Исследование функции и построение графика

Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной — например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.

Алгоритм исследования функции и построения ее графика таков:

1. Находим область определения (D(f)) функции .

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения из D(f) значение также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если , то функция четная . (Примером четной функции является функция )

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если , то функция нечетная . (Примером нечетной функции является функция )

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для =0″ title=»x>=0″/> , а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции — это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение .

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при .

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства 0″ title=»f(x)>0″/> и .

5. Находим асимптоты графика функции.

Краткий экскурс на тему, что такое асимптоты и как их находить читайте здесь.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.

7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения — это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

8. И последний номер наше программы — точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь.

Итак, давайте, для примера, исследуем функцию и построим ее график.

1. Найдем D(y).

Сразу отметим, что при знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции .

2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: и )

Получили, что , следовательно, функция — нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)

б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)

График нашей функции проходит через начало координат.

4. Найдем промежутки знакопостоянства.

Решим неравенство 0″ title=»/>0″/>

Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:

Итак, 0″ title=»f(x)>0″/> при и

5. Найдем асимптоты графика функции .

Вертикальные асимптоты мы уже нашли в п.1, это прямые и .

Уравнение горизонтальной асимптоты функции имеет вид , где

Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому не существует, и график функции не имеет горизонтальной асимптоты.

Попробуем найти наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

(Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).

То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Нанесем асимптоты на координатную плоскость:

6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции и экстремумы.

а) Найдем производную функции

б) Приравняем производную к нулю:

(корень четной кратности); ;

Корни знаменателя — — также корни четной кратности.

В корнях четной кратности производная знак не меняет.

в) Нанесем нули производной и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.

Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.

Найдем значение функции в точках экстремума:

Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что

Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.

Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!

После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.

Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции.

Исследование функций и построение графика функции с помощью производных.

Построение графика функции по особенным точкам включает в себя исследование самой функции: определение области допустимых значений аргумента, определение области изменения функции, определение четности или нечетности функции, определение точек разрыва функции, нахождение интервалов знакопостоянства функции, нахождение асимптот графика функции. С помощью первой производной можно определить интервалы возрастания (убывания) функции, наличие точек экстремума. По второй производной можно определить интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции, а также точки перегиба. При этом считаем, что если в некоторой точке xoкасательная к графику функции выше кривой, то график функции в этой точке имеет выпуклость; если же касательная ниже кривой, то график функции в этой точке имеет вогнутость.

Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = x³/(x²+3)

1. Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента: (-∞,+∞).

б) Область изменения функции: (-∞, +∞).

в) Функция является нечетной, т. к. y(-x) = — y(x),т. е. график функции симметричен относительно начала координат.

г) Функция является непрерывной, точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.

д) Нахождение уравнения наклонной асимптоты y(x) = k∙x + b, где

k = /xи b =

В данном примере параметры асимптоты соответственно равны:

k = , т. к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковые, равные трем, а отношение коэффициентов при этих старших степенях равно единице. При x→+∞ для вычисления предела использовали третий замечательный предел.

b = = = 0, при вычислении предела при x→+∞ воспользовались третьим замечательным пределом. Итак, график данной функции имеет наклонную асимптоту y=x.

2. Исследование функции с помощью 1-ой производной.

y´= [x²∙(9+x²)]/(x²+3)² —производная вычислена с помощью формулы дифференцирования частного.

а) Определяем нули производной и точки разрыва, приравнивая соответственно числитель и знаменатель производной нулю: y´=0,еслиx=0.Точек разрыва 1-я производная не имеет.

б) Определяем интервалы знакопостоянства производной, т. е. интервалы монотонности функции: при -∞ 0, т. е. график функции вогнутый. При —3 0,следовательно, функция возрастает. В точке x=1первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Минимум пологий, т. к. при x=1производнаяy´=0.

3.Исследование функции по 2-ой производной.

y´´= 2 + 2/x³. По 2-ой производной определим интервалы выпуклости или вогнутости графика функции, а также, если они имеются, точки перегиба. Приведем выражение для второй производной к общему знаменателю, а затем, приравнивая нулю поочередно числитель и знаменатель, получим: y´´=0при x=-1, y´´-не существуетпри x=0.

При -∞ 0 –график функции вогнутый. При -1≤x 0 –это условие выполняется при всех значениях аргумента, т. е. О. Д.З. – (-∞, +∞).

б) Область изменения функции: (0, +∞). Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, и приравниваем функцию нулю: ln((x+2)²+1) =0.Т. е. функция обращается в ноль при x=-2.График функции будет симметричен относительно прямой x=-2.

в) Функция непрерывная, точек разрыва не имеет.

г) Асимптот у графика функции нет.

2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получим: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

а) Определим нули и точки разрыва производной: y´=0, при x=-2. Точек разрыва первая производная не имеет.

б) Определяем интервалы монотонности функции, т. е. интервалы знакопостоянства первой производной: при -∞ 0,следовательно, функция возрастает. Так как производная в точке x=-2меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум (пологий).

3.Исследование функции по 2-ой производной.

Представим первую производную в следующем виде: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²).Воспользовавшись формулой дифференцирования частного, получим выражение для второй производной: y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

а) Определим интервалы знакопостоянства второй производной. Так как знаменатель 2-ой производной всегда неотрицателен, то знак второй производной определяется только числителем. y´´=0при x=-3иx=-1.

При -∞ 0,следовательно, график функции на этом интервале – вогнутый. Точки x=-3и x=-1 – точки перегиба графика функции, т. к. в этих точках происходит перемена знаки второй производной, а сама вторая производная обращается в ноль (рис.6).

Пример: исследовать функцию и построить график y(x) = x²/(x+2)²

а) Область допустимых значений аргумента (-∞, -2)U(-2, +∞).

б) Область изменения функции [0, +∞), при x=0, y=0.

в) Функция не является ни четной, ни нечетной.

г) Функция не является непрерывной, точка x=-2 – точка разрыва второго рода.

д) Вертикальная асимптота x=-2,горизонтальная асимптота y=1.

2.Исследование функции с помощью первой производной.

Используя формулу дифференцирования частного, получим y´= 4x/(x+2)³.

а) Определяем нули и точки разрыва производной: y´=0при x=0, y´-не существует при x=-2.

б) Определим интервалы монотонности функции, т. е. интервалы знакопостоянства производной: при -∞ 0, т. е. функция возрастает; при-2 0, следовательно, график функции на этих интервалах – вогнутый; при1≤x

Построение графика функции f(x)=x 3 -3x+4 с помощью производной, сопутствующие задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим методику построения графика и исследования функции, состоящую из двух этапов. Применим эту методику для исследования функции , а также рассмотрим типовые задачи на исследование этой функции.

Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:

1. исследование без производной;

2. исследование с помощью производной.

Построение графика и исследование функции без производной

При исследовании функции без производной нахождение интервалов знакопостоянства и определение знаков функции на них выполнить очень затруднительно. Однако некоторые свойства данной функции можно узнать:

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел.

2. Если x стремится к , то и данная функция стремится к . Следовательно, множество значений функции – это вся числовая ось.

3. График этой функции симметричен относительно точки .

Эта функция позволяет найти интервалы знакопостоянства и построить эскиз графика (см. Рис. 1).

Эта функция нечетная:

График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами .

Рис. 1. График функции

При прибавлении 4 к функции график сдвинется на 4 единицы вверх по оси (см. Рис. 2): корни и пропадают, а корень сдвигается влево. Следовательно, график функции будет симметричен относительно точки .

Рис. 2. Схематичное изображение графиков функции и

Нам удалось установить, что функция имеет как минимум один корень, который меньше чем .

Построение графика и исследование функции с помощью производной

Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:

Выделим интервалы знакопостоянства производной, которые определяют интервалы монотонности самой функции (см. Рис. 3).

До точки функция возрастала (производная была положительна), после этой точки функция убывает (производная отрицательная), следовательно, – это точка максимума.

До точки функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно, – это точка минимума.

Рис. 3. График производной функции

Найдем значения функции в точках минимума и максимума:

Можно сделать вывод, что функция возрастает от до 6 и от 2 до ; функция убывает от 6 до 2.

На рисунке 4 показан график функции . Этот график читается следующим образом:

Если аргумент возрастает от до , то функция возрастает от до 6; если аргумент от до 1, то функция убывает от 6 до 2; если аргумент возрастает от 1 до , то функция возрастает от 2 до .

Рис. 4. График функции

Результаты исследования функции

3. . Наибольшего и наименьшего значения функции не существует.

Найти число корней уравнения в зависимости от параметра .

1. Перенесем в правую часть уравнения:

2. Построим график функции (см. Рис. 5) (как построить график этой функции см. выше).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

3. Рассечем этот график семейством прямых , при разных . Найдем точки пересечения этих прямых с графиком функции (см. Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Уравнение имеет один корень при каждом из множества , а также из множества .

Уравнение имеет два корня при и при .

Уравнение имеет три корня при всех из множества .

Частные случаи для задачи

1. Найти все значения параметра , при каждом из которых данное уравнение имеет ровно два различных корня.

Ответ: уравнение имеет два корня при и при .

2. Найти наибольшее натуральное значение параметра a, при котором уравнение имеет три различных корня.

Уравнение имеет три корня при всех из множества . В это множество входят такие натуральные числа: 3, 4, 5. Наибольшее из них – это 5.

Общий план построения графика и исследования функции

Общий план состоит из двух этапов:

1. Этап А: исследование без производной.

2. Этап Б: исследование с производной.

1. Найти область определения функции .

2. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции на них (для этого нужно приблизительно оценить расположение корней или точно найти их).

3. Найти точку пересечения графика с осью , для этого приравнять и вычислить .

4. Выяснить специфику функции:

— четность, нечетность, периодичность;

— наличие центра или оси симметрии.

5. Построить эскиз графика в окрестностях каждого корня (в окрестностях корня функция может возрастать, убывать, иметь точку максимума или минимума (см. Рис. 7)).

Рис. 7. Эскиз графиков в окрестностях корня

6. Построить эскиз графика функции в окрестностях точек разрыва области определения . Точки разрыва – это, как правило, корни знаменателя. Они могут определять вертикальные асимптоты.

7. Построить график функции в окрестностях бесконечно удаленных точек: .

1. Найти производную функции .

2. Найти интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них. Эти интервалы определяют интервалы монотонности самой функции.

3. Найти критические точки, исследовать их на экстремум.

4. Построить и описать график функции .

Предложенная схема работает особенно хорошо для функций вида: , где и – многочлены.

Список литературы

1. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ткачева М. В., Федорова М. В., Шабунин М. И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «Вся элементарная математика» (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Задание 45.13, 45.15(а), 45.3 (б) (стр. 265) – Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)

2. Исследуйте функцию и постройте ее график .

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.