Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задание 12

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1 . Находим ОДЗ функции.

2 . Находим производную функции

3 . Приравниваем производную к нулю

4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции 0″ title=»f^(x)>0″/> , то функция возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5 . Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6 . Находим значение функции в концах отрезка,

  • затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  • или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее — в левом: .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть и .

Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть и .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции — множество действительных чисел.

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике

1 . Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

Ответ: 5.

2 . Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ ].

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

, следовательно, =3″ title=»3/>>=3″/> , значит, =0″ title=»3/>-3>=0″/> , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

Ответ: 5.

3 . Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ ].

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: и

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева.

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция непрерывна в точке справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)

Согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .

Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .

Примечание: в теории распространены записи .

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функцииНЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо!

Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:

1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:
– критические точки.

Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.

Первая критическая точка принадлежит данному отрезку:
А вот вторая – нет: , поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:

Итоговый результат я выделил жирным цветом, при оформлении задания в тетради его удобно обвести в кружок простым карандашом или пометить как-то по-другому.

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

Результаты опять каким-либо образом выделяем.

3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:

Критическое значение на поверку оказалось точкой максимума, но об этом нас никто не спрашивал. Впрочем, для саморазвития можете устно подмечать такие факты.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

В рассматриваемой задаче очень важно не допускать вычислительных ошибок, так как рецензент немедленно посмотрит, сами догадываетесь куда.

Другой существенный момент касается пункта №1.

Во-первых, критических точек может не оказаться вообще. Это очень хорошо – меньше вычислений. Просто записываем вывод: «критические точки отсутствуют» и переходим ко второму пункту алгоритма.

Во-вторых, все критические точки (одна, две или бОльшее количество) могут не принадлежать отрезку. Замечательно. Пишем следующее: «критические точки (а) не принадлежат (ит) рассматриваемому отрезку». Находить какие-то значения функции здесь, разумеется, тоже не надо.

В моей коллекции есть и те и те примеры, но они унылы как бескрайние просторы Сахары. По сути, всё задание сводится к нахождению двух значений функции на концах интервала. Гораздо интереснее снять кепки, солнечные очки и отправиться играть в пляжный футбол:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

Решение: всё опять начинается дежурной фразой:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

Да, критических точек тут и правда целая команда:

Первые две точки принадлежат нашему отрезку:

Но третья оказывается вне игры:

(надеюсь, все сумели сосчитать )

Вычислим значения функции в подходящих точках:

Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:

Ответ:

Время от времени критические точки могут совпадать с одним или даже с обоими концами отрезка, и в этом случае укорачивается второй этап решения. Следующий пример для самостоятельного изучения посвящен как раз такой ситуации:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

Примерный образец решения в конце урока.

Иногда техническая трудность рассматриваемого задания состоит в замысловатой производной и громоздких вычислениях:

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Решение: отрезок, надо сказать, творческий, но пример взят из конкретной контрольной работы и ни в коем случае не придуман.

1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:

Очевидный корень оказывается не в теме: .

Второй корень принадлежит нашему отрезку:

Если вам не понятно, почему именно такой корень, обязательно обратитесь к школьному учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс и повторите, что такое логарифм, ибо плох тот студент, который не мечтает овладеть логарифмами.

Дальнейшие вычисления задачи я распишу максимально подробно, но без комментариев. Некоторую информацию о логарифмической функции и свойствах логарифма можно почерпнуть в статье Графики и свойства элементарных функций и методичке по школьным формулам.

Вычислим значение функции во второй критической точке:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :

Вот теперь всё понятно.

Ответ:

Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Вычисления в данном случае не менее кропотливы и точно так же потребуют вмешательства калькулятора (если вы, конечно, не вундеркинд). Полное решение и ответ в конце урока.

Стрелки часов приближаются к 9 утра, и побережье потихоньку заполняется всё бОльшим и бОльшим количеством стройных ног. Если честно, не терпится захлопнуть ноут и похулиганить, но всё-таки мужественно разберу нетривиальную вещь:

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Решение:
1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:

Обратите внимание, что точка обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. На этом случае я подробно останавливался в теоретической части и последнем примере урока Интервалы монотонности. Экстремумы функции.

Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

Ответ:

Раз, два, три, четыре, пять – мне пора верстать.

Скорее всего, вы прочитали данную статью в ненастную погоду, поэтому желаю всем скорейшего летнего загара без зачётки в кармане! …ну или с дипломом на груди… …ой, что-то я не то сказал =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

– критические точки.

2)Вычислим значения функции на концах отрезка:

Ответ:

Пример 4: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

– критические точки.

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
уже рассчитано в предыдущем пункте.

Пример 6: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:
– критические точки.

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

Ответ:

Уроки алгебры и начала анализа по теме «Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке на примерах заданий вариантов ЕГЭ». 11-й класс

Разделы: Математика

Образовательные задачи урока.

  • повторить необходимые и достаточные условия существования точек экстремума, понятия: стационарные и критические точки;
  • ввести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
  • сформировать умение решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения степенной функции на отрезке с помощью производной.
  • разобрать прототипы задач № 1 В14 экзаменационной работы в формате ЕГЭ.
  • Продолжить формирование общеучебных умений и навыков: навыков самоконтроля, умения писать необходимом темпе.
  • Воспитательные задачи:

  • cодействовать в ходе урока формированию основных мировоззренческих идей (материальность мира, познаваемость мира и его закономерностей, обусловленность развития науки потребностям производства);
  • cодействовать воспитанию у учащихся таких нравственных качеств, как коллективизм;
  • cодействовать профилактике утомляемости школьников, используя разнообразные виды работы на уроке.
  • I. Организационный момент. Приветствие. Проверка готовности класса к уроку. Выявление отсутствующих.

    II. Актуализация знаний учащихся.

    Повторить с учащимися основные понятия прошлых уроков: точки экстремума, каково достаточное условие точек экстремума, стационарные точки и критические точки (учащихся отвечают с места)

    Повторить таблицу производных основных функций и основные правила нахождения

    III. Изучение нового материала.

    Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

    (учащиеся записывают себе в тетрадь).

    Пусть функция непрерывна и дифференцируема на отрезке , то для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нужно:

    1. найти производную функции, найти стационарные точки (решаем уравнение, приравнивая производную к нулю)
    2. среди полученных стационарных точек выбрать те, которые принадлежат отрезку
    3. найти значение в стационарных точках и в концах отрезка, то есть и .
    4. среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

    Записать схему нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке в тетради (учитель оформляет схему на доске):

    Пусть непрерывна на и дифференцируема. Тогда, для нахождения или :

    1. Находим находим
    2. Проверяем принадлежность отрезку
    3. Находим , , .
    4. Среди полученных значений выбираем или .
    5. Записываем ответ (Акцентировать внимание, что в ответе должно быть записано либо целое число, либо конечная десятичная дробь).

    Пример № 1. Найти наименьшее значение функции на отрезке . (Учитель совместно с учащимися записывает решение на доске последовательно проговаривая каждый пункт алгоритма).

    Пример № 2. Найти наибольшее значение функции на отрезке

    Пример № 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

    Пример № 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

    IV. Закрепление материала.

  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • V. Итоги урока.

  • Повторить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
  • Выставить отметки за урок.
  • VI. Домашнее задание:

  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  • Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найти наибольшее значение функции на отрезке
  • Урок № 2. “Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций и на отрезке .

    Тип урока: комбинированный.

    Образовательные задачи:

  • обеспечить повторение в ходе урока алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
  • продолжить формирования навыка применения этого алгоритма при решении второго типа задач экзаменационных вариантов ЕГЭ;
  • продолжить формирование общеучебных умений и навыков: навыков самоконтроля, умения в необходимом темпе читать и писать, анализировать условия задачи.
  • Воспитательные задачи:

  • содействовать в ходе урока формированию основных мировоззренческих идей (материальность мира, познаваемость мира и его закономерностей, обусловленность развития науки потребностям производства);
  • содействовать воспитанию у учащихся таких нравственных качеств, как коллективизм. умение слушать товарищей;
  • содействовать профилактике утомляемости школьников.
  • I. Организационный момент. Приветствие. Проверка готовности класса к уроку. Выявление отсутствующих.

    II. Проверка домашнего задания. Фронтальная проверка домашнего задания. Если у большинства учащихся возникли вопросы, разобрать на доске решение конкретного задания, если лишь у некоторых, объяснить в индивидуальном порядке, предварительно схематично обговорив решение у доски.

    III. Актуализация знаний. Повторить еще раз алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с оформлением схемы на доске.

    Повторить следующие формулы для дальнейшего изучения материала:

    Решить на повторение примеры (1 учащийся пишет решение на доске с комментариями по решению, остальные записывают себе в тетради).

    IV. Решение новых прототипов задач (разбирает решение учитель)

    Пример № 1. Найти наименьшее значение функции на отрезке

    Пример № 2. Найти наименьшее значение функции на отрезке

    Решение. Преобразуем и упростим функцию , используя свойство логарифмов

    V. Закрепление материала (самостоятельное решение задач учащимися у доски).

    Пример № 3. Найти наибольшее значение функции на отрезке

    Пример № 4. Найти наименьшее значение функции на отрезке

    Пример № 5. Найти наименьшее значение функции на отрезке

    Пример № 6. Найти наибольшее значение функции на отрезке

    Пример № 7: Найдите наибольшее значение функции на отрезке

    VI. Итоги урока.

  • Повторить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
  • Проговорить основные алгоритмы решения тех примеров, которые изучены на уроке.