Исследование функций и построение графика функции с помощью производных

Построение графика функции по особенным точкам включает в себя исследование самой функции: определение области допустимых значений аргумента, определение области изменения функции, определение четности или нечетности функции, определение точек разрыва функции, нахождение интервалов знакопостоянства функции, нахождение асимптот графика функции. С помощью первой производной можно определить интервалы возрастания (убывания) функции, наличие точек экстремума. По второй производной можно определить интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции, а также точки перегиба. При этом считаем, что если в некоторой точке xoкасательная к графику функции выше кривой, то график функции в этой точке имеет выпуклость; если же касательная ниже кривой, то график функции в этой точке имеет вогнутость.

Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = x³/(x²+3)

1. Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента: (-∞,+∞).

б) Область изменения функции: (-∞, +∞).

в) Функция является нечетной, т. к. y(-x) = — y(x),т. е. график функции симметричен относительно начала координат.

г) Функция является непрерывной, точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.

д) Нахождение уравнения наклонной асимптоты y(x) = k∙x + b, где

k = /xи b =

В данном примере параметры асимптоты соответственно равны:

k = , т. к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковые, равные трем, а отношение коэффициентов при этих старших степенях равно единице. При x→+∞ для вычисления предела использовали третий замечательный предел.

b = = = 0, при вычислении предела при x→+∞ воспользовались третьим замечательным пределом. Итак, график данной функции имеет наклонную асимптоту y=x.

2. Исследование функции с помощью 1-ой производной.

y´= [x²∙(9+x²)]/(x²+3)² —производная вычислена с помощью формулы дифференцирования частного.

а) Определяем нули производной и точки разрыва, приравнивая соответственно числитель и знаменатель производной нулю: y´=0,еслиx=0.Точек разрыва 1-я производная не имеет.

б) Определяем интервалы знакопостоянства производной, т. е. интервалы монотонности функции: при -∞ 0, т. е. график функции вогнутый. При —3 0,следовательно, функция возрастает. В точке x=1первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Минимум пологий, т. к. при x=1производнаяy´=0.

3.Исследование функции по 2-ой производной.

y´´= 2 + 2/x³. По 2-ой производной определим интервалы выпуклости или вогнутости графика функции, а также, если они имеются, точки перегиба. Приведем выражение для второй производной к общему знаменателю, а затем, приравнивая нулю поочередно числитель и знаменатель, получим: y´´=0при x=-1, y´´-не существуетпри x=0.

При -∞ 0 –график функции вогнутый. При -1≤x 0 –это условие выполняется при всех значениях аргумента, т. е. О. Д.З. – (-∞, +∞).

б) Область изменения функции: (0, +∞). Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, и приравниваем функцию нулю: ln((x+2)²+1) =0.Т. е. функция обращается в ноль при x=-2.График функции будет симметричен относительно прямой x=-2.

в) Функция непрерывная, точек разрыва не имеет.

г) Асимптот у графика функции нет.

2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получим: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

а) Определим нули и точки разрыва производной: y´=0, при x=-2. Точек разрыва первая производная не имеет.

б) Определяем интервалы монотонности функции, т. е. интервалы знакопостоянства первой производной: при -∞ 0,следовательно, функция возрастает. Так как производная в точке x=-2меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум (пологий).

3.Исследование функции по 2-ой производной.

Представим первую производную в следующем виде: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²).Воспользовавшись формулой дифференцирования частного, получим выражение для второй производной: y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

а) Определим интервалы знакопостоянства второй производной. Так как знаменатель 2-ой производной всегда неотрицателен, то знак второй производной определяется только числителем. y´´=0при x=-3иx=-1.

При -∞ 0,следовательно, график функции на этом интервале – вогнутый. Точки x=-3и x=-1 – точки перегиба графика функции, т. к. в этих точках происходит перемена знаки второй производной, а сама вторая производная обращается в ноль (рис.6).

Пример: исследовать функцию и построить график y(x) = x²/(x+2)²

а) Область допустимых значений аргумента (-∞, -2)U(-2, +∞).

б) Область изменения функции [0, +∞), при x=0, y=0.

в) Функция не является ни четной, ни нечетной.

г) Функция не является непрерывной, точка x=-2 – точка разрыва второго рода.

д) Вертикальная асимптота x=-2,горизонтальная асимптота y=1.

2.Исследование функции с помощью первой производной.

Используя формулу дифференцирования частного, получим y´= 4x/(x+2)³.

а) Определяем нули и точки разрыва производной: y´=0при x=0, y´-не существует при x=-2.

б) Определим интервалы монотонности функции, т. е. интервалы знакопостоянства производной: при -∞ 0, т. е. функция возрастает; при-2 0, следовательно, график функции на этих интервалах – вогнутый; при1≤x

Исследование функции и построение графика

Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной — например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.

Алгоритм исследования функции и построения ее графика таков:

1. Находим область определения (D(f)) функции .

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения из D(f) значение также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если , то функция четная . (Примером четной функции является функция )

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если , то функция нечетная . (Примером нечетной функции является функция )

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для =0″ title=»x>=0″/> , а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции — это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение .

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при .

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства 0″ title=»f(x)>0″/> и .

5. Находим асимптоты графика функции.

Краткий экскурс на тему, что такое асимптоты и как их находить читайте здесь.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.

7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения — это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

8. И последний номер наше программы — точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь.

Итак, давайте, для примера, исследуем функцию и построим ее график.

1. Найдем D(y).

Сразу отметим, что при знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции .

2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: и )

Получили, что , следовательно, функция — нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)

б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)

График нашей функции проходит через начало координат.

4. Найдем промежутки знакопостоянства.

Решим неравенство 0″ title=»/>0″/>

Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:

Итак, 0″ title=»f(x)>0″/> при и

5. Найдем асимптоты графика функции .

Вертикальные асимптоты мы уже нашли в п.1, это прямые и .

Уравнение горизонтальной асимптоты функции имеет вид , где

Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому не существует, и график функции не имеет горизонтальной асимптоты.

Попробуем найти наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

(Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).

То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Нанесем асимптоты на координатную плоскость:

6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции и экстремумы.

а) Найдем производную функции

б) Приравняем производную к нулю:

(корень четной кратности); ;

Корни знаменателя — — также корни четной кратности.

В корнях четной кратности производная знак не меняет.

в) Нанесем нули производной и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.

Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.

Найдем значение функции в точках экстремума:

Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что

Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.

Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!

После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.

Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции.

Исследование функции и построение графика функции

Для того, чтобы построить график функции необходимо провести полное исследование заданной функции. Затем поэтапно, используя полученные результаты, построить график.

Как построить график функции?

После краткого описания пунктов исследования, приведем ряд примеров по теме построения графиков функции с полным предварительным исследованием.

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

. Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут .

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = — y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.

6. Выпуклость, вогнутость.

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз.

7. Наклонные асимптоты.

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.