играть в шахматы, знает, что вертикальные полосы обозначаются буквами, а горизонтальные — цифрами. В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное «имя», складываюшееся из двух координат — буквы и числа, обозначаюших столбец и строку, на пересечении которых эта клетка находится. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Игра «Морской бой» Каждый игравший в «Морской бой» знает, что клетки доски в этой игре обозначаются парой — буква и число. Поиграем в эту игру и мы, но обозначать клетки будем парой чисел. При этом первое число — номер столбца, а второе — номер строки. Так, клетка, отмеченная на рисунке 194, обозначается парой (5; 3). Напомним ПРАВИЛА ИГРЫ (но можно вносить изменения). 1. Каждый из двух играюших размещает на доске свои корабли: один линкор (полоска из четырех клеток), два авианосца (полоска из трех клеток), три крейсера (две клетки рядом) и четыре катера (одна клетка). При этом корабли не должны соприкасаться даже углами. 2. Каждый по очереди производит по серии выстрелов до первого промаха. После каждого выстрела соперник сообшает одно из трех: ранил (значит, выстрел попал в корабль, но часть клеток корабля еше цела), убил (поражена последняя клетка раненого корабля), промах. Выигрывает тот, кто первым поразит все корабли вражеской флотилии. Возможны и варианты правил. Так, иногда добавляют несколько мин в виде единичных клеток (например, 5 мин). Попадание в мину наказывается пропуском очередного хода. 23456789 10 Рис. 194 1 10 9 К 7 6 5 4 3 2 I 1 2 3 Координаты, координаты, координаты. т Раз уж речь зашла об игре «Морской бой», то попробуйте решить несколько задач, связанных с этой игрой. Представьте, что игра в «Морской бой» пришла к позиции, изображенной на рисунке 195. На этой позиции показан результат ваших предыдущих действий: отмечены «убитые» корабли соперника, а также все сделанные вами выстрелы. Сейчас ваш ход. Допустим, сопернику достаточно сделать один очевидный выстрел и уничтожить вашу флотилию. Так что промахиваться нельзя. Сможете ли вы произвести серию точных выстрелов и выиграть в этой игре? • • • • • • • X • • • • X • • • • X • • • V • • X X • • 4 5 6 7 Рис. 195 8 9 10 2. Можно ли на пустой доске для «Морского боя» разместить 25 катеров? 26 катеров? Почему? При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для «Морского боя» в четыре цвета так, что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет, затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет, следующая трехклеточная диагональ — в третий цвет, затем цвет четвертый, потом вновь первый и т. д. Сколько получилось клеток каждого цвета? 3. На доске находится один линкор. Какое наименьшее число выстрелов надо сделать, чтобы хотя бы один раз наверняка попасть в него? 4. Можно ли разрезать всю доску на линкоры? Но мы немного отвлеклись и забыли про координаты. Вернемся к ним, а для этого, как ни странно, попробуйте вспомнить и написать день рождения своей мамы. Что означает это число? На самом деле это тоже координата. Координата времени. За точку отсчета берется начало нашей эры, которая началась с года под номером 1. (Известно ли вам, что нулевого года не было?) Правда, нет четкой единицы измерения, так как год не имеет постоянного 1 lUI Координаты, координаты, координаты. числа суток. В обычном году 365 дней, в високосном — 366 дней. (Високосные годы имеют номера, делящиеся на 4. Например, 1992 год — високосный. Исключение составляют годы, кратные 100. Если номер года делится на 100, но не делится на 400, то год не является високосным. Если же делится на 400, то год високосный. Так, 1900 год не был високосным, а 2000 год был високосным годом.) Но это не беда. Мы легко любую дату можем перевести, скажем, в сутки (подсчитать число суток от начала первого года до этой даты) или даже в часы, если мы знаем дату и время события. Течение времени удобно отображать на прямой. Для этого на ней надо выбрать точку 0, направление возрастания времени и масштаб — отрезок, соответствующий единице времени; это может быть час, неделя, 1000 дней и т. д. Теперь каждому моменту времени соответствует точка на этой прямой, о 1 Прямая, на которой заданы точка 0 и точка 1, назы - —'----'—► вается КООРДИНАТНОЙ ОСЬЮ или просто ОСЬЮ (рис. 196). Вы без труда можете найти вокруг себя различные примеры, иллюстрирующие прямые с заданными на них координатами. Это железные дороги (у нас в стране у большинства железных дорог точкой отсчета является Москва), улицы городов и т. д. А теперь перейдем к плоскости. Координаты на плоскости можно задавать различными способами. Но у всех этих способов есть одно общее свойство: Рис. 196 Координаты точки плоскости — это пара чисел, из которых одно число является первым и указывается первым, а другое соответственно вторым. Математики такую пару называют УПОРЯДОЧЕННОЙ. Наиболее распространенным способом задания координат на плоскости, после чего она становится КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ, является следующий. На плоскости выбирают две перпендикулярные прямые — оси координат. Точка пересечения этих прямых является НАЧАЛОМ КООРДИНАТ. Единичные Координаты, координаты, координаты. 105 отрезки на каждой оси выбираются равными по длине (рис. 197). Одну из этих осей, обычно горизонтальную, называют осью X, а вторую — осью у. Такую координатную систему называют ДЕКАРТОВОЙ (по имени великого французского математика Рене Декарта, работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования — МЕТОДУ КООРДИНАТ). Теперь каждая точка плоскости обозначается парой чисел. Точка Л/на рисунке 197 имеет координаты 5 и 2, что записывается так: М (5; 2). Ее нельзя путать с точкой N (2; 5). Игра «Остров Сокровищ» На острове Сокровищ была пещера, в которой капитан Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ган. Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо — описание пути, ведущего к кладу, и места, где он спрятан. Поскольку старый пират получил в свое время неплохое образование, он решил для своих целей воспользоваться методом координат. Он взял карту острова, нарисовал на ней оси координат, выбрал единицу. В общем, сделал все как положено (рис. 198). В качестве главных ориентиров он указал координаты четырех дубов: (3;5), (-2; 7), (-3; 4), (3;-1). Клад находился в точке пересечения прямых, соединяющих первый и третий, второй и четвертый дубы. 1И Координаты, координаты, координаты. % Начертите на клетчатой бумаге оси координат <за единицу можно выбрать расстояние в две клетки). Построите точки, соответствующие местонахождению дубов, и определите координаты пещеры с сокровищами. А теперь начните заполнять карту острова Сокровищ. Нанесите на карту различные объекты <колодец, наблюдательную вышку, склад, пальмовую рощу и т. д.), опишите их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте. Пусть он восстановит вашу карту, а вы в свою очередь восстановите его карту. Сравните карты в классе. Чья получилась интереснее? Для тренировки выполните следующие задания. 5. Даны координаты точек. Верно отметив на координатной плоскости и соединив последовательно эти точки, вы получите рисунок. Рисунок не получится, если вы ошибетесь. 1. Рисунок первый: (5; 1), (4;-2), (4; 0), (2;-1), (1,5;-0,5), (2;1), (1;0), (1; 1), (-3; 1), (1; 2), (1,5; 3), (5; 7), (5; 1), (1,5; 3), (2; 2). Последнюю точку не соединяйте ни с какой другой. 2. Рисунок второй: (0; 2), (0; 0), (1; 3), (2; 3), (3; 2), (3;0), (1;-1), (2;-1), (1;-3), (0;-1), (-1;-3), (-2;-1), (-1; -1), (-3; 0), (-3; 2), (-2; 3), (-1; 3), (0; 0). 6. Как известно, сокровища Флинта были спрятаны на разных островах. При этом для шифровки места клада неоднократно использовался метод координат. На рисунке 199 изображена карта острова, на которой видны два ориентира (два больших камня). Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой, но они знают, что камни на этой карте имели координаты А (2; 1), В (8; 2), а координаты клада (6; 6). Найдите на карте место клада. Есть и другие способы задания координат на плоскости. Расскажем об одном, хотя и реже используемом, но достаточно Океан л Координаты, координаты, координаты. ЮР полезном и практически, и теоретически. Речь пойдет о «полярных координатах». На плоскости указывается точка О, которая будет называться ПОЛЮСОМ, выходящий из этой точки луч — ПОЛЯРНАЯ ОСЬ, на котором отмечена точка, находящаяся на расстоянии 1 от 0. Кроме того, задается направление вращения вокруг о, например, против часовой стрелки (рис. 200). Таким образом. О 1 Рис. 200 _ , Каждая точка плоскости задается двумя по-■ лярными координатами: углом и расстоянием. Штшшшшшшшшштшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшшш Расстояние показывает, как далеко точка находится от полюса, а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения, когда она пройдет через нужную точку. Полному повороту соответствует угол 360°, и полярный угол изменяется от о до 360°. На рисунке 201 отмечены точки (0°; 3), (45°; 2), (90°; 1), (135°; 4). 7. Изобразите в полярных координатах точки (60°; 1,5), (150°; 3), (180°;.!), (270°; 5), (330°; 2). Если вы ходили в поход, то знакомы с таким понятием, как АЗИМУТ. Оказывается, туристы обычно пользуются в походах полярными координатами, а азимут — это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки, где находится турист (рис. 202). 8. Изобразите в полярных координатах точки: а) А (10°; 2), В (130°; 2), С (250°; 2); б) К (20°; 3), /.(110°; 3), Л/(200°; 3), А (290°; 3). Определите вид треугольника/1 и четырехугольника KLMN. Рис. 201 но Оригами Заканчивая наш разговор о координатах, «выйдем в пространство». Чтобы получить декартову систему координат в пространстве, надо к двум осям X и у добавить еще одну ось z, перпендикулярную им, с тем же началом в точке О (рис. 203). Теперь каждой точке пространства соответствуют три координаты, тройка чисел х, у, Z - Именно в этом и состоит характерное свойство ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА. 9. В качестве упражнения изобразите на одном чертеже шесть точек с координатами: О (0; 0; 0), А (1; 0; 0), Я(0;1;0), С(0;0;1), D(1;1;0), Чтобы чертеж получился более наглядным, свяжите систему координат с кубом, у которого ребро равно 1. Оригами Умеете ли вы делать из бумаги кораблик, самолетик или какие-либо другие фигурки? Наверняка умеете. Школьники увлекаются их изготовлением, сами не зная того, что занимаются древним японским искусством ОРИГАМИ. Оригами — складывание фигурок из бумаги. Все фигурки складываются из прямоугольных листов бумаги (одного или двух), без помощи ножниц или клея (клей применяют разве что для склеивания половинок фигур, составленных из двух листов). Оригами распространилось по всему свету. Во многих странах есть клубы оригамистов, членами которых являются люди самых разных профессий и возрастов. На рисунке 204 изображены фигурки-оригами: ворон, чайник, стоящий аист и попугай в полете. Придумывание их — настоящее искусство! Мы же начнем с более простых фигурок — прыгающей лягушки, кузнечика, зайчика, сороки и фона - Оригами 111 А С • • В Рис. 204 рика. Вооружившись цветной бумагой, карандашом, линейкой и ножницами, приступайте к работе. Порядок изготовления показан на схемах. Внимательно изучите условные обозначения, а полученные промежуточные результаты каждый раз сверяйте с рисунком. Будьте усидчивы и аккуратны, и у вас появятся замечательные игрушки. Успеха вам! Условные обозначения на чертежах: линии, по которым надо согнуть лист ребром внутрь (как полураскрытая книга) линия сгиба, по которой надо согнуть лист ребром наружу (как крыша дома) линии предыдущих сгибов направление сгиба согнуть и разогнуть разъединить слои бумаги точки В свести в точку С Рис. 205. Прыгающая лягуи1ка нажать и отпустить Ill Оригами перевернуть Рис. 206. Кузнечик вырезать два одинаковых квадрата вложить части одна в другую. V это же сделать с другой стороны Рис. 207. Фонарик Оригами 113 12 7 Рис. 2Ш. Сорока сворачивается, как шаг 3 у лягушки Рис. 209. Зайчик |Ц| Замечательные кривые Замечательные кривые В этом параграфе вы узнаете о некоторых поистине замечательных кривых, населяюш, их удивительный мир геометрии. Эллипс Возьмите плотный лист бумаги, прикрепите к нему в двух J точках нитку и натяните карандашом эту нитку. Нарисуйте ■ линию, двигая карандаш и натягивая нитку (рис. 210). - Эта линия называется ЭЛЛИПСОМ. Все точки эллипса, как видно из построения, обладают одним свойством: ^ Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости (эти точки называются ФОКУСАМИ эллипса) постоянна. На самом деле эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Сол н-це находится в одном из фокусов. У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самые неожиданные применения. Так, если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в другом фокусе. Окружность — частный случай эллипса, она получается, если фокусы эллипса совпадают. м Замечательные кривые Гипербола Для этой кривой мы не можем предложить, как в предыдущем случае, достаточно простой «гиперболический циркуль», позволяющий вычерчивать гиперболу и одновременно показывающий ее основное свойство. Поэтому начнем с указания основного свойства, задающего гиперболу. А-/, \ фокусы Рис. 211 В /4Л/, - М^В = ВМ^ м^л гипербола — это линия, для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов гиперболы) есть величина постоянная (рис. 211). Гипербола состоит из двух частей (двух отдельных ветвей). Все точки одной ветви ближе к одному фокусу (соответствующим образом берется и разность расстояний), а другой ветви к другому. ЛГ' F Рис. 212 Парабола Возьмем на плоскости прямую / и точку F (рис. 212). Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости, которые равноудалены от точки F и от прямой /. (Это значит, что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра, опущенного из М на прямую /.) Такие точки М описывают замечательную кривую, которая называется ПАРАБОЛОЙ. Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например, камень, брощенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу. Все только что рассмотренные линии (эллипс, гипербола и парабола) объединяются общим свойством. Каждая из них может быть получена при пересечении конуса плоскостью. Поэтому их называют КОНИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ (рис. 213). Ill Замечательные кривые Конус Что такое КОНУС, надеемся, вы представляете. Весь конус состоит из двух частей (пол), имеющих общую верщину. Из листа бумаги можно свернуть одну часть. Математики определяют конус следующим образом. Возьмем окружность и точку над ее центром. Эта точка — верщина конуса. Проводя прямые, соединяющие всевозможные точки окружности с верщи-ной, получим коническую поверхность. Конус можно пересечь плоскостью по окружности. Если плоскость сечения наклонять, то получим эллипс (плоскость 1 на рисунке 213). Увеличивая наклон плоскости, получаем все более вытянутые эллипсы. В конце концов эллипс превратится в параболу. При этом мы по-прежнему сечением задеваем лищь одну «полу» конуса (плоскость 2). Наклоняя плоскость дальще, мы пересекаем и вторую «полу». Появятся две ветви, парабола перейдет в гиперболу (плоскость 3). Рис. 213 Рис. 214 Спираль Архимеда Пусть по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муравей. Проползая вперед, он одновременно смещается в сторону вращения диска. Таким образом, путь муравья представляет кривую (рис. 214). Она называется СПИРАЛЬЮ АРХИМЕДА (в переводе с латыни спираль означает «изгиб», «извив»). Синусоида Сделайте из плотной бумаги, свернув ее несколько раз, трубочку. Разрежьте эту трубочку наклонно. Если трубочку не разворачивать, то в сечении будет эллипс. Какую линию образует разрез, если развернуть одну из частей трубочки? Перерисуйте эту линию на лист бумаги (рис. 215). Рис. 215 Получится одна из замечательных кривых, называемая СИНУСОИДОЙ. Замечательные кривые I17i Кардиоида Вырежьте два одинаковых картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметь - , те на его краю точку А, наиболее удаленную от центра первого • круга (рис. 216, а). Прокатите без скольжения подвижный круг ' по неподвижному и понаблюдайте, какую линию опишет точка i А. Начертите эту линию. \ Это КАРДИОИДА (рис. 216, б). Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово «кардио» означает «сердце»). Циклоида Представьте, что по прямой линии без скольжения катит - J ся круг. Проследите за траекторией, которую опишет при , этом точка А, взятая на окружности этого круга (рис. 217, а). | Начертите получившуюся кривую. , «) Она называется ЦИКЛОИДОЙ (рис. 217, б). Циклоида обладает многими замечательными свойствами. Вот одно из них. Давно математики пытались решить такую задачу: какой формы должен быть гладкий желоб, соединяющий две точки А w В <А выше, чем В), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время? Можно подумать, что Q .©г: \ ^ _ _v_ _ б) в «) Рис. 217 колесо .*) Замечательные кривые желоб должен быть прямолинейным. Но это не так. Может быть, желоб следует выгнуть по дуге окружности, как думал великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже XVI—XVII вв.? Нет, Галилей ошибался. Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил, что желоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз (рис. 217, в). В связи с циклоидами расскажем об одном интересном парадоксе (слово «парадокс» означает неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям). Допустим, что пассажирский поезд едет из Москвы в Киев. Оказывается, в каждый момент времени в этом поезде, более того, в каждом вагоне есть точки, движущиеся в обратном направлении. Вы можете удивляться, но это так. Все дело в устройстве железнодорожных колес. Если смотреть вдоль рельсов, то можно увидеть выступ на колесе (рис. 217, г), который опускается ниже рельса. Роль этого выступа очень велика, он не позволяет колесам сойти с рельсов. Так вот, самая нижняя часть колеса, находящаяся ниже его опорной точки, движется в направлении, обратном движению всего колеса. Если выбрать крайнюю точку колеса, то линия, описываемая ею, будет выглядеть, как на рисунке 217, д. Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель. Г ипоциклоиды б) Рис. 218 Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см, 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги, вложите в этот вырез первый из трех кружков, чтобы он касался края, и отметьте на окружности маленького круга точку (рис. 218, а). Проследите за тем, какую линию опишет отмеченная точка, когда кружок покатится по окружности выреза , без скольжения. Проделайте то же самое со вторым и третьим кругами. , Кривые Дракона 119 Получившиеся линии — ГИПОЦИКЛОИДЫ (рис. 218, б). Во что превратится гипоциклоида, если радиус меньшего круга равен 6 см, а большего — 12 см? Как выглядит гипоциклоида для кругов с радиусом 8 см, 9 см и 10 см? 25/ Кривые Дракона В этом разделе мы познакомим вас с одним интересным семейством линий, одна из которых нарисована ниже. Она заключена внутри дракона и своими изгибами обрисовывает его контур. Люди, видевшие драконов, подтверждают, что они выглядят именно так <рис. 219). Как получаются такие линии ? Рис. 219 1139 Кривые Дракона % Возьмите длинную полоску бумаги, левый конец которой пометьте точкой. Сверните ее пополам, чтобы точка оказалась закрытой, а потом еще пополам <всякий раз правый конец накладываем на левый). Разверните ее теперь так, чтобы линии сгибов отчетливо выделялись, и положите на стол. Точка должна быть слева. У вас получилась полоса (рис. 220). Изгибы идут в следующем порядке: вниз — вниз — вверх. Или, вводя обозначения Н — вниз, В — вверх, это запишется так: Н Н В. Сложите полоску три раза пополам. Получится такая полоса (рис. 221). Изгибы теперь идут так: Н Н В Н Н В В. Сложите самостоятельно полоску четыре и пять раз и запишите, как будут чередоваться изгибы. У вас должны получиться следующие цепочки букв: при четырех сгибах ННВННВВНННВВНВВ при пяти сгибах: ННВННВВНННВВНВВНННВННВВВННВВНВВ Рис. 220 Рис. 221 Вы получили коды ДЛЯ РИСОВАНИЯ КРИВЫХ ДРАКОНА. Внимательно посмотрите на них и найдете некоторые закономерности. Например: ' ^ • /) Число изгибов нечетное, причем если на каком-то шаге \ их было к, то на следующем будет 2К +1; сначала 2 х 1 + 1 = 3 ■ изгиба, затем 2 х 3 + 1 = 7, потом 2 х 7 + 1 = 15 м /и. /) = 2(л: + у). Но угол AM В равен х + у. Значит, в самом деле угол АОВ в два раза больще угла AM В. Рассмотрите самостоятельно случай, когда точка О расположена вне треугольника AM В (но М \\ О — с одной стороны от А В). Теперь понятно, почему при перемещении точки М по дуге окружности угол AM В остается постоянным? 3. На рисунке 287 А BCD — квадрат. Чему равны углы AMC, AMD, ВМС] 4. На рисунке 288 АВС — правильный треугольник. Чему равен угол AM В'] 5. Чему равен угол А DC, если угол АВС равен 40° (рис. 289)? 6. На окружности радиусом 1 взяты три точки А, В, С так, чтобы угол АСВ был равен 30°. Найдите длину отрезка /Ifi. М В В Рис. 287 Рис. 288 151 Задачи, головоломки, игры В 7. В треугольнике ЛВС отрезки /4/4, и ВВ^ перпендикулярны сторонам ВС и АС (рис. 290). Докажите равенство углов HA^B^w НС By 8. Через некоторую точку плоскости проведены три прямые, образующие между собой углы по 60°. Возьмем любую точку плоскости и опустим на эти три прямые перпендикуляры. Основания этих перпендикуляров служат вершинами правильного треугольника. Почему? Задачи, головоломки, игры Много прекрасных плодов растет в саду под названием «Геометрия». Каждый может найти для себя задачу и интересную, и посильную. Но все же: «В задачах тех ищи удачи, где получить рискуешь сдачи». 1. Сколько граней у шестигранного карандаша? 2. Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой, и поручили соединить их в одну цепь. Кузнец решил раскрыть четыре кольца и снова их заковать. Нельзя ли выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец? 3. Дан бумажный круг. Перегибанием бумаги найдите его центр. 4. Сделайте в тетрадном листке разрез так, чтобы в образовавшуюся дыру мог пролезть человек. 5. ДЕСЯТЬ БАШЕН. В древности один правитель желал построить десять башен, соединенных между собой стенами. Стены должны тянуться пятью прямыми линиями, с четырьмя башнями на каждой линии. Приглашенный строитель представил план (рис. 291), но правитель остался недоволен им: ведь при таком рас - Задачи, головоломки, игры 863 Рис. 241 Рнс. 292 положении можно извне подойти к любой башне. А правителю хотелось, чтобы если не все, то хоть одна или две башни были зашишены стеной от вторжения извне. Строитель возразил, что нельзя удовлетворить этому условию, но правитель настаивал на своем. Долго строитель ломал голову над задачей и наконец решил ее. Попробуйте и вы найти несколько решений этой проблемы. 6. ПЛОДОВЫЙ САД. В саду росло 49 деревьев (рис. 292). Садовник решил расчистить сад от лишних деревьев для цветников. Позвав работника, он дал ему такое распоряжение: «Оставь только пять рядов деревьев, по четыре дерева в каждом. Остальные сруби и возьми себе на дрова за работу». Когда вырубка закончилась, , садовник вышел посмотреть на работу. К его огорче - ’ нию, сад был почти опустошен: вместо 20 деревьев . работник оставил всего только 10, срубив 39 деревьев. ’ — Почему ты вырубил так много? Ведь тебе сказа - но было оставить 20 деревьев! — распекал садовник работника. — Нет, не сказано: «20». Сказано было оставить 5 рядов по 4 дерева в каждом. Я так и сделал. Как ухитрился он вырубить 39 деревьев и все-таки выполнить указание? 7. Всмотритесь внимательно в узор (рис. 293). Постарайтесь запомнить его хорошенько. А теперь нарисуйте этот узор по памяти. 8. Кусок бумаги имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна четырем, а другая — девяти единицам длины. Разрежьте этот прямоугольник на две равные части так, чтобы, сложив их определенным образом, получить квадрат. 9. Произвольный треугольник разрежьте на три части так, чтобы можно было сложить прямоугольник. 10. Какое наибольшее число различных сторон может быть в шестиугольнике, имеющем ось симметрии? 11. Разрежьте правильную шестиконечную звезду на четыре части так, чтобы из них можно было составить параллелограмм. 151 Задачи, головоломки, игры ___ 12. Четвертые части квадрата и правильного треугольника отрезаны, как показано на рисунке 294. Каждую из оставшихся частей этих фигур разделить на четыре равные части. 13. Дано игровое поле 4 х 4 и 16 квадратов с геометрическими фигурами, имеющими ось (одну или несколько) симметрии (рис. 295). Разместить квадраты в клетках поля так, чтобы ни по горизонтали, ни по вертикали не встречались фигуры, имеющие одинаковое чис-Рис. 294 ло осей симметрии. ♦ % л — Г' \ у • □ А Ш У ✓ □ X V. л Рис. 296 Рис. 295 14. Игра-конкурс букв и слов: а) назовите буквы, имеющие одну, две оси симметрии; б) составьте слова, имеющие ось симметрии (горизонтальную или вертикальную), например, ТОПОТ, СОН. 15. Разделите лунный серп (рис. 296) двумя прямыми линиями на шесть частей. 16. Нарисуйте одним росчерком фигуры, изображенные на рисунке 297, а, б. 17. Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать, чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать части куба как угодно. 18. Какой из восьми рисунков маляр накатал на стену изображенным на рисунке 298 валиком? Задачи, головоломки, игры 4- 4^ 1 2 >4 3 Рис. 299 5 6 7 8 Рис. 298 19. Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд. Чему равна длина ряда? 20. Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так, чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не совпадали. 21. Из 12 спичек сложены четыре квадрата (рис. 299). Сторона равна одной спичке, а) Переложите четыре спички так, чтобы получилось три квадрата, б) Переложите три спички так, чтобы получилось три квадрата, в) Переложите спички, чтобы получилось шесть квадратов. 22. Три спички расположены так, как показано на рисунке 300. Добавьте еще только одну спичку так, чтобы концы спичек образовали квадрат. 23. Разрежьте правильный шестиугольник на девять одинаковых частей разными способами. 24. У мастера есть лист жести размером 22 X 15 дм^. Мастер хочет вырезать из него как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5 дм^. Помогите ему. Рис. 300 151 Задачи, головоломки, игры V > , • J . . “J Л № _ ФФЭ I 2 3 8S Рис. 301 Рис. 302 а) 25. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке 301. 26. В математических рукописях XVIII в. можно встретить утверждение, что фигуры с равными периметрами ограничивают равные площади. Верно ли это? Приведите примеры. 27. Развертка какого куба дана на рисунке 302? 28. Определите, из каких разверток можно сложить параллелепипед (рис. 303). 29. Десять точек расположены так, как показано на рисунке 304. Сколько правильных треугольников можно построить, считая эти точки верщинами треугольников? Какое наименьщее количество точек надо отбросить, чтобы не осталось ни одного правильного треугольника? 30. На книжной полке стоит трехтомник. Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома (по прямой линии). Какой путь он проделал? Толщиной обложки пренебречь. 31. Можно ли костящками домино (каждая кость из двух клеток) выложить доску 8×8 клеток с двумя вы -.V. б) в) Рис. 303 г) • • Рис. 304 Задачи, головоломки, игры 1Я резанными противоположными угловыми клетками (рис. 305)? 32. Может ли быть треугольник с очень большими сторонами и очень маленькой площадью? Приведите пример. 33. Какие фигуры могут получиться при пересечении двух треугольников? А при пересечении двух четырехугольников? Возможно ли, чтобы при пересечении двух четырехугольников образовалось два четырехугольника? А три четырехугольника? 34. В скольких точках прямая может пересекать контур треугольника? четырехугольника? пятиугольника и т. д.? 35. Равны ли два угла треугольника, если они имеют по три равных угла и по две равные стороны? 36. Как посадить девять деревьев в десять рядов по три дерева в каждом ряду? 37. На сколько частей можно разбить плоскость двумя прямыми? тремя прямыми? четырьмя прямыми? На сколько частей разбивают плоскость прямые, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, если прямых: а) четыре; б) пять; в) шесть? 38. Для двух кубиков сделали по три развертки и перемешали их (рис. 306, а—ё). Найдите развертки каждого кубика. 39. Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух сторон посередине прямая линия. Из этой ленты склеили лист Мёбиуса. Какой путь проползет мура — • — ■ б) п а*1х XI в) 1 и* — JX • Рис. 305 ё) Рис. 306 е) Задачи, головоломки, игры вей вдоль отмеченной линии, пока не вернется в исходную точку? 40. На плоскости нарисована окружность. С помощью чертежного угольника найдите ее центр. 41. Расставьте на плоскости шесть точек таким образом, что если соединить первую точку со второй, вторую с третьей и т. д., а шестую вновь с первой, то каждый из шести отрезков ровно один раз пересекается с каким-либо другим отрезком. 42. На бумаге нарисована замкнутая линия (рис. 307). Перерисуйте эту линию в тетрадь. А теперь попробуйте другим цветом провести какую-нибудь замкнутую линию, не проходящую через точки самопересечения уже проведенной линии и не самопересекающуюся на этой линии. Постарайтесь провести линию так, чтобы число точек пересечения линий разного цвета было бы нечетным. Как вы думаете, возможно ли это? 43. Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 308)? 44. На рисунке 309, а—в изображены части некоторых орнаментов. Внимательно рассмотрите их и, обнаружив закономерность в их построении, дорисуйте. 45. Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки: одну на расстоянии 1 см от одного края, а вторую на расстоянии 2 см от другого (рис. 310, а), то с помощью этой линейки, сдвигая ее определенным образом, мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см и 6 см. С помощью линейки на рисунке 310, б можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь 7 в / 7 А / / а) С Рис. б) I 1 Задачи, головоломки, игры 1^^ «) Рис. 309 *>) в этом. Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения целочисленных отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри, отличную от уже рассмотренной. 46. Докажите, что в прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 30°, наибольшая сторона в два раза больше наименьшей. 47. Замостите плоскость одинаковыми «скобками», изображенными на рисунке Ъ\\, а, б. 48. Ученик нарисовал на доске треугольник и отметил середины его сторон. Затем треугольник стерли, но отмеченные точки остались. Нельзя ли восстановить треугольник? Т» 1 т* 4 а) Е 9 11 □ в) Рис. 310 б) Рис. 311 161 Задачи, головоломки, игры 49. Как разрезать треугольник на два равнобедренных треугольника, если его углы равны: а) 20°, 40°, 120°; б) 20°, 60°, 100°? 50. Разрежьте на наименьшее число равнобедренных треугольников треугольник с углами: а) 10°, 70°, 100°; б) 50°, 60°, 70°. 51. Даны две параллельные прямые и точка А между ними. Как построить окружность, касающуюся данных прямых и проходящую через данную точку? 52. Разрежьте правильный треугольник на: а) три одинаковые трапеции (трапеция — это четырехугольник, у которого есть одна пара параллельных сторон); б) три одинаковых пятиугольника. 53. Через точку на диагонали прямоугольника провели прямые, параллельные его сторонам (рис. 312). У какого прямоугольника, А или Б, больше площадь? 54. Докажите, что меньший из квадратов (рис. 313) имеет площадь в четыре раза меньшую, чем больший. 55. На рисунке 314 изображен план городского сквера. В центре находится бассейн. В точках А и Б — вход и выход из сквера. Отрезки прямых — дорожки. Сколькими способами можно пройти из А в Б, если двигаться можно лишь вверх или вправо (можно идти по границе сквера и кромке бассейна)? 56. Разрежьте квадрат 13 х 13 на пять прямоугольников так, чтобы все десять чисел, выражающих стороны прямоугольников, были бы различными целыми числами. 57. Рассмотрим куб 3x3x3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди и сзади, справа и слева, сверху и снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать, Б Рис. 312 Рис. 314 Задачи, головоломки, игры 16) Рис. 384 Подсказки, ответы, решения 181 зок во столько же раз, отодвинем вспомогательные оси. Получаем нужную систему координат хОу и находим место клада по координатам (6; 6) в новой системе. 8. Треугольник АВС — правильный, четырехугольник KLMN — квадрат. 9. Рисунок 384; С (0; 0; 1); О (0; 0; 0); 0). 26 . Лабиринты 7. Рисунок 385. Рис. 385 97 . Геометрия клетчатой бумаги 2. Достройте отрезок до прямоугольного треугольника и затем поверните его, как в задаче 1. 3. Три раза нужно выполнить построение перпендикуляра к отрезку, как в задаче 2, б). 4. Возьмите две точки на прямой CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках. А затем — такой же треугольник с вершиной в точке А. 182 Подсказки, ответы, решения 5. Равнобедренный треугольник можно сложить пополам так, чтобы половинки совместились. Эти половинки будут прямоугольными треугольниками. 7. Нужно описать около треугольника прямоугольник, т. е. начертить такой прямоугольник, чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах, а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге. Затем считаем количество клеток в прямоугольнике и отбрасываем лишние. 29. Симметрия 1. Угол равен 90°. 2. Пусть тип — оси симметрии. Отражаясь от оси я, ось т перейдет в некоторую прямую т^, тоже являюшуюся осью симметрии и пересекаюшуюся с п под углом 15°. Так, отражаясь друг от друга, прямые тип вернутся в исходное положение. Между соседними осями симметрии углы по 15°. Значит, осей симметрии всего 180°: 15° = 12. Наименьшее число вершин равно числу осей, т. е. 12. 31.Орнаменты 1. Два равных треугольника, положенных рядом определенным образом (рис. 386), составляют параллелограмм. А параллелограммами можно замостить плоскость. 2. Один из примеров — на рисунке 387. 32 . Симметрия помогает решать задачи 2. Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра, то она симметрична и относительно диаметра MN, перпендикулярного прямым АА^ и ВВ]», точка А симметрична А^, точка В симметрична В^. Значит, все точки дуги АВ симметричны точкам дуги А^В^, т. е. дуги АВи А^В^ равны (рис. 388). Рис. 386 А/ Подсказки, ответы, решения 183 Рис. 389 3. Проведем прямую ОА. На ней лежит диаметр, относительно которого окружность симметрична. Касательная А В симметрична касательной АС. Точки В и С окружности симметричны. Значит, и отрезки АВ vi АС симметричны, а следовательно, равны (рис. 389). 4. Точки В VI С симметричны относительно диаметра, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярного ему. Аналогично и точки А н В. Таким образом, построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам А В и ВС, мы получим точку их пересечения. Это центр окружности, так как через нее проходят оба диаметра (рис. 390). 5. Надо построить точки А^ и А2, симметричные точке А относительно сторон угла. Прямая А\А2 пересечет стороны угла в искомых точках М н N. Объясните это (рис. 391). 33 . Одно важное свойство окружности 2. Строим окружность с центром О вне нашей прямой, проходящей через А. Через В (вторую точку пересечения этой окружности с прямой /) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой / (рис. 392). 3. Z АМС = 90°, AAMD = 45°, Z ВМС = 135°. А. ААМВ = 120°. Ъ. А ADC= 140°. 6. Угол АОВ в 2 раза больше угла АСВ. Значит, угол АОВ = 60°. Треугольник АОВ — равнобедренный, один из углов равен 60°. Значит, все углы по 60°. А из этого следует, что этот треугольник является равносторонним, ДД = АО = 1 (рис. 393). II» Подсказки, ответы, решения В 7. Как мы знаем, окружность с диаметром СН проходит через и В этой окружности углы НА^В^ и НСВ^ опираются на одну дугу. Следовательно, они равны (рис. 394). 8. Пусть все три прямые проходят через точку Р, аМ — некоторая точка плоскости. А, В, С — основания перпендикуляров, опущенных из М на данные прямые. Все пять точек <Р, М, А, В, С) лежат на одной окружности с диаметром РМ. Значит, угол АВС равен углу А PC, так как эти углы опираются на одну дугу окружности, т. е. угол АВС = = 60°. Точно так же покажем, что остальные углы треугольника АВС равны 60° (рис. 395). 34 . Задачи, головоломки, игры 1. 8 граней, если карандаш не заточен. 2. Можно раскрыть три звена одной цепи, а потом этими звеньями соединить четыре оставшихся куска. 3. Если перегнуть круг так, чтобы половинки совпали, то линия сгиба пройдет через центр. Проделав эту операцию дважды, найдем центр круга. 4. Если в листе сделать разрез, как на рисунке 396 (сплошная линия), то после этого лист можно растянуть наподобие длинной ленты. Сделав в этой ленте разрез посередине (пунктирная линия), получим достаточно большое отверстие. 5. На рисунке 397 показано, как можно защитить одну и две башни. • • 1 1 1 1 1 1 F ' ■ 1 1 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ - — =■, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 'с . 1 1 1 1 - - - - - ' 1 у - - • • >-J т Рис. 396 Ь 4 Рис. 397 Подсказки, ответы, решения 185 Рис. 398 Рис. 399 \ I А Рис. 401 Рис. 403 6. Рисунок 398. Оставить надо деревья, отмеченные крестиком. 8. Рисунок 399. Получится квадрат со стороной 6 единиц. 9. Рисунок 400. 10. Рисунок 401. 11. Рисунок 402. 12. Рисунок 403. 15. Рисунок 404. 16. Рисунок 405, <2, б. 17. После каждого разреза число частей может возрасти не больше чем в два раза. Сначала был один куб. После первого разреза он распадается на две части, после второго — не более чем на четыре. Затем число частей может быть 8, 16, 32 и 64. Значит, число разрезов не может быть меньше 6. Приведите способ, с помощью которого куб можно разрезать на 64 части за шесть разрезов. 18. Первый рисунок. 19. 10 км. 20. Рисунок 406. 21. а) Рисунок 407, а; б) рисунок 407, б\ в) сложите из спичек куб. 22. Рисунок 408. Рис. 408 Ill Подсказки, ответы, решения 23. Рисунок 409. 25. 22 клетки. 27. Развертка куба 5. 28. а) и в). 29. 15 правильных треугольников. Можно убрать четыре точки (рис. 410). 30. Первая страница первого тома и последняя страница третьего тома примыкают ко второму тому. Так что путь червяка равен толщине второго тома, т. е. составляет 3,5 см. * 31. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке в черный и • • белый цвета. Если бы доска была полной, то черных и бе - I • • лых клеток было по 32. На данной доске (если левый ниж - ний угол черный) черных 32 клетки, а белых 30. Но каждая * * * кость домино закрывает одну черную и одну белую клетку. Рис. 410 Так что данную доску покрыть фишками нельзя. 32. Чтобы получить такой треугольник, надо взять стороны такими, чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей стороны. 33. На рисунке 411 показано, как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника, три четырехугольника и даже четыре четырехугольника. 35. Не обязательно. Возьмем, например, два треугольника: стороны первого 27, 36, 48, а второго 36, 48, 64. Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каж - 3 дои стороны в д раза, то треугольники имеют равные углы. 36. Рисунок 412. 37. Три прямые разбивают плоскость на семь частей (прямые не параллельны и не проходят через одну точку); см. рисунок 413. Проведем четвертую прямую. Она пересечется Рис. 412 б) [Т - г - 4 Подсказки, ответы, решения 18| с тремя предыдущими в трех точках. Эти точки разобьют четвертую прямую на четыре куска. Соответственно добавятся и четыре куска плоскости. Четыре прямые разобьют плоскость на 7-1-4=11 частей. Добавим пятую прямую. На ней образуется пять кусков и добавится пять кусков плоскости. Таким образом, пять прямых разобьют плоскость на 7 - t - 4 - Ь 5 = 16 частей. Для шести прямых число частей составит 16 - I - 6 = 22. 38. а, в, е\ б, г, д. 39. 120 см. 40. Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности, то прямая, соединяюшая точки пересечения его сторон с окружностью, проходит через ее центр. Две такие прямые определят центр. 41. Рисунок 414. 42. На каждой «петле» таких точек будет четное число, а значит, и всего точек пересечения четное число. 43. а) 60°, рис. 415, а; б) 120°, рисунок 415, б. 45. Рисунок 416, а, б. 46. Из двух таких треугольников можно составить правильный треугольник (рис. 417). 47. Вымашиваем сначала полоску (рис. 418), а затем всю плоскость. 48. Через каждую из трех точек надо провести прямую, параллельную прямой, проходяшей через две дру - Рис. 416 ™е точки. Рис. 415 10 а) 1 1, 1 __г л 1 пл Рис. 418 б) лги 2 18i Подсказки, ответы, решения 49. Рисунок 419, а, б. первый способ б) Рис. 419 50. а) Рисунок 420; б) возьмем центр окружности, проходящей через вершины треугольника, и соединим его с вершинами. Треугольник будет разделен на три равнобедренных треугольника. 51. Постройте любую окружность, касающуюся прямых, проведите через точку А прямую, параллельную данным. Она пересечет построенную окружность в точках В и С. Передвиньте центр построенной окружности на АВил\л АС (рис. 421). Рис. 420 Рис. 421 52. а) Рисунок 422, а; б) рисунок 422, б. 53. Прямоугольники А и Б имеют равные площади. Это следует из того, что диагональ делит прямоугольник на равные треугольники. Значит, суммарная площадь А, В и Г равна площади Б, В и Г (рис. 423). 54. Рисунок 424. 55. Будем последовательно двигаться из А и ставить в каждом узле число, равное количеству способов, какими можно попасть в этот узел. Тогда число в каждом следующем узле равно сумме чисел предшествующих узлов (тех, из которых попадаем в этот узел за один переход). В результате в точке Б получим число 100. Столькими способами можно попасть из А в Б (рис. 425). 56. Рисунок 426. 8 22 29 50 2 7 1 2 I U 7 14 ^ . 2 I 21 21 14 1111 Рис. 425 Б 100 50 29 22 8 Подсказки, ответы, решения 189 10 Рис. 426 57. Нижний слой остается заполненным, а второй и третий слои, как на рисунках 427, а. Вид системы кубиков в этих случаях, как на рисунке 427, 6. 58. На втором рисунке диагональ на самом деле представляет очень узкий четырехугольник площадью 1. Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и треугольник, то соответствующие стороны не лежат на одной прямой. 59. Рисунок 428. Числа 1, 2, 3, 4 — номера цветов. 7 7 7 4 7 3 2 9 Z 1 8 7 Оглавление 1. Первые шаги в геометрии 4 2. Пространство и размерность 6 3. Простейшие геометрические фигуры 12 4. Конструирование из Т 16 5. Куб и его свойства 17 6. Задачи на разрезание и складывание фигур 22 7. Треугольник 24 8. Правильные многогранники 34 9. Геометрические головоломки 38 10. Измерение длины 41 11. Измерение плошади и объема 46 12. Вычисление длины, плошади и объема 51 13. Окружность 56 14. Геометрический тренинг 66 15. Топологические опыты 69 16. Задачи со спичками 75 17. Зашифрованная переписка 77 18. Задачи, головоломки, игры 79 19. Фигурки из кубиков и их частей 87 20. Параллельность и перпендикулярность 91 21. Параллелограммы 96 22. Координаты, координаты, координаты. 102 23. Оригами 110 24. Замечательные кривые 114 25. Кривые Дракона 119 26. Лабиринты 123 27. Геометрия клетчатой бумаги 126 28. Зеркальное отражение 129 29. Симметрия 131 30. Бордюры 137 31. Орнаменты 142 32. Симметрия помогает решать задачи 148 33. Одно важное свойство окружности 151 34. Задачи, головоломки, игры 154 Подсказки, ответы, решения 164 врофа iSBN'i/'H S зьн J5038-6 / II;i « 1 •, о I 8 6 К учебнику разработано электронное приложение