Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Эта статья создана, чтобы ответить на вопрос «как решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X .

Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, .

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x) , стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x) , то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Qn(x) – многочлен степени n , а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как — частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Qn(x) , находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

Решите задачу Коши , .

Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям .

Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть, .

Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.

Найдем . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.

Корни действительные и различные, поэтому, .

Переходим к . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение ищем в виде , где А , В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x , приходим к системе линейных уравнений . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты . Следовательно, и .

Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . То есть, требуется определить такие C1 и C2 в равенстве , чтобы выполнялись условия .

С другой стороны .

Таким образом, получаем систему уравнений . Откуда .

Следовательно, решением задачи Коши является функция

Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Qn(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Qn(x) определяются из равенства .

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение имеет вид .

Нашему уравнению соответствует ЛОДУ . В предыдущем примере мы выяснили, что корнями его характеристического уравнения являются k1 = 0 и k2 = 2 и .

Так как правая часть исходного уравнения представляет собой произведение , то частное решение ЛНДУ ищем в виде , причем Qn(x) – многочлен второй степени, и r=0 , так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице. Поэтому , где А , В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x , получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А , В и С .

Следовательно, — частное решение исходного ЛНДУ и — общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если функция f(x) имеет вид , где А1 и В1 – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:

Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому, .

Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а , то будем искать в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства .

Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах:

Следовательно, и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , Pn(x) , Qk(x) , Lm(x) и Nm(x) — многочлены степени n , k , m и m соответственно, m = max(n, k) . Коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) находятся из равенства .

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

В нашем случае . Следовательно, m=max(n, k)=1 .

Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:

Корни действительные и различные, поэтому, .

Теперь ищем общее решение исходного неоднородного уравнения в виде

Коэффициенты А , В , С и D найдем из равенства .

После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем

Приравниваем соответствующие коэффициенты (в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам) и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом:

Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

  • находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2 , где y1 и y2 — линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные;
  • варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2 ;
  • производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.

Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и решаем его:

Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде .

Определим производные функций C1(x) и C2(x) из системы уравнений:

Решаем систему относительно неизвестных и любым способом. Ее решениями являются

Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы неоднородных ДУ второго порядка

где p и q – произвольные действительные числа, а правая часть – непрерывна функция на интервале интегрирования X.

и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения (1), то есть

Методы нахождения частного решения неоднородных ДУ второго порядка

Существует несколько методов нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (1). Эти методы выбираются в зависимости от вида правой части – функции .

1) Если функция представляет собой многочлен n-ой степени

то частное решение уравнения (1) ищется в виде

Здесь – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами (которые подлежат определению), а s – кратность корня характеристического уравнения однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных нулю).

Так как – частное решение уравнения (1), то коэффициенты, определяющие многочлен , можно найти методом неопределенных коэффициентов из равенства

использовав тот факт, что два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

Получили различные действительные корни, а поэтому искомое решение

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Поскольку права часть исходного уравнения представляет собой многочлен второй степени и один из корней характеристического уравнения равен нулю ( , значит, показатель степени s – кратность корня – равен единице), то частное решение

где коэффициенты неизвестны. Для их определения подставим эту функцию в заданное неоднородное дифференциальное уравнение:

А тогда искомое частное решение

Таким образом, общее решение заданного дифференциального уравнения

2) Если функция , стоящая в правой части уравнения (1), имеет вид

то есть представляет собой произведение многочлена степени n и экспоненты, то частное решение этого уравнения ищется в виде

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а s – кратность корня в характеристическом уравнении соответствующего однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных a). Коэффициенты многочлена определяются подстановкой частного решения в исходное уравнение (так как является решением, то оно должно удовлетворять уравнению). Таким образом, должно выполняться равенство (3).

А тогда общее решение однородного уравнения

Поскольку правая часть – функция – исходного неоднородного уравнения представляет собой произведение многочлена второй степени на экспоненту, то частное решение ищем в виде

В данном случае , так как среди корней характеристического уравнения однородного уравнения нет .

Подставляем это выражение в исходное дифференциальное уравнение:

Делим на 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»13″ width=»52″ style=»vertical-align: 0px;»/> и приравниваем коэффициенты при одинаковых показателях степени независимой переменной x. В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов и C:

Следовательно, искомое частное решение

А тогда общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка

Здесь – некоторые константы.

Решение дифференциальные уравнения второго порядка

Решение уравнения (2) ищется в виде:

После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).

В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:

1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

Примеры решения задач

Его корни (их можно найти, например, либо с использованием дискриминанта, либо по теореме Виета). Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны, то решение заданного однородного дифференциального уравнения второго порядка запишется в виде:

Решая его, получаем, что , то есть корни характеристического уравнения действительны и равны друг другу. Тогда искомое решение принимает вид:

Значение констант и из заданных начальных условий :

Из второго условия получим:

Итак, получаем, что корнями характеристического многочлена являются комплексно сопряженные числа, для которых . Тогда искомое решение

К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных или метод Лагранжа

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:

То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:

Искомые функции и находятся из системы

Определитель этой системы

называется определителем Вронского.

Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:

Интегрируя последние равенства, получаем:

Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:

или, после упрощения

Его характеристическое уравнение имеет вид:

Его корни . То есть в данном случае корни комплексные и для них . Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:

Варьируем произвольные постоянные: . То есть решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будем искать в виде:

Для нахождения функций и составляем следующую систему уравнений:

Из первого уравнения получаем, что

Подставляя во второе уравнение системы, будем иметь:

Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции . Интегрируем левую и правую части последнего равенства. В результате будем иметь:

Найдем теперь функцию . Поскольку

Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):

то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.

1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:

Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).