Площадь правильной треугольной призмы

Нарисуем правильную треугольную призму:

Как мы видим — призма имеет два основания, эти основания правильные треугольники со стороной a , и три боковых стороны, которые представляют из себя прямоугольники со сторонами a и h

Таким образом площадь правильной треугольной призмы складывается из двух площадей оснований и трех площадей боковых граней.

Подставим сюда формулу площади прямоугольника и формулу площади равностороннего треугольника и получим:

Призма. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Определение

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • Главная формулаобъема призмы:
    ,
    где — площадь основания,
    — высота.
  • Необычная формула объема призмы:
    ,
    где — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
    — длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

1. Что такое призма?

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми. Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Примечание: Не забудь, что у нас ты можешь пройти пробный ЕГЭ в онлайне . Но если тебе это не нужно, читай дальше:)

А теперь: рёбра. Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее: бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах. А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF.

2. Высота призмы

И ясно даже (а тебе?), что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

3. Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро — прямоугольники.

4. Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник. Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильнаятреугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

2) Правильнаячетырёхугольнаяпризма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

3) Правильнаяшестиугольнаяпризма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Объём призмы

Главная формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то «превращается» в боковое ребро. И тогда

– то же самое, что

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

— площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

— длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Правильная треугольная призма

Пусть дано, что сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Подставляем в формулу объёма:

Правильная четырёхугольная призма

Опять дано: сторона основания равна , боковое ребро равно .

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Правильная шестиугольная призма

Что же такое ? Как найти?

Смотри: шестиугольник состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Площадь поверхности призмы

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

, где — периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Все боковые грани – прямоугольники. Значит .

— это уже выводили при подсчёте объёма.

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

  • Что тебе понравилось? Что не понравилось?
  • Может быть ты нашел ошибку?
  • Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке:

Комментарии

Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде. Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды»,который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!

Спасибо, Илья! Всегда рады помочь! 🙂

Всё хорошо. Только нет чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильной треугольной призмы

Спасибо, Александр за замечание. Постараемся учесть.

Сайт отличный! Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.

Спасибо, Дмитрий. В этом — наша цель. У нас могут быть (и есть! ) ошибки и мы их исправляем, но мы стараемся, чтобы вы поняли суть, чтобы вы научились понимать и размышлять. Зовите друзей на наш сайт. Хорошая работа не должна пропасть 🙂

Аааааааа, это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии. Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спаибо большое

Регина, знала бы ты, как нам приятно такое читать! ) Удачи на экзаменах.

илтимос, луфтан, рәхим итеге, берни түгел, зинһар

Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно

Спасибо большое, Настя! Заходи к нам еще! 🙂

формулы не везде видно, например вместо них фигни типа этих $\text=<<\text>_<\text<основания>>>\cdot \text=<<\text>_<\text>>\cdot \text$

Да, я понимаю о чем идет речь. «Фигни типа этих» возникают если у вас не обновлена страница. Нужно обновить страницу или, если не поможет, почистить кэш, то есть нажать ctrl + F5.

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Площадь призмы

Призма – это многогранник, в основаниях которого два равных многоугольника, а боковые грани представляют собой параллелограммы.

Площадь боковой поверхности призмы также как и прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников, если призма прямая, сторонами которых являются сторона многоугольника в основании и высота, а их количество зависит от количества сторон в многоугольнике. Поэтому площадь боковой поверхности призмы вычисляется умножением периметра основания на высоту: Sб. п.=Ph=nah