Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность задаваемая двумя параметрами b, q (q ≠ 0) и законом , ,

Число называют знаменателем данной геометрической прогрессии.

  • Если q > 0 все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком числа b.
  • Если q

Как найти сумму первых 5 чисел геометрической прогрессии

Книга автора Ященко Иван Валерьевич — ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания. В сборнике приведены ответы к задачам. Пособие. Год: 2016. Страниц: 464. Переплёт: мягкий. ISBN: 978-5-377- 10327-1. Размеры: 21,50 см x 14,50 см x 2,00 см. Формат: 206.00mm x 142.00 mm x 18.00mm.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

Q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является Возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81.

Геометрическая последовательность является Убывающей, если b1 > 0, 0 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81.

Геометрическая последовательность является Убывающей, если b1 > 0, 0

Геометрическая прогрессия

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать

Легенда о зернах на шахматной доске

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно. С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.

— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел ( членов прогрессии ) , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число ( знаменатель прогрессии ):

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ( )

Знаменатель геометрической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

для 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»15″ width=»48″ style=»vertical-align: -1px;»/>

Последовательность является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно:

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей . Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число и

Примеры

Пример 1 .

Последовательность < >–геометрическая прогрессия.

Согласно формуле имеем:

Приметр 2.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии < >, в которой

Помните, при работе с арифметической прогрессией, мы пользовались формулой, которая позволяла связать между собой не только и , но и (шире) и ?

В геометрической прогрессии мы также воспользуемся аналогичной формулой:

, k» title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»14″ width=»50″ style=»vertical-align: 0px;»/>

Пример 3.

Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12, а одиннадцатый член равен 4.

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии

Пример 4.

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам следует найти знаменатель

Пример 5.

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии < >, в которой 0.» title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»26″ width=»189″ style=»vertical-align: -7px;»/>

Найдем знаменатель прогрессии :

Так как по условию 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»18″ width=»46″ style=»vertical-align: -4px;»/>, то берем только .

Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии , нам потребуется найти :

Пример 6.

Представьте в виде обыкновенной дроби число

Замечаем, что число составлено из суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пусть эта прогрессия < >,

Тогда сумма бесконечно убывающей прогрессии < >(а значит, и само число ) есть

Пример 7.

Найдите , если известно, что числа являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии имеем:

0;» title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»22″ width=»234″ style=»vertical-align: -4px;»/>

0;» title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»22″ width=»214″ style=»vertical-align: -4px;»/>

При найденном имеем следующую геометрическую прогрессию:

Пример 8.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно

Пусть дана геометрическая прогрессия < >.

Тогда, согласно условию,

Пример 9.

Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия ( 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»18″ width=»46″ style=»vertical-align: -4px;»/>).

Когда мы вставим три числа (назовем их ), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов ( ).

Так как по условию 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»18″ width=»46″ style=»vertical-align: -4px;»/>, то

Тогда имеем следующую геометрическую прогрессию: