На рисунке изображен график у f x производной функции f x определенной

Задание 7. На рисунке изображён график у=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-19; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-17; 1].

Точки минимума и максимума функции соответствуют точкам производной , т. е. точкам, в которых производная пересекает ось OX. Чтобы выделить точки минимума нужно проанализировать как вела себя производная до и после точки . Если она переходит из отрицательной области в положительную, то это будет точка минимума.

Анализ графика производной на рисунке в пределах от -17 до 1 показывает, что точки минимума функции соответствуют значениям , т. е. двум точкам.

smartrepetitor. ru

Решения и Ответы к задачам банка заданий ЕГЭ по математике

Задание 8 (№ 6409)

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-x+8 или совпадает с ней?

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.
  3. Угловой коэффициент прямой – это коэффициент, который стоит перед х, если уравнение прямой записать в видеy =kx +b, тоk – угловой коэффициент.
  4. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
  5. Из всего выше сказанного, делаем вывод, что нам необходимо посчитать точки, в которых производная функции равна угловому коэффициенту касательной, а именно -1 (угловой коэффициент касательной равен -1).
  6. То есть, мы считаем точки, в которых у = -1, так как значение производной функции смотрим по оси у (данные точки выделены красным)
  7. Получили 2 точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = — х + 8.

На рисунке изображен график у f x производной функции f x определенной

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7.

Так ведь х=7 не входит в промежуток [-6;9] и на интервале смена знака с — на +происходит в 4 точках

x=7 входит в промежуток [-6;9]. На заданном промежутке точка единственная. Учтите, что задан график производной.

Здравствуйте, почему здесь в ответе один, хотя должено быть 7.

Необходимо указать количество точек

А я бы указала 8 точек максимума для этой функции на данном промежутке, а надо оказывается указать только самый макимальный максимум. То есть по сути тут спрашивают про наибольшее значение функции на данном промежутке. Как же понять, про что спрашивают?

По определению, конечно. Спросите Википедию!

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−13;1] функция имеет одну точку минимума x = −9.

Скажите, ведь можно посчитать точки экстремума на функции? или это отличается от производной? заранее спасибо.

На графике изображено поведение не самой функции, а ее производной.

Разве точка 4 не является минимумом?

Является, но не лежит на заданном отрезке.

Точка -5 является ли минимумом или это максимум?

Точка x=-5 является точкой максимума функции, так как производная функции меняет знак с плюса на минус.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −6, −2, 2, 6, 9. Тем самым, на отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума.

«Вершины» кривой и будут точками экстремума. В чем ошибка?

Дело в том, что на приведённом графике изображена не функция, а её производная. Поэтому экстремумы изображенной кривой — это экстремумы производной, а не самой функции.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна то есть промежуткам (−7; −5,5] и [−2,5; 4). Данные промежутки содержат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.

Ведь функция возрастает в том случае если с увеличением x увеличивается y

Вы правы. Осталось внимательно прочитать условие.

В точках -7;-5,5;-2.5;4 функция также возрастает

В точках -7 и 4 функция не может возрастать, так как эти точки не входят в область определения функции по условию.

Точки -5,5 и -2,5 входят и в промежутки возрастания, и в промежутки убывания, но это не целые числа, поэтому на ответ это не повлияет

Лучше сформулировать так: в ответе укажите сумму целых абсцисс точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Наибольший из них — интервал (−7; −1), длина которого 6.

функция возрастает когда большему x соответствует больший y а не когда а не когда функция положительная то есть на промежутке (-11;-10) она не возрастает и ответ не верный

На графике изображена производная функции, а не сама функция.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалам (−1; 5) длиной 6 и (7; 11) длиной 4. Длина наибольшего из них 6.

убывание — это не те промежутки, на которых график функции ниже оси 0х. это те промежутки, на которых график функции идет вниз. ответ 3, промежуток [-2; 1]

Читайте внимательно условие. На рисунке график ПРОИЗВОДНОЙ.

Там, где ПРОИЗВОДНАЯ отрицательна, ФУНКЦИЯ убывает

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Если производная в некоторой точке равна нулю, а в ее окрестности меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [–2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −2; −1; 1; 4 и 6. Производная равна нулю в 5 точках.

Поясните пожалуйста: имеет ли значение выколотые или заштрихованые точки на границах графика, если есть, то в чём различие?

Как обычно: выколотая точка не лежит на графике, значения в ней не существуют и не рассматриваются.

В точке перегиба вторая производная равна 0, а в задании не сказано о какой производной идет речь, поэтому на этом задании споткнутся хорошо подготовленные дети (те, которые знают о существовании второй производной и точек перегиба). Кроме того, по графику сложно отличить «какое-то небольшое отрицательное число от нуля». Сказать детям, чтобы не считали в этом задании точки перегиба, тоже нельзя, ведь есть точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, а следовательно и первая производная в этих точках равна нулю. Если возможно, уберите графики, на которых непонятно каким образом проходит касательная.

Уважаемая Ольга Петровна! Хорошо подготовленные дети различают понятия «производная» и «вторая производная». А о точках перегиба в задании речь не идёт вообще.

На рисунке изображён график — производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, . x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках x4, x5 x6. Таких точек 3.

нам нужны точки, где функция возрастает, так точка х6 убывает же

На рисунке дан график ПРОИЗВОДНОЙ.

в точке производная положительна(видно из графика), функция возрастает (получено путём рассуждений)

На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: , В скольких из этих точек функция убывает?

Убыванию дифференцируемой функции соответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках : точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательгы. Таких точек 5.

Точка x3 — график производной возрастает => функция больше 0

х2 же точка максимума f'(x),в которой f(x)=0?

Нет. Точка х2 это точка максимума f ‘(x), в которой f»(x)=0, но к заданию это не относится. Вы путаете: если бы производная обращалась в 0, то в точке функция могла бы иметь минимум или максимум.

Необходимо сосчитать точки в которых функция «убывает», а не «отрицательна». Т. е. сия точка должна быть ниже предыдущей, а таковых всего 3: х1, х3, х8.

Вы правы. Необходимо сосчитать точки в которых функция «убывает», а не «отрицательна». НО. на картинке график ПРОИЗВОДНОЙ, а не график функции. А ФУНКЦИЯ УБЫВАЕТ там, где ПРОИЗВОДНАЯ ОТРИЦАТЕЛЬНА.

В решении нет ошибок. Рекомендуем учащимся разобраться в решении и, поняв рассуждения, не путаться и не допускать ошибок на экзамене. Напоминаем о возможности обсудить задание в нашей группе В_Контакте.

Читайте внимательно задание, прежде чем нагло обвинять в ошибке.

Дай Бог Вам терпения

На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Производная отрицательна в точках -2; 4

В этих точках отрицательна функция, а не производная,

а производная отрицательна там, где функция убывает

На рисунке изображён график функции у = f‘(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x = 9.

На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки x3, x4, x7 — всего 3 точки.

Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.

Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).

Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.

Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.

Примечание Александра Ларина (Москва).

В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается 🙂 А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.