Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной

26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь.

5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн.
Андроид iOS

− Учитель Думбадзе В. А.
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

Пусть SABC — данная пирамида с вершиной S, SH — ее высота, M — середина BC, CK — высота треугольника BSC. Угол SMH — угол между боковой гранью пирамиды и основанием.

Заметим, что Значит,

Так как CK высота треугольника SBC, а SAB равный ему, то и Искомый угол между боковыми гранями равен углу при вершине равнобедренного треугольника

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной

все рёбра правильной треугольной пирамиды равны между собой . найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Ololosha1337 16.02.2013

Ответы и объяснения

  • LFP
  • главный мозг

угол между боковой гранью и основанием===угол между высотой боковой грани и высотой основания

и основание пирамиды и боковая грань—правильные треугольники, высота является и медианой

ребро пирамиды обозначим х

из прямоуг. треуг. в основании: x^2 = (x/2)^2 + (высота_основания)^2

(высота_основания)^2 = 3*x^2 / 4

высота основания=высоте боковой грани

по т. косинусов из треугольника со сторонами высота боковой грани—высота основания—ребро пирамиды:

x^2 = 2*(3*x^2 / 4) — 2*3*x^2 / 4 * cosA = 3*x^2 / 2 * (1-cosA)

Задача. Найти угол между боковой гранью и основанием пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в два раза больше площади основания. Найти угол между боковой поверхностью и основанием.

Как я понимаю, нас интересует угол SB1O. Равен он 60 градусам. Теперь покажем, как это появляется. Пусть сторона основания AB=x, высота боковой грани SB1=y, а высота пирамиды SO=h.

Площадь основания пирамиды S1=(Sqrt(3)/4)x^2, площадь боковой грани S2=0,5xy, площадь боковой поверхности S3=3S2=(3/2)xy.

По условиям задачи S3=2S1 -> (3/2)xy=2(Sqrt(3)/4)x^2 -> y=x/Sqrt(3)

Косинус искомого угла a=OB1/SB1=(0,5xtg(30g))/y=(0,5x(1/Sqrt(3))/x(1/Sqrt(3)), т. е. косинус равен 1/2, а это соответствует углу 60 градусов.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в два раза больше площади основания. Найти угол между боковой поверхностью и основанием.

Боковая поверхность — 3ASC

Угол между боковой поверхностью и основанием — B1B

Подставляем две последние формулы в первую, получаем

Точка O — пересечение медиан треугольника ABC, значит BB1= 3OB1

Треугольник SOB1 прямоугольный с прямым углом SOB1, т. к SO является высотой пирамиды.

cos угла OB1S = OB1/SB1=1/2

Отсюда угол OB1S=60 грудусов, т. к. 1/2 это cos угла 60 градусов

Можно обойтись без синусов и косинусов.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей трех равнобедренных треугольников (например SAC), а площадь основания это площадь треугольника АВС. Поэтому 3*S(SAC) = 2*S (ABC). Это значит, что S(SAC) = 2/3*S (ABC), а значит и высота SВ1 = 2/3 ВВ1. Основание пирамиды равносторонний треугольник АВС, у которого высоты в точке пересечения делятся в отношении 2:1, то есть ОВ1 = 1/3 ВВ1. Соответственно в прямоугольном треугольнике OSB1 катет OB1 = 1/2 SB1 (гипотенузы). По известной теореме угол OSB1 = 30 градусов, тогда искомый угол ОВ1S hfdty 60 uhflecfv/