Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту

29 января Новый сервис учителю: работа над ошибками кратко / полно

25 января Открыли новый раздел Итоговое собеседование
авторские материалы Т. Н. Стаценко (Кубань)

25 января Проверьте! Кнопка «Русский язык» в верхнем меню работает в двух режимах.

Наша группа Вконтакте
Мобильные приложения:

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.

2) Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на высоту.

3) Пло­щадь тра­пе­ции не пре­вос­хо­дит про­из­ве­де­ния сред­ней линии на высоту.

4) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его сто­ро­ны на высоту, про­ве­ден­ную к этой стороне.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.» — неверно, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

2) «Площадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на высоту.»— неверно, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту.

3) «Площадь тра­пе­ции не пре­вос­хо­дит про­из­ве­де­ния сред­ней линии на высоту.» — верно, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на высоту.

4) «Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его сто­ро­ны на высоту, про­ве­ден­ную к этой стороне.» — верно, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

Как найти площадь трапеции

Как найти площадь трапеции? Для этого в зависимости от данных условия можно использовать несколько формул.

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Для трапеции ABCD, AD ∥ BC, с высотой BF площадь равна

Если AD=a, BC=b, BF=h, формула для нахождения площади трапеции

2. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Если MN=m, BF=h, формула для нахождения площади трапеции через среднюю линию и высоту

3. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Если AC=d1, BD=d2, ∠COD=φ, то формула для нахождения площади трапеции через диагонали —

Если диагонали трапеции перпендикулярны,

так как sin 90º=1,

то формула площади трапеции

4. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, если суммы ее противолежащих сторон равны, то AB+CD=AD+BC. Следовательно, полупериметр трапеции равен сумме её оснований: p=AD+BC или p=a+b.

Таким образом, получаем еще одну формулу для нахождения площади трапеции через радиус вписанной окружности:

(Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции:

то эта формула может быть получена непосредственно из формулы из пункта 1).

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции высоту

Периметр квадрата равен 24 дм. Вычисли его площадь.

Площадь равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно найти с помощью любой из формул для нахождения площади трапеции в общем случае. Благодаря свойствам равнобедренной трапеции некоторые из этих формул могут быть упрощены.

I Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Если AD=a, BC=b, BF=h, то формула площади трапеции принимает вид

II. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Если MN — средняя линия трапеции ABCD, BF — её высота, то площадь трапеции равна

Если MN=m, BF=h, то

III. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Поскольку диагонали равнобедренной трапеции равны, Площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения квадрата её диагонали на синус угла между диагоналями.

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O,

VI. Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, так как sin 90º=1, предыдущая формула принимает вид:

2) Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярна, равна квадрату её высоты.

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O, проведем высоту FK через точку пересечения диагоналей.

Прямоугольные треугольники AOD и BOC — равнобедренные (с основаниями AD и BC). Поэтому их высоты OK и OF являются также медианами. Следовательно, по свойству медианы, проведенной к гипотенузе

Таким образом, формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями:

V. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD, то есть p=AD+BC или p=AB+CD=2AB.

Таким образом, Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению суммы оснований на радиус окружности.

Если обозначить основания трапеции AD=a, BC=b, то

Также Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна удвоенному произведению боковой стороны на радиус окружности.

Если обозначить боковые стороны AB=CD=c, то формула площади трапеции в этом случае

Так как высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями, то Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований:

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции высоту

Площадь равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно найти с помощью любой из формул для нахождения площади трапеции в общем случае. Благодаря свойствам равнобедренной трапеции некоторые из этих формул могут быть упрощены.

I Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Если AD=a, BC=b, BF=h, то формула площади трапеции принимает вид

II. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Если MN — средняя линия трапеции ABCD, BF — её высота, то площадь трапеции равна

Если MN=m, BF=h, то

III. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Поскольку диагонали равнобедренной трапеции равны, Площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения квадрата её диагонали на синус угла между диагоналями.

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O,

VI. Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, так как sin 90º=1, предыдущая формула принимает вид:

2) Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярна, равна квадрату её высоты.

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O, проведем высоту FK через точку пересечения диагоналей.

Прямоугольные треугольники AOD и BOC — равнобедренные (с основаниями AD и BC). Поэтому их высоты OK и OF являются также медианами. Следовательно, по свойству медианы, проведенной к гипотенузе

Таким образом, формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями:

V. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD, то есть p=AD+BC или p=AB+CD=2AB.

Таким образом, Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению суммы оснований на радиус окружности.

Если обозначить основания трапеции AD=a, BC=b, то

Также Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна удвоенному произведению боковой стороны на радиус окружности.

Если обозначить боковые стороны AB=CD=c, то формула площади трапеции в этом случае

Так как высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями, то Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований:

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции высоту

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции высоту

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

§ 61. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ.

Пусть нам нужно узнать, чему равняется площадь трапеции АВСD (черт. 278).

Проведём в ней диагональ DВ. Трапеция разобьётся на два треугольника АDВ и DСВ. Обозначим высоту трапеции и треугольников через H, а площади треугольников АDВ и DВС — через S1, и S2. Тогда

Следовательно, площадь всей трапеции выразится так:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

, где А и B — основания трапеции, а H — её высота.

1. Найти площадь трапеции по следующим данным:

2. Площадь трапеции равна 480 кв. см; высота её равна 12 см; одно из оснований на

6 см больше другого. Вычислить основания этой трапеции.

3. Площадь трапеции равна 960 кв. м; одно основание её равно 60 м, другое — 36 м. Чему равна высота этой трапеции?

4. Площадь трапеции равна 1200 кв. см, высота её равна 24 см. Одно основание больше другого в 3 раза. Вычислить основания этой трапеции.

5. Сечение канавы имеет форму трапеции (черт. 279). Одно основание её равно 90 см, другое — 56 см; высота трапеции — 65 см. Вычислить площадь сечения этой канавы.

6 Сделать необходимые построения и измерения и вычислить площадь трапеции

7. По данному плану и масштабу (черт. 281) вычислить площадь пруда.

Указание. Сделать необходимые измерения и сначала вычислить площадь большого прямоугольника, а затем из его площади вычесть сумму площадей фигур 1—11, принимая их за треугольники и трапеции.