Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Эта статья создана, чтобы ответить на вопрос «как решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X .

Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, .

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x) , стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x) , то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Qn(x) – многочлен степени n , а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как — частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Qn(x) , находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

Решите задачу Коши , .

Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям .

Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть, .

Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.

Найдем . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.

Корни действительные и различные, поэтому, .

Переходим к . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение ищем в виде , где А , В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x , приходим к системе линейных уравнений . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты . Следовательно, и .

Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . То есть, требуется определить такие C1 и C2 в равенстве , чтобы выполнялись условия .

С другой стороны .

Таким образом, получаем систему уравнений . Откуда .

Следовательно, решением задачи Коши является функция

Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Qn(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Qn(x) определяются из равенства .

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение имеет вид .

Нашему уравнению соответствует ЛОДУ . В предыдущем примере мы выяснили, что корнями его характеристического уравнения являются k1 = 0 и k2 = 2 и .

Так как правая часть исходного уравнения представляет собой произведение , то частное решение ЛНДУ ищем в виде , причем Qn(x) – многочлен второй степени, и r=0 , так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице. Поэтому , где А , В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x , получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А , В и С .

Следовательно, — частное решение исходного ЛНДУ и — общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если функция f(x) имеет вид , где А1 и В1 – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:

Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому, .

Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а , то будем искать в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства .

Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах:

Следовательно, и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , Pn(x) , Qk(x) , Lm(x) и Nm(x) — многочлены степени n , k , m и m соответственно, m = max(n, k) . Коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) находятся из равенства .

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

В нашем случае . Следовательно, m=max(n, k)=1 .

Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:

Корни действительные и различные, поэтому, .

Теперь ищем общее решение исходного неоднородного уравнения в виде

Коэффициенты А , В , С и D найдем из равенства .

После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем

Приравниваем соответствующие коэффициенты (в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам) и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом:

Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

  • находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2 , где y1 и y2 — линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные;
  • варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2 ;
  • производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.

Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и решаем его:

Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде .

Определим производные функций C1(x) и C2(x) из системы уравнений:

Решаем систему относительно неизвестных и любым способом. Ее решениями являются

Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка?

Данная статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков. Как я уже отмечал, для того чтобы научиться решать неоднородные уравнения вида , необходимо уверенно щёлкать более простые однородные диффуры вида . Впрочем, они доступны даже для школьника, поскольку для решения однородного уравнения требуется лишь правильно решить обычное квадратное уравнение, которое проходят, вроде, в 8 классе. Предполагаю, что вы уверенно расправляетесь с однородными уравнениями, если это не так, пожалуйста, посетите предыдущий урок.

Неоднородные уравнения – это просто!

А самых прилежных читателей в конце урока ждёт морковка подарок от Дедушки Мороза!

Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида ?

Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Да-да, взять уравнение , откинуть правую часть: – и найти общее решение. Данная задача подробно разобрана на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой .

2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

Внимание! Для освоения метода подбора будет жизненно необходим методический материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Данную справку лучше по возможности распечатать, очень удобно, если она будет перед глазами. Но не спешите вникать в эти таблицы, если являетесь чайником! Всему свое время.

3) На третьем этапе надо составить общее решение неоднородного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно – следует просто приплюсовать завоёванные трофеи.

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:

4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Порядок нахождения частного решение для уравнения второго порядка уже немного рассмотрен на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. В случае с неоднородным диффуром принципы нахождения частного решения сохраняются.

Примечание: В ваших лекциях, практических занятиях общее решение однородного уравнения и подобранное частное решение неоднородного уравнения , скорее всего, обозначаются не так. Я «намертво» привык к обозначениям , и буду использовать именно их.

Не так всё страшно, переходим к практическим задачам.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения

И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение ?

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычным, обыкновенным или штатным случаем.

После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры №№1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:

После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает.

Найдём первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Раскрываем скобки.
(2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ.

Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.

В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.

Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной.

Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто.
Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно.

Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Будьте внимательны, пример «с подвохом»!

А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение:
– Смотрим на правую часть и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения .
– Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять).
– Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение .

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ?

Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде

Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора необходимо домножить на «икс». То есть, частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:
, где – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.

После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные, в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные.

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения:

Что сделано? Подстановка, упрощение, сокращение, и в конце – приравнивание к исходной правой части .

Здесь повезло: из последнего равенства автоматически получаем .
Найденное значение подставляем в наш исходный подбор .

Таким образом, частное решение:

3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение .

Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью.

Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:

Для закрепления материала пара примеров для самостоятельного решения:

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Полные решения и ответы в конце урока.

Коши шепчет, что пора рассмотреть его задачу.

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .

Далее смотрим на корни характеристического уравнения: – действительные кратные корни. Изучая Раздел III, примеры 24-26 справочных материалов, приходим к выводу, что «очевидное» частное решение необходимо домножить на , то есть, частное решение следует искать в виде:

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:

Из последнего равенства следует:

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,

Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Повторим.

Сначала берём найденное общее решение и применяем к нему первое начальное условие :

Далее находим производную от общего решения:
и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :

Составим и решим систему:

Подставим найденные значения констант , в общее решение

Ответ: частное решение:

Выполним полную проверку:

Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие :
– да, начальное условие выполнено.

Находим производную от ответа:

Берём вторую производную:

Подставим найденное частное решение и его производные , в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, значит, задание выполнено правильно.

Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий.

Что важно? Важно уметь хорошо дифференцировать и быть внимательным.

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Выполнить полную проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров, что-то синусов с косинусами маловато было.

Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:
(при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).

Выясним, чему равны коэффициенты .

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Из последнего равенства составим и решим систему:

Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.

Таким образом, подобранное частное решение: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Найти общее решение неоднородного уравнения

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.

В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.

На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Поэтому предлагаю для самостоятельного решения еще несколько уравнений, которые показались мне интересными, но не вошли в «основную сетку» урока.

Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.

Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти общее решение неоднородного уравнения

Должен сказать, что примеры №№13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!

Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!!

К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.

Как быть, если в правой части находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.

Вот это подарки, так подарки =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

, – различные действительные корни, один из которых равен нулю, поэтому общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (см. Раздел II Справки. ).
Найдем первую и вторую производную:

Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:

Таким образом:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Быстрая проверка: очевидно, что корни характеристического уравнения найдены правильно, поэтому с первой частью ответа всё хорошо. Проверим, правильно ли найдено частное решение . Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть исходного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение тоже найдено правильно

Пример 4: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел IV справки).

Подставим , , в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом, частное решение:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 5: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел V справки).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Запишем общее решение:

Ответ: общее решение:

Пример 7: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– кратные действительные корни
Общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

В ходе решения данной системы использован метод почленного сложения уравнений системы, освежить материал можно на странице Как решить систему линейных уравнений?

3) Общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Проверка: я пару лет назад уже выполнил полную проверку на черновике =) Как дела у вас?

Пример 9: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (Смотрим Раздел V справочного материала).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

Кстати, почему ? Потому что в правой части отсутствует синус, формально правую часть можно было записать так:
Таким образом: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 10:
Ответ: общее решение:

Пример 11:
Ответ: общее решение:

Пример 12:
Ответ: частное решение:

Пример 13:
Ответ: частное решение:

Пример 14:
Ответ: общее решение:

Пример 15:
Ответ: общее решение:

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы неоднородных ДУ второго порядка

где p и q – произвольные действительные числа, а правая часть – непрерывна функция на интервале интегрирования X.

и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения (1), то есть

Методы нахождения частного решения неоднородных ДУ второго порядка

Существует несколько методов нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (1). Эти методы выбираются в зависимости от вида правой части – функции .

1) Если функция представляет собой многочлен n-ой степени

то частное решение уравнения (1) ищется в виде

Здесь – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами (которые подлежат определению), а s – кратность корня характеристического уравнения однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных нулю).

Так как – частное решение уравнения (1), то коэффициенты, определяющие многочлен , можно найти методом неопределенных коэффициентов из равенства

использовав тот факт, что два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

Получили различные действительные корни, а поэтому искомое решение

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Поскольку права часть исходного уравнения представляет собой многочлен второй степени и один из корней характеристического уравнения равен нулю ( , значит, показатель степени s – кратность корня – равен единице), то частное решение

где коэффициенты неизвестны. Для их определения подставим эту функцию в заданное неоднородное дифференциальное уравнение:

А тогда искомое частное решение

Таким образом, общее решение заданного дифференциального уравнения

2) Если функция , стоящая в правой части уравнения (1), имеет вид

то есть представляет собой произведение многочлена степени n и экспоненты, то частное решение этого уравнения ищется в виде

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а s – кратность корня в характеристическом уравнении соответствующего однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных a). Коэффициенты многочлена определяются подстановкой частного решения в исходное уравнение (так как является решением, то оно должно удовлетворять уравнению). Таким образом, должно выполняться равенство (3).

А тогда общее решение однородного уравнения

Поскольку правая часть – функция – исходного неоднородного уравнения представляет собой произведение многочлена второй степени на экспоненту, то частное решение ищем в виде

В данном случае , так как среди корней характеристического уравнения однородного уравнения нет .

Подставляем это выражение в исходное дифференциальное уравнение:

Делим на 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»13″ width=»52″ style=»vertical-align: 0px;»/> и приравниваем коэффициенты при одинаковых показателях степени независимой переменной x. В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов и C:

Следовательно, искомое частное решение

А тогда общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения