Предел функции в точке

Определение предела функции в точке по Гейне

Это определение предела функции на языке последовательностей.

Пусть , докажем, что . Предел значений функции

Поскольку последовательность является бесконечно большой (ее предел равен бесконечности), то последовательность – бесконечно малая, а это означает, что ее предел равен нулю. Тогда

Что и требовалось доказать.

Определение предела функции в точке по Коши

Это определение предела функции на языке « — ».

0\ \exists \delta >0:\forall x\in \left( a-\delta ;\ a+\delta \right)\ \bigcap D\left[ f \right]:0

0\ \exists \delta =\delta \left( \varepsilon \right)>0:\forall x\in D\left[ f \right]:0

То есть необходимо найти такое положительное , которое будет удовлетворять выше приведенным условиям.

Преобразуем последний модуль:

Далее используем тот факт, что модуль суммы не превышает суммы модулей:

Выделим в полученном выражении полный квадрат:

И по определению это должно быть меньше :

Итак, имеем, что с одной стороны

а с другой (по определению) –

Тогда делаем вывод, что в качестве можно взять

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX. com»/>

0\ \exists \delta \left( \varepsilon \right)=\sqrt<\varepsilon +9>-3>0:\forall x\in D\left[ f \right]:0

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.

Замечание 2. Понятие предела функции в точке – локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»12″ width=»43″ style=»vertical-align: 0px;»/> можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX. com» height=»12″ width=»53″ style=»vertical-align: 0px;»/> и высотой , с точкой пересечения диагоналей , что все точки графика данной функции на интервале , за исключением, быть может, точки , лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Учитывая то, как будут раскрываться модули, а также тот факт, стремится слева или справа к значению , для записанных выше выражений можно построить следующую таблицу:

Во втором столбце записаны условия, накладываемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как необходимо эти условия трактовать в определениях предела функции по Гейне и Коши соответственно.

Примеры решения задач

Аналогично, для определения предела функции по Коши имеем:

0\ \exists \delta >0:\forall x\in D\left[ f \right]:\left| x \right|>\delta \Rightarrow b-\varepsilon

Приведем соответствующий пример функции, для которой имеет место равенство (рис. 2).

Ответы на тесты Интуит

Активные пользователи

  • Windik (4)
  • Westler (462)
  • Wertyoz (6)
  • Rostelecom (60)
  • pupil (1)
  • pred (1)
  • Nikitoki (3)
  • MOTOMOTO3 (35)
  • Maniac-Party (14)
  • Malek (5)
  • laterra (20)
  • LASDORF (1)
  • Getmanin (3)
  • fyz734 (38)
  • fedjovlaa (11)
  • faworesandra (31)
  • emz (989)
  • akira (1)

Спасибо за помощь в наполнении сайта

Вход в систему

Объявление

Ищу партнеров в бизнес (не связано с интуитом)
Подробнее тут.

Отметьте верные утверждения:

каждая ограниченная функция имеет предел в точке
√ функция не может иметь в точке два разных предела
√ определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны

Каждая ограниченная функция имеет предел в точке

0 a, то называетсяпределом функции f(x) в точке х = а справа.

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Графически можно представить:

Аналогично можно определить пределы для любого х>M и

для любого х 0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) 0, что f(x) n является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т. к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

Свойства бесконечно малых функций:

Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при ха.

Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

f(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значит