Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике

Равнобедренным треугольником именуется выпуклая геометрическая фигура из 3 вершин и 3 соединяющих их отрезков, два из которых имеют идентичную длину. А синус — это тригонометрическая функция, которую дозволено применять для численного выражения зависимости между соотношением длин сторон и величинами углов во всех треугольниках, включая и равнобедренные.

Инструкция

1. Если из начальных данных вестима величина правда бы одного угла (?) в равнобедренном треугольнике, это дозволит обнаружить и два других (? и ?), а значит и синус всякого из них. Исходите из теоремы о сумме углов, которая заявляет, что в треугольнике она неукоснительно должна быть равна 180°. Если угол знаменитой величины лежит между боковыми сторонами, величина всякого из 2-х других равна половине разности между 180° и вестимым углом. Значит, вы можете применять в расчетах такое тождество: sin(?) = sin(?) = sin((180°-?)/2). Если же вестимый угол примыкает к основанию треугольника, это тождество распадется на два равенства: sin(?) = sin(?) и sin(?) = sin(180°-2*?).

Совет 2: Как обнаружить высоту в равнобедренном треугольнике

У равнобедренного треугольника две стороны равны, углы при его основании тоже равны. Следственно высоты, проведенные к боковым сторонам, будут равны друг другу. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, будет единовременно медианой и биссектрисой этого треугольника.

Инструкция

1. Пускай высота AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, потому что AE — высота. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE — его катетами. По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Потому что AE единовременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следственно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, потому что AE — биссектриса треугольника. Отсель, AE = AB/cos(BAC/2).

Совет 3: Как обнаружить угол в равнобедренном треугольнике

Под равнобедренным треугольником подразумевается такой треугольник, у которого равны между собой 2 стороны, а третья, в свою очередь, именуется основанием равнобедренного треугольника. Для подсчета размеров углов в данном треугольнике существует несколько методов.

  • Стороны равнобедренного треугольника, один из углов, радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Инструкция

1. Возможен, дан равнобедренный треугольник, в котором угол ? — угол при основании равнобедренного треугольника, а ? — противолежащий основанию угол. Тогда, зная один из указанных углов, дозволено рассчитать незнакомый:? = (? — ?)/2;? = ? — 2*?. ? — это константа, ее размер принято считать равной 3.14.

Совет 4: Как обнаружить длину стороны в равнобедренном треугольнике

Равнобедренным именуется треугольник, в котором длины 2-х его сторон идентичны. Дабы вычислить размер какой-нибудь из сторон нужно знать длину иной стороны и один из углов либо радиус описанной вокруг треугольника окружности. В зависимости от вестимых величин, для расчетов нужно применять формулы, вытекающие из теорем синуса либо косинуса, либо из теоремы о проекциях.

Инструкция

1. Если вестима длина основания равнобедренного треугольника (A) и величина прилежащего к нему угла (угла между основанием и всякий боковой стороной) (α), то вычислить длину всякой из боковых сторон (B) дозволено исходя из теоремы косинусов. Она будет равна частному от деления длины основания на удвоенное значение косинуса вестимого угла B=A/(2*cos(α)).

Совет 5: Что такое синус

На прямоугольном треугольнике, как наипростейшем из многоугольников, различные ученые супруги оттачивали свои познания в области тригонометрии еще в те времена, когда эту область математики никто даже не называл таким словом. Следственно указать автора, выявившего обоснованности в соотношениях длин сторон и величин углов в этой плоской геометрической фигуре, сегодня не представляется допустимым. Такие соотношения названы тригонометрическими функциями и поделены на несколько групп, стержневой из которых условно считаются «прямые» функции. К этой группе отнесены каждого две функции и одна из них — синус.

Инструкция

1. По определению в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, а в силу того, что сумма его углов в евклидовой геометрии обязана быть равной 180°, два других угла являются острыми (т. е. поменьше 90°). Обоснованности соотношений именно этих углов и длин сторон и описывают тригонометрические функции.

Совет 6: Как обнаружить синус угла между векторами

Вектор в многомерном евклидовом пространстве задается координатами своей исходной точки и точки, определяющей его величину и направление. Отличие между направлениями 2-х таких векторов определяется величиной угла. Зачастую в различного рода задачах из области физики и математики предлагается обнаружить не сам данный угол, а величину производной от него тригонометрической функции — синуса.

Инструкция

1. Используйте для определения синуса угла между двумя векторами вестимые формулы скалярного умножения векторов. Таких формул существует, как минимум, две. В одной из них в качестве переменной задействован косинус надобного угла , узнав тот, что вы сумеете вычислить и синус.

Совет 7: Как обнаружить длину высоты в равнобедренном треугольнике

Высотами в треугольнике называют три отрезка прямых, всякий из которых перпендикулярен одной из сторон и соединяет ее с противолежащей вершиной. Как минимум две стороны и два угла в равнобедренном треугольнике имеют идентичные величины, следственно и длины 2-х высот обязаны быть равны. Это обстоятельство гораздо упрощает вычисление длин высот фигуры.

Инструкция

1. Высоту (Hc), проведенную к основанию равнобедренного треугольника, дозволено рассчитать, зная длины этого основания (c) и боковой стороны (a). Для этого дозволено применять теорему Пифагора, потому что высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Высота и половина основания в нем являются катетами, следственно для решения задачи извлеките корень из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны и четвертью квадрата длины основания: Hс = ?(a?-?*c?).

Совет 8: Как обнаружить синус, зная угол

Одной из фундаментальных основ точных наук является представление о тригонометрических функциях. Они определяют примитивные отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Обнаружить его, зная угол, дозволено огромным числом методов, включающих экспериментальные, вычислительные способы, а также применение справочной информации.

  • — калькулятор;
  • — компьютер;
  • — электронные таблицы;
  • — таблицы брадиса;
  • — бумага;
  • — карандаш.

Инструкция

1. Используйте калькулятор с функцией вычисления синуса для приобретения необходимых значений на основании познания угла. Сходственный функционал сегодня имеют даже самые примитивные устройства. При этом вычисления производятся с дюже высокой степенью точности (как водится, до восьми и больше знаков позже запятой).

Задачи №6. Равнобедренный треугольник. Вычисление углов и длин

Продолжаем разбор Заданий №6 ЕГЭ по математике .

Если вы научились находить значения синусов,

косинусов, тангенсов углов в прямоугольном треугольнике (статьи 1 и 2 ), то задачи, которые мы сегодня будем разбирать, не покажутся вам сложными.

Можете заглянуть и сюда, чтобы вспомнить свойства равнобедренного треугольника.

В категорию «Задания №6» входят также задачи следующих типов + показать

В треугольнике ABC . Внешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Раз внешний угол при вершине равен то внутренний угол при вершине равен

Так как треугольник – равнобедренный, то равны углы при основании, то есть

А поскольку сумма углов треугольника равна , то

В треугольнике ABC угол A равен , угол C равен На продолжении стороны AB отложен отрезок Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Так как – внешний угол треугольника при вершине , то (по свойству внешнего угла треугольника).

Так как треугольник – равнобедренный (основание – ), то по свойству равнобедренного треугольника

В треугольнике ABC Найдите

Так как треугольник равнобедренный, то, если мы проведем медиану , то она будет и высотой.

В треугольнике Найдите

Если мы проведем медиану то за счет равнобедренности треугольника она будет и высотой.

(из треугольника по определению синуса);

По теореме Пифагора из треугольника :

В треугольнике ABC , AH — высота, Найдите

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то и

При этом (из треугольника ).

Найдем зная используя основное тригонометрическое тождество.

(взяли положительное значение).

В треугольнике – высота, Найдите

Так как треугольник – равнобедренный, то , значит и

Значит, (из треугольника ).

Так как то по т. Пифагора для треугольника :

В треугольнике высота Найдите синус угла

, так как треугольник равнобедренный.

В треугольнике угол равен . Найдите высоту .

Внешний угол треугольника равен

В треугольнике ABC Найдите синус внешнего угла при вершине A.

Проведем медиану к основанию равнобедренного треугольника. Она будет являться и высотой (по свойству равнобедренного треугольника).

Найдем по теореме Пифагора из треугольника

А поскольку для смежных и верно то

В треугольнике угол равен Найдите .

Если мы проведем медиану , то она будет и высотой, и биссектрисой для треугольника

По определению синуса для угла имеем:

Устали? Хотите немного посмеяться ? + показать

Сын “нового русского” говорит отцу:

– Папа, ты мне обещал, что если я получу “пять”, то ты мне дашь 11 долларов. Вчера я получил “два”, а сегодня “три”, – итого – “пять”.

– Хорошо, говорит отец, – на тебе один доллар и еще один – итого одиннадцать. Учись дальше, сынок.

Синус в треугольнике

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.