Найдите наименьшее значение функции y=(2/3) x^(3/2)−3x+1 на отрезке [1;9]

В недавней статье мы рассмотрели нахождение точек максимума (минимума) для иррациональной функции. Здесь представлено решение нескольких примеров на нахождение наибольшего (наименьшего) значения таких функции на данном отрезке.

Алгоритм решения уже описывался не раз, посмотрите его в статье, где мы рассматривали задания с логарифсами. Если у вас есть общие вопросы по теории, то советую изучить эту статью . Данный тип заданий включает в себя все действия, которые производятся при вычислении точек максимума (минимума). После этого необходимо определить какие из этих точек принадлежат указанному интервалу, затем вычислить значения функции в этих точках и на границах интервала, а далее выбрать наибольшее или наименьшее. Рассмотрим примеры:

77454. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=(2/3) x 3/2 −3x+1 на отрезке [1;9].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Полученное значение х входит в данный интервал.

Вычисляем значения функции в точках 1 и 9:

Наименьшее значение функции равно –8.

77456. Найдите наибольшее значение функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Данное значение х входит в интервал.

Вычисляем значения функции в точках 0, 1 и 4:

Большее значение функции равно 1.

77466. Найдите наибольшее значение функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Данное значение х входит в интервал (лежит на его границе).

Вычисляем значения функции в точках 1 и 9:

Наибольшее значение функции равно 10.

*На данном интервале производная положительна, поэтому наибольшее значение будет в крайней правой точке.

77452. Найдите наименьшее значение функции y = x 3/2 – 3x+1 на отрезке [1;9].

Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции y = x^3 + 6x^2 + 9x + 8 на отрезке [-2; 0]

Задание.

Найдите наименьшее значение функции y = x 3 + 6x 2 + 9x + 8 на отрезке [-2; 0].

Решение:

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = 3x 2 + 12x + 9

3x 2 + 12x + 9 = 0

x1 = — 3 не принадлежит отрезку [-2; 0]

Найдем значение функции в точке x = — 1 и на границах отрезка [-2; 0]:

y(-2) = (-2) 3 + 6·(-2) 2 + 9·(-2) + 8 = 6

y(- 1) = (-1) 3 + 6·(-1) 2 + 9·(-1) + 8 = 4

y(0) = 0 3 + 6·0 2 + 9·0 + 8 = 8

Значит, наименьшее значение функции равно 4

Ответ: 4

Задача 11 — наименьшее значение

Найдите наименьшее значение функции $y=<^<3>>-2<^<2>>+x+3$ на отрезке [1; 4].

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

  • Найти область определения функции
  • Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие заданному отрезку
  • Найти значение функции в этих точках и на границах заданного отрезка
  • Сравнить найденные значения — выбрать из них наименьшее

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: $<^<'>>=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

И найдем производную от заданной функции:

Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.

Найдем корни уравнения $<^<'>>=0$:

Выбираем только те значения $x$, которые попадают в заданный отрезок $\left[ 1;4 \right]$, а именно: $x=1$.

Теперь найдем значения функции в найденной точке и на границах отрезка:

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наименьшее значение в точке $x=1$ и это значение равно 3.