Как найти стороны треугольника, если известны углы

Для того чтобы узнать, как найти стороны треугольника, необходимо вооружиться точными формулами, по которым осуществляется данное вычисление, также вычисление зависит от того, каким является треугольник.

Найти стороны обычного треугольника можно по одной известной стороне и двум углам с данными величинами, второй вариант — это когда известны две из сторон и точное значение в градусах одного из углов.

Чтобы найти стороны треугольника по заданным числам и углу, следует воспользоваться формулой, которая выводится согласно теореме косинусов.

Для начала следует принять условные обозначения сторон, длину которых требуется узнать, как три первые буквы латинского алфавита, аналогично — противоположные углы для каждой из них, то можно получить следующую формулу: а^2 = (b^2+c^2 -2bc×cosA). Получив значение стороны в квадрате, нужно извлечь квадратный корень из этого числа, тем самым найти стороны треугольника оказывается вполне достижимой задачей.

Следует помнить, что при угле большем девяносто градусов, косинус угла принимает отрицательное значение. Этот нюанс нельзя оставлять без внимания, иначе полученный ответ будет неверным.

Если же известна какая-то из сторон и два угла, то при расчете искомых прямых следует вспомнить теорему синусов и подставить нужные значения в расчетную формулу. Этим способом, найти стороны треугольника можно так:

а = (sinA х b)/ sinB, где А и В — углы с известными числовыми значениями, а b — сторона, также имеющая в задании.

Стоит отметить, что сумма углов треугольника всегда равна сто восемьдесят градусов, поэтому для того, чтобы найти третий угол, из этой суммы необходимо вычесть величины двух других.

Чтобы найти стороны треугольника, в котором имеется прямоугольный угол, нужно воспользоваться другими формулами. Синусом угла меньше, чем девяносто градусов, то есть острого, в треугольнике, имеющем прямой угол, есть отношение противолежащего катета к самой большой стороне — гипотенузе.

Найти стороны треугольника реально и другими методами, например, при заданной величине гипотенузы и угла, противостоящий углу катет высчитывается умножением гипотенузы на его синус.

При известной длине противолежащего катета, синус делится на число, данное к гипотенузе. В случае известных прочих числовых данных, найти стороны треугольника прямоугольного достаточно по косинусу. Косинусом угла, меньшего, чем девяносто градусов, является отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Но если в задаче следует найти стороны треугольника при известных катетах, то в действие вступает формула тангенса, при которой этот параметр равен соотношению противолежащего катета к прилежащему.

Формулы, по которым вычисляются стороны для прямоугольного треугольника не подходят для решения задач для обычного треугольника. А вот наоборот, все работает, только это приводит к лишним расчетам. При выполнении задания, следует быть очень внимательным, ведь в условии задачи может быть указан равнобедренный треугольник или равносторонний, что намного облегчит решение.

• Собираясь найти стороны треугольника, следует определить типы треугольников представленных в задаче. Второй шаг — это выявление известных параметров, полностью влияющих на выбор нужной формулы. Третий шаг — это поиск нужных величин, если в условии они отсутствуют, например, третий угол. Четвертый шаг — это самостоятельное распределение известных величин в теоремы синусов или косинусов.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c 1 , c 2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α , β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , ( H ):

6. Найти длину биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Как найти стороны прямоугольного треугольника? Основы геометрии

Катеты и гипотенуза – стороны прямоугольного треугольника. Первые – это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о . Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного треугольника (фигура известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется «египетским». Интересно то, что радиус окружности, которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н. э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

  • Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, – бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
  • При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. Площадь фигуры можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о , 45 о и 60 о .

  • При угле, который равен 30 о , следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
  • Если угол 45 о , значит, второй острый угол также 45 о . Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
  • Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о .

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

  1. через высоту и сторону, на которую она опускается;
  2. по формуле Герона;
  3. по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

  1. Теорема Пифагора. Ее суть заключается в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В евклидовой геометрии данное соотношение является ключевым. Использовать формулу можно, если дан треугольник, к примеру, SNH. SN – гипотенуза, и ее необходимо найти. Тогда SN 2 =NH 2 +HS 2 .
  2. Теорема косинусов. Обобщает теорему Пифагора: g 2 =f 2 +s 2 -2fs*cos угла между ними. Например, дан треугольник DOB. Известны катет DB и гипотенуза DO, необходимо найти OB. Тогда формула принимает данный вид: OB 2 =DB 2 +DO 2 -2DB*DO*cos угла D. Существует три следствия: угол треугольника будет остроугольным, если из суммы квадратов двух сторон вычесть квадрат длины третьей, полученный результат должен быть меньше нуля. Угол – тупоугольный, в том случае, если данное выражение больше нуля. Угол – прямой при равенстве нулю.
  3. Теорема синусов. Она показывает зависимость сторон к противолежащим углам. Иными словами, это отношение длин сторон к синусам противолежащих углов. В треугольнике HFB, где гипотенузой является HF, будет справедливо: HF/sin угла B=FB/sin угла H=HB/sin угла F.