Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Определение и формулы описанной окружности прямоугольного треугольника

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема синусов:

где – радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, – катеты этого треугольника, – его гипотенуза, – острые углы треугольника.

Примеры решения задач

Решая квадратное уравнение , получаем , т. е. , а см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т. е.

Пусть , тогда из условия задачи следует, что и

Отсюда получаем, что .

Поскольку , то – равнобедренный, а значит и

А это означает, что – равносторонний, т. е. . Тогда по теореме Пифагора

Радиус окружности описанной вокруг прямоугольного треугольника

Программа предназначена для определения радиуса описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности.

Окружность называется описанной вокруг прямоугольного треугольника, в том случае, если все вершины прямоугольного треугольника лежат на этой окружности.

Вокруг прямоугольного треугольника можно описать лишь одну окружность.

Чтобы найти радиус и диаметр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности, введите значения катетов a и b прямоугольного треугольника и нажмите кнопку «ВЫЧИСЛИТЬ».

Результатом вычислений будет радиус и диаметр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности .

Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Окружность, описанная около многоугольника

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

Если без иррациональности в знаменателе —

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Радиус описанной окружности квадрата

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

Если без иррациональности в знаменателе —

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника