Медиана в равнобедренном треугольнике

Определение и формулы медианы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.

Для медиан равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Медиана разбивает равнобедренный треугольник на два треугольника с одинаковой площадью.
  • Весь равнобедренный треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих (т. е. с одинаковой площадью) треугольников.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, вычисляется по формуле:

где – основание равнобедренного треугольника, – боковые стороны треугольника.

Медиана в равнобедренном треугольнике свойства

Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство. Пусть ABC — данный равнобедренный треугольник с основанием АВ и CD — медиана, проведенная к основанию (рис. 53).

Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, потому что D — середина отрезка АВ.)

Из равенства треугольников следует равенство углов: ACD= BCD, ADC= BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD — высота треугольника. Теорема доказана.

Задача (28). Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

Решение. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АВ к CD — его биссектриса (рис. 54). Треугольники ACD и BCD равны по первому признаку. У них сторона CD общая, стороны АС. и ВС равны как боковые стороны равнобедренного треугольника, а углы при вершине С равны, потому что CD — биссектриса. Из равенства треугольников следует равенство их сторон AD и BD. Значит, CD — медиана треугольника АВС. А по свойству медианы равнобедренного треугольника она является и высотой.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию

Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника)

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и высотой.

Доказать: CF — биссектриса и высота.

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника ))

2) AF=BF (так как CF — медиана по условию)

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов.

2) ∠ AFC= ∠ BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: ∠ AFC= ∠ BFC=90º.