Онлайн сервисы для учебы

SolverBook — это собрание учебных онлайн калькуляторов, теории и примеров решения задач. Наш сайт создан для помощи школьникам и студентам в учебе. Всего за несколько минут вы сможете найти необходимый теоретический материал, решить задачу с помощью одного из онлайн калькуляторов или посмотреть, как правильно решается тот или иной тип задач.

Теорию и примеры решения задач для нашего сайта пишут только проверенные преподаватели, а онлайн калькуляторы внимательно проверяются, так что вы можете быть уверены в правильности материала, представленного на нашем сайте!

Онлайн калькуляторы — это автоматические сервисы для решения задач. Выберите нужный калькулятор, введите числа и программа сама решит задачу. Каждый калькулятор выдает подробное решение с комментариями, чтобы вы могли разобраться в решении.

Сервисы считают быстро и никогда не допускают ошибок, так что с ними очень удобно выполнять домашние задания!

Справочник — это собрание полезных теоретических статей по математике, физике, химии, геометрии и теории вероятностей. Для нашего сайта теорию постоянно пишут более 10 проверенных преподавателей с большим стажем преподавания! Каждая статья внимательно проверяется и вы можете быть уверены в их правильности!

Изучайте на здоровье!

Примеры решения задач — это собрание решенных и подробно разобранных задач по математике, которые мы сделали для наших студентов, а иногда и решали на заказ. В данном разделе студенты и школьники могут на конкретных примерах научить решать задачи по интегралам, пределам, производным и другим сложным для них темам!

Сейчас у нас собрано более 500 примеров.

Мы коллектив преподавателей. Уже более 10 лет мы пишем контрольные, курсовые, рефераты, дипломные и другие виды студенческих работ на заказ. У нас вы можете недорого и без посредников заказать учебную работу любого профиля: экономические, технические, юридические, гуманитарные и др.

Цена от 100 руб, срок выполнения от 2 часов!

Подробнее о SolverBook. com

Нашим сайтом можно пользоваться абсолютно бесплатно и без регистрации, все сервисы находятся в открытом доступе и работают 24 часа в сутки. Мы постоянно работает над новыми калькуляторами и пишем новые теоретические статьи, чтобы каждый учащийся смог оперативно и правильно решить задачу или контрольную работу.

Если Вам помогли наши сервисы, то добавляйте наш сайт в закладки, рассказывайте про него друзьям или просто делитесь ссылками через социальные сети.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1) ( ln x )′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a :
(2) ( log a x )′ = .

Далее мы приводим вывод этих формул.

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x , которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма. Нам понадобятся следующие формулы:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8) .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).

Далее сделаем подстановку . При , . Тогда

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.

И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом. Он обозначается так:
.
Тогда ;
.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a :
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1) .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции:
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x :
(10) .
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (10):
.
Отсюда
.

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx.

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x .

Итак, ищем производную от функции
y = ln nx .
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
(11) .
Мы видим, что производная не зависит от n . Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
– это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции – натурального логарифма от модуля x :
(12) .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
.
Тогда
.

Объединяем эти два случая в одну формулу:
.

Соответственно, для логарифма по основанию a , имеем:
.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13) .

Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:
.
Найдем производную четвертого порядка:
.

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14) .
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство

Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку , то при n = 1 , формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k . Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .

Действительно, при n = k имеем:
.
Дифференцируем по переменной x :

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n .

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a , нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-03-2017

Производная натурального логарифма

Производная от натурального логарифма равна единице, деленной на .

Натуральный логарифм, — это логарифм, в основании которого находится число .

Заметим, что эту формулу можно получить из формулы производной для логарифма по произвольному основанию, учитывая тот факт, что основание натурального логарифма есть число :

Здесь было применено свойство логарифма:

Если под натуральным логарифмом находится сложная функция , то производная исходной функции будет равна:

Примеры вычисления производной натурального логарифма

Задание. Найти производную функции

Решение. Искомая производная

По свойствам производной константу выносим за знак производной и находим производную натурального логарифма по формуле:

Ответ.

Задание. Вычислить производную функции

Решение. Искомая производная:

Так как подлогарифмическая функция является сложной, то при нахождении берем вначале производную логарифма и умножаем ее на производную подлогарифмической функции. Таким образом, будем иметь:

Константу выносим за знак производной, а производная от равна единице: