На рисунке изображен график функции определенной на интервале

Задание 7. На рисунке изображён график функции у = f(x), определённой на интервале (-7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Положительный знак производной означает, что в точке взятия производной функция возрастает. Проанализируем график, представленный на рисунки из которого следует, что производная будет положительная в целых точках: , т. е. в 8 точках.

На рисунке изображен график функции определенной на интервале

Задание 8 (Пробник — 2015, профильный уровень)

На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) перпендикулярна прямой y = -2x-11.

Пусть уравнение касательной к графику функции f(x) имеет вид : y = kx+b.

Если эта касательная перпендикулярна прямой y = -2x-11, то k = -1/-2 = 1/2.

Найдем на графике производной f'(x), в скольких точках, производная функции равна 1/2:

Получаем на интервале (-10;2) всего 3 точки. Значит, на данном интервале касательная к графику функции f(x) перпендикулярна прямой y = -2x-11 в 3 точках.

Задание 8 (Подготовка к ЕГЭ — 2015, профильный уровень, типовые варианты)

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке \(x_0\). Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции \(y = 4 f(x)-3\) в точке \(x_0\).

Найдем производную функции \(y = 4 f(x)-3\)в точке \(x_0\):

Так как уравнение касательной к функции f(x) в точке \(x_0\) имеет вид: y = -3/4x+6,5, то \(f'(x_0) = -3/4\).

Тогда искомая производная равна:

Задание 8 (Подготовка к ЕГЭ — 2015, профильный уровень, типовые варианты)

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-3;10). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции равна 0 в точках экстремума этой функции, т. е. нужно посчитать количество «бугорков» на заданном интервале.

Получаем всего 10 точек.

Задание 8 (Подготовка к ЕГЭ — 2015, профильный уровень, типовые варианты))

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-1;13). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции равна 0 в точках экстремума этой функции, т. е. нужно посчитать количество «бугорков» на заданном интервале.

Задания №7. Применение производной к исследованию функции

Часть 3.

Здесь смотрите части 1, 2, 4

Продолжаем разбор Задач №8 ЕГЭ по математике .

Сегодня нам понадобится при решении задач следующая таблица, показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

На рисунке выделены цветом области убывания функции :

В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках . Таких точек 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции имеет знак плюс.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.

Длина наибольшего из них – 6.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .

Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .

Это означает убывание функции на отрезке .

А значит, наибольшее значение функция принимает в начале отрезка, то есть в точке .

На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

На рисунке изображен график производной, значит нас на этом рисунке будут интересовать только знаки и нули производной.

Мы видим на рисунке на указанном отрезке ( ) три нуля у . Причем, производная мняет знак при переходе через них. Это точки экстремума функции (точки максимума и минимума).

При этом производная меняет знак с «+» на «-» в точке 8, помеченной красным цветом, и с «-» на «+» в двух точках (3 и 12), помеченных синим цветом.

Так вот при переходе через точку максимума функция меняет возрастание на убывание, а значит производная меняет знак с «+» на «-».

Итак, точка максимума одна (помечена красным цветом).

На рисунке изображен график функции и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. В свою очередь, угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси .

В точке -3 (точка минимума) производная равна нулю.

В точке 6 производная положительна, так как точки лежат на промежутке возрастания функции.

А вот в точках 1 и 8 производная отрицательна.

При этом в точке 8 угол наклона касательной явно меньше, чем в точке 1.

Поэтому в точке 8 тангенс угла наклона будет наименьшим, а значит и значение производной, будет наименьшее.

🙂 Самое время немного отдохнуть. Неправда ли? –> + показать