Найдите площадь поверхности многогранника изображенного на рисунке 8

Задание 8_1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности многогранника можно вычислить как сумму площадей всех его граней. Причем площади передней и задней граней, равны

и вся площадь поверхности равна

Задание 8_2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Найдем площадь поверхности как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 3, 5 и вычтем площади двух граней 1х1 прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 3 (см. рисунок).

Площадь поверхности большого параллелепипеда, равна

Площади двух граней 1х1 малого параллелепипеда, равны:

и площадь поверхности фигуры

Задание 8_3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Из рисунка видно, что площадь поверхности фигуры будет меньше площади прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 5 на площади двух квадратов, размером 1х1, имеем:

Задание 8_4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Можно заметить, что площадь поверхности данной фигуры будет в точности совпадать с площадью поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 5, 3 и 5 и равна

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание 8_5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данной фигуры равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 5 и 4, и равна

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание 8_6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данной фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 4 и 6 плюс две грани 1х4 площадью 4 (см. рисунок) и минус две грани площадью 2х1 (они вычитаются из оснований). Таким образом, площадь фигуры равна

Задание 8_7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площади нижней и верхней граней равны , площади боковых граней можно вычислить как , площади передней и задней граней соответственно и еще нужно учесть две площади внутренней нижней и верхней граней . Таким образом, вся площадь поверхности фигуры равна

Задание 8_8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 3 и 2, минус четыре площади боковых квадратов, размером 1х1. Имеем:

Задание 8_9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед с вырезом. Площадь поверхности такой фигуры будет равна площади поверхности всего параллелепипеда со сторонами 5, 7 и 1 минус две площади фронтального выреза площадью 2х1=2 и плюс четыре площади внутренних сторон выреза размерами 1х1 и 2х1. Таким образом, вся площадь поверхности многогранника равна

Задание 8_10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности многогранника можно найти как сумму площадей двух прямоугольных параллелепипедов со сторонами 5, 4, 3 и 3, 2, 3 минус две площади основания нижнего параллелепипеда площадью 2х3 (две площади, т. к. она будет дважды учтена в большом и малом параллелепипедах). Таким образом, получаем:

Задание 8_11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Найдем площадь поверхности фигуры как площадь прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2, 2, 1 и вычтем две площади граней 1х1 во фронтальных плоскостях (передней и задней), получим:

Задание 8_12. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Площадь поверхности данной фигуры можно найти как сумму площадей поверхности 6 кубов минус площадь поверхности одного куба (тот что внутри и эти грани не входят в площадь поверхности), получаем:

Задание 8_13. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Найдем площадь поверхности этого многогранника как сумму площадей поверхности большого (6х6х2) и малого (3х3х4) прямоугольных параллелепипедов и вычтем дважды площадь поверхности соприкосновения граней этих параллелепипедов, которая имеет размер 3х4, получим:

Задание 8_14. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности этого многогранника можно найти как сумму площадей поверхности каждого из трех параллелепипедов размерами 2х5х6, 2х5х3 и 2х3х2 минус удвоенные площади соприкосновения этих параллелепипедов, то есть минус удвоенные площади двух граней размерами 3х5 и 2х3 соответственно. В результате получаем площадь поверхности фигуры:

Задание 8_15. Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 37.

Так как плоскость сечения проведена через среднюю линию, то она делит боковую плоскость пополам. Следовательно, площадь боковой поверхности большей призмы в 2 раза больше площадь боковой поверхности малой призмы и равна 74.

Площадь поверхности многогранника. Задание 8

Задание 8 (№ 25641) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые)

Решение. Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Так как все грани этого многогранника — прямоугольники, то для нахождения площади каждой грани мы используем формулу площади прямоугольника:

S=ab, где a и b — длины двух смежных сторон прямоугольника.

Обозначим вершины многогранника:

1.Найдем сначала площадь боковой поверхности. Для этого, чтобы не пропустить ни одной грани, обойдем наш многогранник по часовой стрелке, и запишем площадь каждой грани:

2. Найдем площадь верхней грани. Для этого из площади прямоугольника ABCD вычтем площадь прямоугольника MLKE:

3. Площадь нижней грани равна площади верхней грани и равна 22.

4. Сложим получившиеся площади: 88+22+22=132.

Задания по теме «Многогранник»

Открытый банк заданий по теме многогранник. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1085

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат тангенса угла D_2BD.

Ребро D_2D перпендикулярно плоскости ABCD , поэтому угол D_2DB — прямой. Тогда tg \angle D_2BD =\frac. По теореме Пифагора (DB)^2 = (AD)^2 + (AB)^2 = 16 + 16 = 32. DB = 4\sqrt2. Отсюда, tg \angle D_2BD =\frac<4><4\sqrt2>=\frac<1><\sqrt2>, (tg\angle D_2BD)^2=\frac12=0,5.

Задание №1083

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами A и C_2.

Ребро C_2D_2 перпендикулярно плоскости AA_2D_2D , поэтому угол C_2D_2A — прямой. По теореме Пифагора (AC_2)^2 = (AD_2)^2 +(D_2C_2)^2. (AD_2)^2 = (AD)^2 +(DD_2)^2 = 4^2 + 4^2 = 32. Отсюда, (AC_2)^2 = 32 + 2^2 = 36, AC_2 = 6.

Задание №1078

Найдите площадь боковой поверхности правильной восьмиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 , а высота — 7 .

Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле S бок. = P осн. · h = 8a\cdot h, где P осн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 7 , и a — сторона правильного восьмиугольника, равная 5 . Следовательно, S бок. = 8\cdot 5\cdot 7 = 280.

Задание №915

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A , B , C , B_1 Прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого AB = 6, AD = 6 и AA_1 = 8.

Указанный в условии многогранник является треугольной пирамидой, в основании которой лежит треугольник ABC , а высотой является боковое ребро призмы BB_1 так как BB_1\perp ABCD.

S_= \frac12S_= \frac12\cdot AB\cdot BC= \frac12\cdot6\cdot6=18.

Отсюда, V_= \frac12S_\cdot BB_1= \frac13S_\cdot AA_1= \frac13\cdot18\cdot8= 48.

Задание №913

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Данный многогранник является прямой призмой и получается объединением двух прямых призм. В основании первой призмы лежит прямоугольник со сторонами 3 и 3 , а её высота h_1 равна 5 . Объём этой призмы V_1 находим по формуле V 1 = S осн. · h 1 = 3\cdot3\cdot5 = 45. В основании второй призмы лежит прямоугольник со сторонами 2 и 1 , а её высота h_2 равна 5 . Объём этой призмы V_2 находим по формуле V 2 = S осн. · h 2 = 2\cdot1\cdot5 = 10. Объём V данного многогранника равен сумме объёмов указанных призм: V = V_1 + V_2 = 45 + 10 = 55.

Задание №908

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности S многогранника состоит из площади оснований и площади боковой поверхности. Площадь одного из двух равных оснований равна разности площадей двух прямоугольников, имеющих измерения 6×4 и 1×2 , то есть 6\cdot4-2\cdot1. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания многогранника на его высоту. Отсюда, S = 2 · S осн. + S бок. = 2 · S осн. + P осн. · h, где S осн. P осн. и h соответственно — площадь основания, периметр основания и высота многогранника. S=(6\cdot4-2\cdot1)\cdot2+ (2+1+1+6+4+6+1+1)\cdot4= 132.

Задание №312

Найдите объем многогранника, все двугранные углы которого прямые.

Данный многогранник состоит из четырех многогранников.

Объем данного многогранника состоит из суммы объемов четырех многогранников: V=V_1+V_2+V_3+V_4.

Измерения первого многогранника: 12-8=4;\;3;\;10-5=5.

Измерения второго многогранника: 8;\;3;\;5.

Измерения третьего многогранника: 8;\;4;\;5.

Измерения четвертого многогранника: 8;\;3;\;5.

Отсюда V=4\cdot3\cdot5+8\cdot3\cdot5+8\cdot4\cdot5+ 8\cdot3\cdot5= 60+120+160+120= 460.

Задание №311

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D,A_1,B, B_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого AB=8, AD=9, AA_1=7.

Многогранник DAA_1B_1B является пирамидой, в основании которой лежит прямоугольник AA_1B_1B, а высотой является AD.

Поэтому V_= \frac13 S_\cdot AD= \frac13\cdot7\cdot8\cdot9= 168.

Задание №106

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 боковое ребро равно 12 , а площадь основания равна 10 . Найдите объем многогранника DEFD_1E_1F_1 .

Для вычисления объема многогранника DEFD_1E_1F_1 воспользуемся формулой:

Так как в основании лежит правильный шестигранник, то площадь полученного треугольника DEF равна \frac16 от площади шестигранника (см. рис.). Соответственно объем многогранника равен:

V = \frac16 \cdot 10 \cdot h = \frac53 \cdot 12 = 20

Задание №105

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 боковое ребро равно 5 , а площадь основания равна 12 . Найдите объем многогранника ABCA_1B_1C_1 .

Объем многогранника ABCA_1B_1C_1 можно вычислить по формуле:

Площадь образованного треугольника ABC равна \frac16 от площади основания призмы (см. рис.). Соответственно объем многогранника равен:

V = \frac16 \cdot 12 \cdot h = \frac16 \cdot 12 \cdot 5 = 10