На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе

Тангенс угла при основании равен \(tg\alpha=4/4=1.\)

Тогда медиана равна \(m=tg\alpha*=1*4.5=4.5.\) Основание треугольника обозначили через \(a.\)

Найдите длину его медианы проведенной к гипотенузе

26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь.

5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн.
Андроид iOS

− Учитель Думбадзе В. А.
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

Найдите тан­генс угла .

проведем вы­со­ту из точки на сто­ро­ну . Тогда, при­ни­мая во внимание, что , получим:

Найдите тан­генс угла .

проведем вы­со­ту из точки на про­дол­же­ние стороны . Тогда:

Найдите тан­генс угла .

Достроим угол до тре­уголь­ни­ка , . делит ос­но­ва­ние пополам, значит, – высота. Из ри­сун­ка находим .

Можно за­ме­тить и доказать, что рав­но­бед­рен­ный треугольник ABO яв­ля­ет­ся прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тан­ген­сы равны 1.

Найдите бис­сек­три­су треугольника , про­ве­ден­ную из вер­ши­ны , если сто­ро­ны квадратных кле­ток равны 1.

по ри­сун­ку видно, что , значит, биссектриса, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны , также будет де­лить основание пополам. По­стро­им отрезок . Видно, что он равен 4.

Найдите ме­ди­а­ну треугольника , про­ве­ден­ную из вер­ши­ны , если сто­ро­ны квадратных кле­ток равны 1.

ме­ди­а­на проведенная из вер­ши­ны , будет де­лить основание пополам. По­стро­им отрезок . Видно, что он равен 3.

Найдите вы­со­ту па­рал­ле­ло­грам­ма , опу­щен­ную на сто­ро­ну , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

про­ве­дем вы­со­ту из вер­ши­ны . По ри­сун­ку на­хо­дим ее высоту.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 от­ме­че­ны точки A и B. Най­ди­те длину от­рез­ка AB.

Расстояние между точ­ка­ми A и B равно длине ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка ABC, ка­те­ты ко­то­ро­го равны 15 и 8. По­это­му ис­ко­мая длина AB равна 17.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изображён угол. Най­ди­те его гра­дус­ную величину.

Изображённый на ри­сун­ке угол равен сумме пря­мо­го угла и угла 45°, по­это­му он равен 135°.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не AB.

Средняя линия тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не той стороны, ко­то­рой она параллельна. Длина сто­ро­ны АВ равна 4, по­это­му ис­ко­мая длина сред­ней линии равна 2.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AB.

Формулировка за­да­ния некорректна: на сто­ро­ну АВ вы­со­ту опу­стить нельзя. Из точки С можно опу­стить пер­пен­ди­ку­ляр к прямой, со­дер­жа­щей сто­ро­ну АВ. Этот пер­пен­ди­ку­ляр будет яв­лять­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка АВС, его длина равна 3.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те длину его медианы, проведённой к гипотенузе.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. По­это­му она равна 4,5.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 от­ме­че­ны точки A, B и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой BC.

Расстояние от точки до пря­мой равно длине перпендикуляра, опу­щен­но­го из этой точки на дан­ную прямую. Тем самым, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно 4.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те ра­ди­ус опи­са­ной около него окруж­но­сти.

Изображенная на ри­сун­ке окруж­ность впи­са­на в квад­рат со сто­ро­ной 5, по­это­му ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен 2,5. Но причём тут впи­сан­ный треугольник?

Найдите пло­щадь ромба, изображённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сантиметрах.

Площадь четырёхугольника равна раз­но­сти площади боль­шо­го квадрата, двух ма­лень­ких квадратов и четырёх пря­мо­уголь­ных треугольников, ги­по­те­ну­зы которых яв­ля­ют­ся сторонами ис­ход­но­го треугольника. По­это­му

Наш четырёхугольник — ромб, его пло­щадь равна по­ло­ви­не произведения диагоналей. Диа­го­на­ли ромба можно найти по тео­ре­ме Пифагора, они равны и По­это­му площадь равна 32.

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:

Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.

Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:

1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)

2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.

Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.

10 Comments

Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.

Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.

не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
=36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144

попробуйте составить уравнение, обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень, но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
BC^2=11x
X^2+11X=144
X^2=12
x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора

Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))

А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?

Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов, медиана ВВ1 равна 10 см. Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т. Пифагора.

1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
Где-то так.