Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит точкой касания гипотенузу на отрезки 12 и 5. Найдите радиус

Ответ или решение 1

Обозначим наш треугольник АВС с гипотенузой АВ и с катетами АС и СВ. Точки касания вписанной окружности К, Е, Р, так что точка К принадлежит АВ, а точки Е и Р катетам соответственно. Обозначим отрезок СЕ – «Х». По свойству отрезков касательных АЕ = АК = 12; РВ = КВ = 5, СЕ = СР = Х. Следовательно,

АС = АЕ + ЕС = 12 + Х;

СВ = СР + РВ = Х + 5;

Используя теорему Пифагора составим и решим уравнение:

АС 2 + СВ 2 = АВ 2 ;

(12 + Х) 2 + (Х + 5) 2 = 17 2 ;

144 + 24Х + Х 2 + Х 2 + 10Х + 25 = 289;

2Х 2 + 34Х — 120 = 0;

Х 2 + 17Х — 60 = 0;

Д = 289 + 240 = 529;

Х2 = (-17 — 23) / 2 = -20 – не удовлетворяет.

Найдем радиус вписанной окружности

r = (AC + CB – AB) / 2 = (15 + 8 – 17) / 2 = 3.

Окружность вписанная в прямоугольный треугольник делит в точке касания

определить величину угла, биссектриса которого составляет с его стороной 15 градусов. Ответ: Так как бессектриса делит угол пополам то 15*2=30. тоесть угол=30градусов.

Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит в точке касания один из катетов на отрезки 6 и 10 считая от вершины прямого угла найдите периметр треугольника

Ответы и объяснения

    Hrisula главный мозг

Нарисуем прямоугольный треугольник и окружность в нем.

Не обязательно точно, но чтобы иметь представление, о чем речь.

Вспомним свойство касательных, проведенных из точки к окружности.

От прямого угла откладываем 6 см в обе стороны на двух катетах.

Далее от одного из острых углов тоже по обе стороны от вершины откладываем 10см.

Отрезки касательных у третьей вершины обозначим Х.

Составим уравнение гипотенузы по теореме Пифагора.

Окружность вписанная в прямоугольный треугольник делит в точке касания

Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит в точке касания один из катетов на отрезки 6 и 10 считая от вершины прямого угла найдите периметр треугольника

Ответы и объяснения

    Hrisula главный мозг

Нарисуем прямоугольный треугольник и окружность в нем.

Не обязательно точно, но чтобы иметь представление, о чем речь.

Вспомним свойство касательных, проведенных из точки к окружности.

От прямого угла откладываем 6 см в обе стороны на двух катетах.

Далее от одного из острых углов тоже по обе стороны от вершины откладываем 10см.

Отрезки касательных у третьей вершины обозначим Х.

Составим уравнение гипотенузы по теореме Пифагора.

Окружность вписанная в прямоугольный треугольник делит в точке касания

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит точкой касания гипотенузу на отрезки 12 и 5. Найдите радиус окружности.

По свойству касательных, проведенных из одной точки: \(AK=AN=12, CK=CM=5, BM=NB=R,\) где \(R\) — радиус окружности.

По теореме Пифагора: \(17^2=(5+R)^2+(12+R)^2\) .

Тогда получаем квадратное уравнение (применим формулу сокращенного умножения квадрат суммы) относительно радиуса вписанной окружности, которое решаем при помощи дискриминанта и получаем корни.

\(R^2+17R-60=0 \Rightarrow R_1=3, R_2=-20.\)

Второй корень не подходит, так как радиус — величина неотрицательная. Следовательно, ответ 3.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) Проведем отрезки OK и OF.

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.