График линейного уравнения с двумя переменными

Урок 40. Алгебра 7 класс

Конспект урока «График линейного уравнения с двумя переменными»

· ввести понятие «график линейного уравнения с двумя переменными»;

· рассмотреть поведение графика в зависимости от значений коэффициентов перед переменными.

На прошлом уроке мы с вами познакомились с линейным уравнением с двумя переменным. Давайте, вспомним определение.

И сегодня на уроке мы будем вести речь о графике такого уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Обратите внимание, что полученная формула имеет вид линейной функции, графиком которой является прямая.

Так как прямая определяется двумя точками, то для построения графика нам достаточно указать две точки. Так:

Таким образом, получили две точки с координатами:

Теперь на координатной плоскости отметим эти точки и проведём через них линию.

Эта прямая является графиком исходного уравнения.

Все точки, принадлежащие графику, – это пары чисел, которые являются решениями нашего уравнения.

Теперь рассмотрим уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю.

А это постоянная функция. С предыдущих уроков нам известно, что график такой функции – это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2) и параллельна оси Ox.

Все точки, принадлежащие этой прямой, – это пары чисел, которые являются решениями данного уравнения. И таких решений бесконечно много.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

А теперь давайте рассмотрим случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.

Давайте, рассмотрим примеры построения графиков линейных уравнений.

Итак, сегодня на уроке мы выяснили, что же представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными и научились строить такие графики.

График линейного уравнения с двумя переменными 7 класс видеоурок

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

График линейного уравнения с двумя переменными 7 класс видеоурок

Рассмотрим такую реальную ситуацию:

Мастер и ученик вместе изготовили на заказ 400 деталей. Причём мастер работал 3 дня, а ученик 2 дня. Сколько деталей изготовил каждый?

Составим алгебраическую модель данной ситуации. Пусть мастер изготавливает за 1 деньхдеталей. А ученик у деталей. Тогда мастер за 3 дня изготовит 3х деталей, а ученик изготовит за 2 дня 2у деталей. Вместе они изготовят 3х + 2удеталей. Так как по условию всего изготовлено 400 деталей, то получим уравнение:

Полученное уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными. Здесь нам надо найти пару чисел х и у, при которых уравнение примет вид верного числового равенства. Заметим, что если х= 90, у = 65, то получим равенство:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Так как получено верное числовое равенство, то пара чисел 90 и 65 будет являться решением этого уравнения. Но найденное решение не единственно. Если х = 96 и у = 56, то получаем равенство:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Это тоже верное числовое равенство, а, значит, пара чисел 96 и 56 так же является решением этого уравнения. А вот пара чисел х= 73и у= 23 не будет являться решением этого уравнения. В самом деле, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 даст нам неверное числовое равенство 265 = 400.Необходимо отметить, что если рассматривать уравнение применительно к данной реальной ситуации, то будут существовать пары чисел, которые, являясь решением данного уравнения, не будут являться решением задачи. Например, пара чисел:

х = 200 и y = –100

является решением уравнения, но ученик не может сделать -100 деталей, а поэтому такая пара чисел ответом на вопрос задачи быть не может. Таким образом, в каждой конкретной реальной ситуации необходимо разумно подходить к отбору корней уравнения.

Подведём первые итоги:

Уравнение вида ах + bу + с = 0, где а, b, с – любые числа, называют линейным уравнением с двумя переменными.

Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару чисел соответствующих х и у, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

Сама запись пары (х;у) наталкивает нас на мысль о возможности изображения её в виде точки с координатами хи у на плоскости. А значит, мы можем получить геометрическую модель конкретной ситуации. Например, рассмотрим уравнение:

Подберём несколько пар чисел, которые будут являться решениями этого уравнения и построим точки с найденными координатами. Пусть это будут точки:

А(0; 4), В(2; 0), С(1; 2), D(–2; 8), Е(– 1; 6).

Заметим, что все точки лежат на одной прямой. Такую прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными. Она является графической (или геометрической) моделью данного уравнения.

Если пара чисел (х;у) является решением уравнения

ах + ву + с = 0, то точка М(х;у) принадлежит графику уравнения. Можно сказать и наоборот: если точка М(х;у) принадлежат графику уравнения ах + ву + с = 0, то пара чисел (х;у) является решением этого уравнения.

Из курса геометрии мы знаем:

Для построения прямой необходимо 2 точки, поэтому для построения графика линейного уравнения с двумя переменными достаточно знать всего 2 пары решений. Но угадывание корней процедура далеко не всегда удобная, не рациональная. Можно действовать и по другому правилу. Поскольку абсцисса точки (переменная х) это независимая переменная, то можно придать ей любое удобное значение. Подставив это число в уравнение, мы найдём значение переменной у.

Например, пусть дано уравнение:

Пусть х = 0, тогда получим 0 – у + 1 = 0 или у = 1. Значит, если х = 0, то у = 1. Пара чисел (0;1) – решение этого уравнения. Зададим для переменной х ещё одно значение х = 2. Тогда получим 2 – у + 1 = 0 или у = 3. Пара чисел (2;3) также является решением этого уравнения. По двум найденным точкам уже можно построить график уравнения х – у + 1 =0.

Можно поступить и так: сначала придать некоторое конкретное значение переменной у, а уж потом вычислить значение х.

Найдите два натуральных числа, сумма которых 11, а разность 1.

Для решения этой задачи сначала составим математическую модель (а именно алгебраическую). Пусть первое число х, а второе – у. Тогда сумма чисел х + у = 11 и разность чисел х – у = 1. Так как в обоих уравнениях речь идёт об одних и тех же числах, то данные условия должны выполниться одновременно. Обычно в таких случаях используют специальную запись. Уравнения записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой.

Такую запись называют системой уравнений.

Теперь построим множества решений каждого уравнения, т. е. графики каждого из уравнений. Возьмём первое уравнение:

Если х =4, то у = 7. Если х = 9, то у = 2.

Через точки (4;7) и (9;2) проведём прямую.

Возьмём второе уравнение х – у = 1. Если х = 5, то у = 4. Если х = 7, то у = 6. Через точки (5;4) и (7;6) так же проведём прямую. Получили геометрическую модель задачи. Интересующая нас пара чисел (х;у) должна являться решением обоих уравнений. На рисунке мы видим единственную точку, которая лежит на обеих прямых, это – точка пересечения прямых.

Её координаты (6;5). Поэтому решением задачи будет: первое искомое число 6, второе 5.