Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=24

Ответ или решение 2

Найдите боковую сторону ab трапеции abcd, если углы abc и bcd равны соответственно 60° и 135°, а cd=24.

Постройте график трапеции

Трапеция имеет неординарный вид, из условия получаем произвольную трапецию abcd:

Рассмотрите углы bcd и adc – углы при боковой стороне трапеции, которые в сумме дают 180 градусов. Из этого следует:

adc = 180° — bcd = 180° — 135° = 45°;

Опустите высоту cm из точки с на прямую ad.

Сумма углов в любом треугольнике равняется 180°, используя эти данные можем найти угол mcd, отняв от 180° значения углов cmd = 90° и cdm = 45°:

mcd = 180° — 90° — 45° = 45°.

Рассмотрите треугольник cmd

  • треугольник cmd прямоугольный;
  • катет cd = 24;
  • катеты cm = md;

По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) найдите высоту cm:

cd 2 = md 2 + cm 2 ;

Так как cm = md, замените md на cm. Получим двойной квадрат cm, который равен квадрату гипотенузы:

  • cd 2 = 2 * cm 2 ;
  • cm 2 = cd 2 / 2;
  • cm 2 = 576 / 2 = 288;
  • cm = √288 = 12√2;

Опустите высоту ah из точки a на прямую bc.

Основания трапеции параллельны друг другу, по-этому высоты ha и cm равны.

Рассмотрите треугольник abh

  • треугольник abh прямоугольный;
  • угол abh = 60°;
  • катет ah = 12√2;

Синус угла abh равен отношению противолежащего катета ah к гипотенузе ab:

Из выражения выделите боковую сторону трапеции ab:

ab = ah / sin (abh);

Высота ah = 12√2, а синус угла abh — sin (60°) = √3/2. Подставьте значения в формулу и сосчитайте ab:

Найдите боковую сторону трапеции если углы и равны соответственно и а

Найдите бо­ко­вую сто­ро­ну AB тра­пе­ции ABCD, если углы ABC и BCD равны со­от­вет­ствен­но 30° и 120°, а CD = 25.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Проведём вы­со­ты и В трапеции сумма смеж­ных углов при бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°, по­это­му Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём сто­ро­ну

Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты и равны. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём

Найдите боковую сторону трапеции если углы и равны соответственно и а

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, a CD = 36.

Проведем в трапеции две высоты и DH (см. рисунок). Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD с углом . Следовательно, треугольник CHD также равнобедренный со сторонами CH=HD и основанием CD. Пусть сторона DH=x, соответственно, CH=x. Тогда по теореме Пифагора можно записать, что

То есть . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором известен один катет и угол . Так как синус угла B – это отношение противолежащего катета на гипотенузу AB, то можно записать