Найдите наименьшее значение функции y=x2−3x+lnx+5 на отрезке[3/4;5/4]

Ответ или решение 1

1. Найдем критические точки:

  • y = x^2 − 3x + lnx + 5;
  • y’ = 2x − 3 + 1/x;
  • 2x − 3 + 1/x = 0;
  • 2x^2 − 3x + 1 = 0;
  • D = 3^2 — 4 * 2 = 9 — 8 = 1;
  • x = (3 ± √1)/4 = (3 ± 1)/4;
  • x = (3 — 1)/4 = 2/4 = 1/2;
  • x = (3 + 1)/4 = 4/4 = 1.

2. Функция возрастает на промежутках x ∈ (-∞; 1/2] ∪ [1; ∞) и убывает на промежутке [1/2; 1]. Таким образом, на [1/2; 1] убывает, а на [1; ∞) возрастает, поэтому на промежутке [1/2; ∞) (следовательно, и на отрезке [3/4; 5/4]) наименьшее значение будет в точке x = 1:

  • y = x^2 − 3x + lnx + 5;
  • y(1) = 1^2 − 3 * 1 + ln1 + 5 = 1 — 3 + 0 + 5 = 3.

Ответ. Наименьшее значение функции на отрезке [3/4; 5/4]: 3.

Найдите наименьшее значение функции y=(2/3) x^(3/2)−3x+1 на отрезке [1;9]

В недавней статье мы рассмотрели нахождение точек максимума (минимума) для иррациональной функции. Здесь представлено решение нескольких примеров на нахождение наибольшего (наименьшего) значения таких функции на данном отрезке.

Алгоритм решения уже описывался не раз, посмотрите его в статье, где мы рассматривали задания с логарифсами. Если у вас есть общие вопросы по теории, то советую изучить эту статью . Данный тип заданий включает в себя все действия, которые производятся при вычислении точек максимума (минимума). После этого необходимо определить какие из этих точек принадлежат указанному интервалу, затем вычислить значения функции в этих точках и на границах интервала, а далее выбрать наибольшее или наименьшее. Рассмотрим примеры:

77454. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=(2/3) x 3/2 −3x+1 на отрезке [1;9].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Полученное значение х входит в данный интервал.

Вычисляем значения функции в точках 1 и 9:

Наименьшее значение функции равно –8.

77456. Найдите наибольшее значение функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Данное значение х входит в интервал.

Вычисляем значения функции в точках 0, 1 и 4:

Большее значение функции равно 1.

77466. Найдите наибольшее значение функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Данное значение х входит в интервал (лежит на его границе).

Вычисляем значения функции в точках 1 и 9:

Наибольшее значение функции равно 10.

*На данном интервале производная положительна, поэтому наибольшее значение будет в крайней правой точке.

77452. Найдите наименьшее значение функции y = x 3/2 – 3x+1 на отрезке [1;9].

Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции y = (x – 10)^2(x + 1) + 3 на отрезке [5; 14].

Задание.

Найдите наименьшее значение функции y = (x – 10) 2 (x + 1) + 3 на отрезке [5; 14].

Решение:

Область определения функции: все числа

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = ((x – 10) 2 )´· (x + 1) + (x – 10) 2 ·(x + 1)´ = 2(x – 10)· (x + 1) + (x – 10) 2 ·1

y´ =(x – 10)·(2x + 2 + x – 10) = (x – 10)·(3x – 8)

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

x – 10 = 0 и 3x – 8 = 0

Решим 1 уравнение:

Решим 2 уравнение:

x = 8/3 не принадлежит отрезку [5; 14].

Найдем значение функции в точке x = 10 и на границах отрезка [5; 14].

y(5) = (5 – 10) 2 ·(5 + 1) + 3 = 153

y(10) = (10 – 10) 2 ·(10 + 1) + 3 = 3

y(14) = (14 – 10) 2 ·(14 + 1) + 3 = 243

Значит, наименьшее значение функции равно 3

Ответ: 3