Как решать систему уравнений методом подстановки?

Как решать систему уравнений методом подстановки?

Для решения системы уравнений методом подстановки нужно придерживаться простого алгоритма.

Допустим, имеется система уравнений

2x+5y=1 (1 уравнение)

x-10y=3 (2 уравнение)

а) Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.

(Поскольку во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.)

б) Подставляем. Подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.

в) Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )

Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.

Точки принято записывать в последовательности на первом месте переменную x, а на втором переменную y.

В одном из уравнений выражаешь одно неизвестное через другое, например, 3x-2y=9, x=(9+2y)/3.

Следующий шаг — подставляешь вместо x полученное выражение, например 5x + 3y = 34, 5* (9+2y)/3+3y=34 далее получаем: ( 45+10y)/3+3y=34, далее — 10y/3+3y=34-15, y*(10/3+3)=19, далее y = 19/(10+9)*3=3, тогда x=(9+2*3)/3=5

Алгебру я уже не помню. Не знаю почему я вообще задумалась над этим вопросом, но пошла штудировать интернет. Первые же сайты на мой запрос дали хорошие ответы, где все весьма просто объяснено, даже что-то вспомнила из школьной программы. И вот я их показываю в порядке от простого к сложному:

Решение системы уравнений методом подстановки

Решение неравенств (метод подстановки).

Курс высшей математики системы линейных уравнений

Для тех же кто до сих пор не понял как это все действует, я нашла очень интересный сайт с онлайн-калькулятором, где можно не только решить линейные уравнения, но и другие, например квадратные уравнения.

Метод подстановки для решения линейного уравнения несложен. Выражаем одно неизвестное число через действия с другим неизвестным, подставляем и решаем уже уравнение с одним x. Поясню на примере

Есть два уравнения: 3x+y=18 и 2x-y=7. Наш y показываем, выражаем через действия с x. Можно взять y=3x-18, а можно 2x-7. Подставим последнее вместо y.

3x+(2x-7)=18;5x= 25, x=5. А y мы уже выразили в удобной форме, подставляем y=25-7=3.

Не всегда бывает все так простенько. Если бы было 3x+2y=18 и 2x-2y=7, то выражать бы пришлось и расчитывать так: y=(3x-18)/2 или y=(2x-7)/2.

Но тут ничего фатального. 3x+2(2x-7)/2=18, 3x+2x-7=18. Как видим, то же самое. Если в ходе вычислений нет такого подарка, как умножение и деление на одно и тоже число, то от многоэтажности можно самим избавиться, умножив на то, что в знаменателе обе части уравнения.

Решение задач по математике онлайн

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Т. к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin y = 7—3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin 3x=33 \\ x-3y=38 \end \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Системы уравнений. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:

Методы решения систем уравнений:

1. Решение методом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Решение графическим методом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т. д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

3. Решение методом сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

Но ни в коем случае не наоборот:

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Система уравнений и методы ее решения

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т. д., пока не получим уравнение с одной переменной. После его решения и нахождения одной из переменных — последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно? Давай рассмотрим на примере

Пример 1.

Из второго уравнения очень просто выразить :

Теперь подставим то, что получилось вместо в первое уравнение:

Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

А теперь вернемся к выраженному и подставим в него полученное значение :

Ответ:

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде: . В случае трех неизвестных: , и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Ответ:

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

Ответы:

1) Здесь проще всего выразить из второго уравнения неравенства –

, а затем подставить в первое.

Ответ:

2) Выражаем из второго уравнения и подставляем в первое.

Ответ:

3) Здесь лучше выразить из первого уравнения:

, а затем уже подставлять во второе.

Ответ:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки. Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера. Для этого сперва выразим в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно ):

Видно, что графики пересекаются в точке с координатами .

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т. д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. То есть:

(но ни в коем случае не наоборот: )

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число :

Но раз , в правой части можем заменить на :

Пример 2

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

Вот как! просто уничтожился в результате сложения. Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо число :

Ответ:

Пример 3.

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом? Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла. Лучше всего умножить на :

Теперь можно складывать:

Теперь подставим в первое уравнение системы:

Ответ:

Теперь порешай сам (методом сложения):

Ответы:

1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными? Хм. Как из получить или из получить ? Умножать на дробное число? Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения! Например, первое на , второе на :

Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти .

Подставляем в любое из уравнений и находим .

Ответ: .

2. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на , а второе на , и сложить.

Ответ: .

3. Первое умножаем на , а второе на и складываем.

Ответ: .

4. Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на , а второе на :

Теперь сложим уравнения:

Подставив в первое уравнение, найдем :

Ответ:

Тренировка.

Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

Ответы:

Как видишь, система уравнений — базовая, но не самая сложная тема, используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

Комментарии

Помогите. Произошел сбой в системе мозга( Вы все хорошо разьясняете, но надо решить систему, где в уравнениях есть степени..и тут пошло(( первое уравнение системы: 5 в степени х минус 5 в степени у равно 100 второе уравнение системы: 5 в степени х-1 плюс 5 в степени у-1 равно 30 Если есть возможность, помогите подробно разобрать его..что бы не вызывались дальнейшие трудности

Решить подобную систему достаточно легко. Нужно преобразовать её в знакомый вид. Чтобы это сделать, для начала переделайте степени второго уравнения. 5^(x-1) +5^(y-1) = 30 5^x / 5 +5^y / 5 = 30 умножим уравнение на 5 5^x + 5^y = 150 переносим 5^y в правую часть. 5^x = 150 — 5^y Теперь подставляем получившееся уравнение в первое уравнение (обычный метод подстановки) 150 — 5^y — 5^y = 100 складываем подобные — 2* 5^y = — 50 делим на 2 — 5^y = — 25 5^y = 25 5^y = 5^2 y=2 Подставляем значение в любое из уравнений, которые были даны нам в начале 5^x — 5^y = 100 5^x — 5^2 = 100 5^x — 25 = 100 5^x = 125 5^x = 5^3 x=3 Ответ готов! Получилась пара чисел (3;2)

В методе подстановки вторая система уравнений решена неправильно. В данном случае ответом будет не целая пара чисел (3;-1), а обыкновенная дробь (64/21; -8/7)

Ответ ко второй системе уравнений в разделе метод сложения тоже неверный. Пара чисел (7;5) не является решением. Ответом будет (147/62; 72/31)

Полина, спасибо, обе ошибки исправили.

Объясните пожалуйста куда здесь девались (x-1) и (y-1)

Никита, уточни, пожалуйста, о каком примере идёт речь?

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail