Гимназия 1503

четвёртый класс

И всё-таки она вертится…

Как хорошо, когда задача имеет несколько решений. Есть место для творчества.
Как поднимается настроение, когда решение задачи неявное и не лежит на поверхности. Можно выйти за рамки и почувствовать себя свободным.

На уроке математики у нас возникла дискуссия на тему — является ли равносторонний треугольник равнобедренным. Одни утверждали, что да, другие с ними спорили.

Пришлось обратиться к самым умным сайтам в интернете и побеспокоить дедушек с математическим образованием.
И вот что мы выяснили.

Определение: равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны по длине.

Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным.

Если взять длины сторон, как признак, и разделить треугольники по типам, то типы будут следующие: разносторонний, равнобедренный и частный случай равнобедренного — равносторонний.

Условие равенства двух сторон является необходимым и достаточным, чтобы считать треугольник равнобедренным.

Условие достаточности может выполняться и не выполняться в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольнике. Но в равностороннем треугольнике оно выполняется всегда.

Следовательно равносторонний треугольник всегда является равнобедренным.

Рассмотрим рисунок и вспомним определение.

АВ=ВС — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
ВС=СА — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
СА=АВ — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).

Как видим, равносторонний треугольник АВС является не просто равнобедренным, а трижды равнобедренным.

Чем отличается равнобедренный треугольник от равностороннего?

У равнобедренного равны не менее двух сторон, а у равностороннего равны все три стороны между собой. Так что любой равносторонний автоматически является равнобедренным, но не любой равнобедренный будет равносторонним.

Всякий треугольник, имеющий две равные по длине стороны, называется равнобедренным. В таких треугольниках равные стороны называются боковыми, а третью именуют основанием.

Если в треугольнике равны все три стороны, то такой треугольник называют равносторонним. Причем равносторонний треугольник считается частным видом равнобедренного.

Кстати, в равностороннем треугольнике все внутренние углы равны 60°, а в сумме они составляют 180°. Кроме того, в таком треугольнике совпадают такие точки, как центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей, а также ортоцентр (точка пересечения высот).

Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является медианой и высотой.

Теорема: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Теорема: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является медианой и биссектрисой.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – частный случай равнобедренного треугольника.(т. е. для любого равностороннего треугольника применимы все свойства равнобедренного треугольника)

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним треугольником.

Признак: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°

Свойство: В равностороннем треугольники центры вписанной и описанной окружности совпадают.

По формулам выше можно найти высоту, площадь равностороннего треугольника через сторону, радиус вписанной и радиус описанной окружностей.