Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка

Здесь – некоторые константы.

Решение дифференциальные уравнения второго порядка

Решение уравнения (2) ищется в виде:

После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).

В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:

1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

Примеры решения задач

Его корни (их можно найти, например, либо с использованием дискриминанта, либо по теореме Виета). Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны, то решение заданного однородного дифференциального уравнения второго порядка запишется в виде:

Решая его, получаем, что , то есть корни характеристического уравнения действительны и равны друг другу. Тогда искомое решение принимает вид:

Значение констант и из заданных начальных условий :

Из второго условия получим:

Итак, получаем, что корнями характеристического многочлена являются комплексно сопряженные числа, для которых . Тогда искомое решение

К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных или метод Лагранжа

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:

То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:

Искомые функции и находятся из системы

Определитель этой системы

называется определителем Вронского.

Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:

Интегрируя последние равенства, получаем:

Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:

или, после упрощения

Его характеристическое уравнение имеет вид:

Его корни . То есть в данном случае корни комплексные и для них . Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:

Варьируем произвольные постоянные: . То есть решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будем искать в виде:

Для нахождения функций и составляем следующую систему уравнений:

Из первого уравнения получаем, что

Подставляя во второе уравнение системы, будем иметь:

Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции . Интегрируем левую и правую части последнего равенства. В результате будем иметь:

Найдем теперь функцию . Поскольку

Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):

то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.

1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:

Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).

Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка?

Данная статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков. Как я уже отмечал, для того чтобы научиться решать неоднородные уравнения вида , необходимо уверенно щёлкать более простые однородные диффуры вида . Впрочем, они доступны даже для школьника, поскольку для решения однородного уравнения требуется лишь правильно решить обычное квадратное уравнение, которое проходят, вроде, в 8 классе. Предполагаю, что вы уверенно расправляетесь с однородными уравнениями, если это не так, пожалуйста, посетите предыдущий урок.

Неоднородные уравнения – это просто!

А самых прилежных читателей в конце урока ждёт морковка подарок от Дедушки Мороза!

Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида ?

Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Да-да, взять уравнение , откинуть правую часть: – и найти общее решение. Данная задача подробно разобрана на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой .

2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

Внимание! Для освоения метода подбора будет жизненно необходим методический материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Данную справку лучше по возможности распечатать, очень удобно, если она будет перед глазами. Но не спешите вникать в эти таблицы, если являетесь чайником! Всему свое время.

3) На третьем этапе надо составить общее решение неоднородного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно – следует просто приплюсовать завоёванные трофеи.

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:

4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Порядок нахождения частного решение для уравнения второго порядка уже немного рассмотрен на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. В случае с неоднородным диффуром принципы нахождения частного решения сохраняются.

Примечание: В ваших лекциях, практических занятиях общее решение однородного уравнения и подобранное частное решение неоднородного уравнения , скорее всего, обозначаются не так. Я «намертво» привык к обозначениям , и буду использовать именно их.

Не так всё страшно, переходим к практическим задачам.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения

И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение ?

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычным, обыкновенным или штатным случаем.

После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры №№1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:

После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает.

Найдём первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Раскрываем скобки.
(2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ.

Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.

В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.

Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной.

Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто.
Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно.

Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Будьте внимательны, пример «с подвохом»!

А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение:
– Смотрим на правую часть и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения .
– Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять).
– Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение .

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ?

Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде

Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора необходимо домножить на «икс». То есть, частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:
, где – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.

После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные, в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные.

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения:

Что сделано? Подстановка, упрощение, сокращение, и в конце – приравнивание к исходной правой части .

Здесь повезло: из последнего равенства автоматически получаем .
Найденное значение подставляем в наш исходный подбор .

Таким образом, частное решение:

3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение .

Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью.

Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:

Для закрепления материала пара примеров для самостоятельного решения:

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Полные решения и ответы в конце урока.

Коши шепчет, что пора рассмотреть его задачу.

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .

Далее смотрим на корни характеристического уравнения: – действительные кратные корни. Изучая Раздел III, примеры 24-26 справочных материалов, приходим к выводу, что «очевидное» частное решение необходимо домножить на , то есть, частное решение следует искать в виде:

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:

Из последнего равенства следует:

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,

Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Повторим.

Сначала берём найденное общее решение и применяем к нему первое начальное условие :

Далее находим производную от общего решения:
и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :

Составим и решим систему:

Подставим найденные значения констант , в общее решение

Ответ: частное решение:

Выполним полную проверку:

Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие :
– да, начальное условие выполнено.

Находим производную от ответа:

Берём вторую производную:

Подставим найденное частное решение и его производные , в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, значит, задание выполнено правильно.

Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий.

Что важно? Важно уметь хорошо дифференцировать и быть внимательным.

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Выполнить полную проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров, что-то синусов с косинусами маловато было.

Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:
(при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).

Выясним, чему равны коэффициенты .

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Из последнего равенства составим и решим систему:

Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.

Таким образом, подобранное частное решение: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Найти общее решение неоднородного уравнения

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.

В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.

На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Поэтому предлагаю для самостоятельного решения еще несколько уравнений, которые показались мне интересными, но не вошли в «основную сетку» урока.

Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.

Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти общее решение неоднородного уравнения

Должен сказать, что примеры №№13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!

Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!!

К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.

Как быть, если в правой части находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.

Вот это подарки, так подарки =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

, – различные действительные корни, один из которых равен нулю, поэтому общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (см. Раздел II Справки. ).
Найдем первую и вторую производную:

Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:

Таким образом:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Быстрая проверка: очевидно, что корни характеристического уравнения найдены правильно, поэтому с первой частью ответа всё хорошо. Проверим, правильно ли найдено частное решение . Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть исходного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение тоже найдено правильно

Пример 4: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел IV справки).

Подставим , , в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом, частное решение:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 5: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел V справки).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Запишем общее решение:

Ответ: общее решение:

Пример 7: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– кратные действительные корни
Общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

В ходе решения данной системы использован метод почленного сложения уравнений системы, освежить материал можно на странице Как решить систему линейных уравнений?

3) Общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Проверка: я пару лет назад уже выполнил полную проверку на черновике =) Как дела у вас?

Пример 9: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (Смотрим Раздел V справочного материала).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

Кстати, почему ? Потому что в правой части отсутствует синус, формально правую часть можно было записать так:
Таким образом: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 10:
Ответ: общее решение:

Пример 11:
Ответ: общее решение:

Пример 12:
Ответ: частное решение:

Пример 13:
Ответ: частное решение:

Пример 14:
Ответ: общее решение:

Пример 15:
Ответ: общее решение:

Дифференциальные уравнения второго порядка примеры решений

Вид общего решения

Корни и действительные и различные

действительные и одинаковые

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни , действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид , где – частное решение этого уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения .

Вид частного решения неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :

, где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

, где – число, показывающее, сколько раз = является корнем характеристического уравнения.

, где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .

где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Найти общее решение .

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде , где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

2. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число, показывающее, сколько раз является корнем характеристического уравнения.

Найти общее решение .

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть или .

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

3. Пусть правая часть имеет вид , где и – данные числа. Тогда частное решение можно искать в виде , где и – неизвестные коэффициенты, а – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции входит хотя бы одна из функций или , то в надо всегда вводитьобе функции.

Найти общее решение .

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде

, где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды , получим и . Подставляя , и в исходное уравнение, находим

Приводя подобные слагаемые, получим

Приравниваем коэффициенты при и в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему . Решая ее, находим , .

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .