Медиана треугольника равна половине стороны

Докажем, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, то этот треугольник — прямоугольный.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90º.

1) Так как CO — медиана треугольника ABC и CO=1/2 AB (по условию), то CO=AO=BO.

Поэтому, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC,

треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по определению равнобедренного треугольника).

2) Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны,

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике AOC

Докажите, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90 градусов. СРОЧНО

Ответ оставил Гуру

Треугольник ABC, AC — основание, BH — медиана, она делит AC пополам. Получается, что BH = AH = HC. Рассмотрим треугольник BAH. Т. к. BH = AH, то этот треугольник равнобедренный, поэтому угол BAH = углу ABH. Теперь рассмотрим треугольник BHC. BH = HC => треугольник равнобедренный => угол BCH = углу HBC. Рассмотрим наш угол ABC. Он состоит из углов ABH и HBC, т. е. угол ABC равен сумме углов при основании. А такое возможно только в прямоугольном треугольнике.

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Геометрия.

Медиана. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Медиана делит сторону пополам.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

3. Три медианы треугольника

4. Формула длины медианы

5. Медиана в прямоугольном треугольнике

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Отметь на какой-нибудь его стороне середину .

И соедини с противоположной вершиной!

Получившаяся линия и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Свойства медианы.

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Почему. При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на . прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник .

Ты заметил, что наш треугольник – ровно половина этого прямоугольника?

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб. »)
Но одна из диагоналей – – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы . Она называлась у нас .

Значит, половина второй диагонали – наша медиана . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:
В стороны ; . Из вершины проведена медиана . Найти , если .

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Сложно? Смотри на рисунок:

И….( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

  • – вдвое больше, чем ;
  • – вдвое больше, чем ;
  • – вдвое больше, чем .

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача: В треугольнике проведены медианы и , которые пересекаются в точке . Найти , если

Найдём по теореме Пифагора:

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим . Отрезок , а . Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что .

В задаче нас спрашивают об отрезке .

В наших обозначениях .

Ответ: .

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

1. Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана разделила на два треугольника: и . Но! Высота-то у них одна и та же – ! Только в эта высота опускается на сторону , а в – на продолжение стороны . Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу .

Запишем ещё раз:

Но ! (Посмотри на рисунок или вспомни, что – медиана).

Значит, — площадь разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно — всего-то одна формула площади.

3. Три медианы треугольника

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении , считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Соединим точки и . Что получилось?

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину – поставим точку , отметим середину — поставим точку .

Теперь – средняя линия . То есть

Заметил совпадения? И , и – параллельны . И , и .

Что из этого следует?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

  1. (мы так выбирали точку )
  2. (из-за того, что – параллелограмм)

То есть — медиана разделена точками и на три равные части. И точно так же .

Значит, точкой обе медианы разделились именно в отношении , то есть и .

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану и проведем медианы и .

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан и . Что тогда?

Получится, что медиана разделит медиану абсолютно точно так же: в отношении , считая от точки .

Но сколько же может быть точек на отрезке , которые делят его в отношении , считая от точки ?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка .

Что же получилось в итоге?

Медиана точно прошла через ! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении , считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство – смотри следующий уровень).

5. Медиана в прямоугольном треугольнике.

Теорема:

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник .

Ты заметил, что наш треугольник – ровно половина этого прямоугольника?

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, . »)
Но одна из диагоналей – – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы . Она называлась у нас .

Значит, половина второй диагонали – наша медиана . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

В стороны ; . Из вершины проведена медиана . Найти , если .

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Комментарии

Очень полезно! Теперь я понял, как доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой же гипотенузы. Спасибо за объяснение, оно очень подробное и легкое!

Молодец, Бакыт! Умение доказывать — это очень важный навык, ключевой. Спасибо и тебе за отзыв!

Спасибо вам большое, раньше не хотел учить, но теперь понял что пригодиться. Вернул утраченные знания!

Пожалуйста, Алмаз! Лучше поздно, чем никогда. Мы рады, что наш сайт помог восстановить знания! Так держать! 🙂

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail