Представлены материалы необходимые для выполнения студентами индивидуальных расчетных или лабораторных работ на ПК по кинематике

2.5. Пример решения задачи по кинематике плоскопараллельного движения твердого тела (К3)

Рассмотрим пример решения задания для механизма, кинематическая схема которого представлена на рис. 2.4 (варианты заданий приведены на рис. 4.4, стр. 85 и в табл. 4.3, стр.86). Во всех вариантах приведены системы координат, в которых предпочтительно определять положение характерных точек и тел механизма. Чаще всего положение систем координат определяется начальным положением механизма. Для заданного закона изменения обобщенной координаты и геометрических размеров звеньев надо:

определить модули скорости и ускорения точек В, С и D, модули угловых скоростей и ускорений звеньев механизма для момента времени, соответствующего заданному углу поворота начального звена;

подготовить файл исходных данных и выполнить расчетное исследование движения точек и звеньев механизма с применением ПК

Для рассматриваемого примера закон движения начального звена – кривошипа OA составляет , его заданное значение равно 45 0 , геометрические размеры: ОА=15 см, АВ=30 см, АС=10 см, BD=R=4 см.

Пример определения кинематических характеристик вручную

1. Определение момента времени, для которого угол поворота кривошипа равен 45 0 (/4). Подставим значение угла (/4 = 0,785) в уравнение движения кривошипа . Это квадратное уравнение имеет два корня, из которых выбираем положительный – с.

2. Определение угловой скорости и углового ускорения звена ОА. Алгебраическое значение угловой скорости находим как производную от угла поворота звена ОА по времени рад/с. Направление вращения совпадает с положительным направлением отсчета угла , так как .

Алгебраическое значение углового ускорения определим как производную по времени от угловой скорости или вторую производную от угла поворота звена ОА рад/с 2 . Направление углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости, так как их знаки совпали.

2. Определение скоростей точек B и C шатуна АВ. Модуль скорости т. А определяем из угловой скорости вращательного движения кривошипа ОА см/c. Направлена скорость перпендикулярно кривошипу ОА в соответствии с направлением вращения (см. рис. 2.5).

Мгновенный центр скоростей звена АВ (РАВ) находим на пересечении перпендикуляров к скоростям точек А и В (рис. 2.5), так как направления скоростей этих точек известны, потому что известны их траектории движения.

Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА, как радиусу описываемой ею окружности при вращении вместе с кривошипом вокруг оси О. Скорость точки В горизонтальна, так как ее расстояние от поверхности, по которой катится колесо В, постоянно и равно радиусу.

Определим углы и , применив теорему синусов для треугольника ОАВ

Найдем расстояния до мгновенного центра скоростей, воспользовавшись теоремой косинусов

Определим угловую скорость звена AB, разделив скорость точки А на расстояние от нее до мгновенного центра скоростей звена

Направление вращения шатуна покажем в соответствии с направлением скорости точки А по ходу часовой стрелки.

Скорости точек шатуна В и С определяют как произведение угловой скорости шатуна на величины отрезков, соединяющих точки с мгновенным центром скоростей. Каждая из них направлена перпендикулярно указанному отрезку в соответствии с направлением вращения шатуна

4. Определение скорости точки D колеса. Мгновенный центр скоростей колеса (Рк) находится в точке контакта его с неподвижной поверхностью, так как предполагается, что качение происходит без проскальзывания.

Определим угловую скорость колеса, разделив скорость его центра – точки В – на расстояние от нее до мгновенного центра скоростей колеса, которое равно радиусу R

Направление вращения колеса покажем в соответствии с направлением скорости точки В – против хода часовой стрелки.

Определим угол поворота колеса в момент времени с. Расстояние, которое проходит центр колеса, в точности равно дуге, соответствующей углу его поворота . Найдем ее как разность между начальным и текущим расстояниями точки В от точки О (они соответственно равны и ):

Тогда искомый угол получим, разделив дугу на радиус

Скорость точки D в этот момент будет см/с.

5. Определение ускорений точек B и C шатуна АВ. В качестве полюса примем точку А и найдем ее ускорение как сумму вращательного и осестремительного ускорений:

Ускорение точки В определим как сумму ускорения полюса А и относительного ускорения точки В при повороте вокруг оси, проходящей через полюс

Спроецируем полученное равенство на координатные оси x и y (рис. 2.6), учитывая при этом, что проекция ускорения точки В на ось y равна нулю:

Записанная система уравнений содержит два неизвестных – и . Осестремительное ускорение точки В при повороте вокруг полюса А определим по формуле см/с 2 .

Решая эту систему уравнений, получим

В соответствии со знаками найденных величин можно сделать вывод о том, что указанное на рис. 2.6 направление ускорения оказалось верным, а ускорение — противоположно направленным оси Ox. Угловое ускорение звена АВ найдем по вращательному ускорению точки В вокруг полюса А

Угловое ускорение направлено против хода часовой стрелки в соответствии с направлением вектора .

Ускорение точки С также найдем как сумму ускорения полюса А и относительного ускорения ее при повороте вокруг оси, проходящей через полюс – точку А,

Проецируя это равенство на координатные оси x и y аналогично (2.19), получим значения проекций искомого ускорения:

В соответствии со знаками найденных проекций покажем направление ускорения точки С, а модуль его вычислим по формуле

6. Определение ускорения точки D колеса. В качестве полюса примем центр колеса – точку B, ускорение которой нам известно. Угловое ускорение колеса определяют как производную от угловой скорости по времени. Продифференцируем выражение (2.18)

Направление углового ускорения колеса покажем на рис. 2.7 против хода часовой стрелки в соответствии с направлением ускорения точки B.

Ускорение точки D определим как сумму ускорения полюса и относительного ускорения точки D при повороте вокруг оси, проходящей через полюс В,

Спроецируем равенство (2.20) на координатные оси x и y (см. рис. 2.7)

и определим модуль ускорения точки D

Вектор ускорения точки D строится по его проекциям (см. рис. 2.7).

Подготовка файла исходных данных

Имя текстового файла исходных данных образуем из названия темы задания и номера варианта или фамилии студента. Расширение файла – . Здесь – это k3_001.kdm (k1_petrov.kdm)

Для того, чтобы получить решение задачи независимым от изложенного выше традиционного «ручного» метода, используем задание и кинематический анализ движения точек механизма координатным способом. Он заключается в том, что, если можно построить функции координат точек от времени в аналитическом (формульном) виде, то скорость и ускорение точки определятся своими проекциями на координатные оси, вычисляемые путем дифференцирования этих функций по времени. Для этого на схемах плоских механизмов для расчетных заданий (см. рис. 4.4, стр. 85) указаны системы координат, в которых удобно найти координаты заданных точек, и показаны координаты некоторых из этих точек. По рис. 2.6 устанавливаем, что

Угол (см. рис. 2.4) можно определить как отношение расстояния, пройденного точкой В от своего крайнего правого положения (верхней мертвой точки механизма) до текущего, к радиусу колеса. Это объясняется тем, что дуга, соответствующая этому углу , при качении колеса без скольжения равна перемещению точки В. Перемещение последней равно разности отрезков АВ, соответствующих разложенному вдоль оси Ox механизму ( ) и текущему, определяемому углом поворота кривошипа  (то есть ). Таким образом,

Координаты точки D найдутся путем сложения координат точки B и проекций радиуса BD на соответствующие оси координат

Ниже представлен текст файла исходных данных для рассмотренного примера и даны пояснения к правилам его составления.

Пример текста файла исходных данных

1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА:=№3;

2. ВЫПОЛНИЛ:=ст. Петров гр. ТМ-49а;

4. Fi=3*t^2+5*t; # закон движения кривошипа ОА #

5. ОА=15; АВ=30; АС=10; R=4; # геом. параметры #

6. # Координаты точки А: #

10. # Определение угла поворота кривошипа #

11. xB=xA+AB*cos(Beta); # абсцисса точки B#

12. xC=xA+AC*cos(Beta); # абсцисса точки С#

13. yC=yA-AC*sin(Beta); # ордината точки C#

14. Alfa=(OA+AB-xB)/R; #угол поворота колеса#

15. yD=R*sin(Alfa); # ордината точки D#

16. xD=xB+R*cos(Alfa); # абсцисса точки D#

17. # Проекция скорости точки B на ось x: #

19. # Определение скорости точки C: #

20. vCx=xC’t; vCy=yC’t;

22 # Определение скорости точки D: #

23. vDx=xD’t; vDy=yD’t;

25. # Проекция ускорения точки B на ось x#

27. # Определение ускорения точки C: #

28. aCx=vCx’t; aCy=vCy’t;

30.# Определение ускорения точки D: #

31. aDx=vDx’t; aDy=vDy’t;

33. # Угловые кинематические характеристики: #

34. wOA=Fi’t; eOA=wOA’t; # скорость и ускорение ОА #

35. wAB=Beta’t; eAB=wAB’t; # скорость и ускорение AB #

36. wk=Alfa’t; ek=Alfa’t;#скорость и ускорение колеса #

Пояснения к тексту файла исходных данных

Для удобства ссылок при пояснении текст файла представлен пронумерованными строками (при записи файла на ПК нумеровать строки не надо). Информация в этом файле представлена совокупностью структурных единиц языка программы КИДИМ, которые называют «инструкция», «комментарий», «формула».

Строки с номерами 1, 2, 38-42, начинающиеся со слов: РАБОТА, ВЫПОЛНИЛ, ВАРЬИРОВАТЬ, ПЕЧАТЬ, РАСЧЕТ, КОНЕЦ, представляют «инструкции». Они задают соответственно номер работы, исполнителя, диапазон изменения времени, список переменных для графического вывода зависимости их от времени, вид расчета и конец читаемой программой части файла исходных данных (за инструкцией КОНЕЦ; можно располагать любую информацию – она никоим образом не повлияет на расчеты).

В файле исходных данных (строки 3-6, 10-17, 19, 22, 25, 27, 30, 33-37) записаны «комментарии», облегчающие его чтение и не сканируемые программой. Комментарии ограничены с двух сторон знаками #. Остальные выражения, представляют собой «формулы», с помощью которых записывают структуру механизма и задают алгоритм кинематического расчета, т. е. приводят формулы для определения скоростей и ускорений точек механизма.

2.6. Пример решения задачи по кинематике сложного движения точки (К7)

Рассмотрим пример решения задания для механизма, кинематическая схема которого представлена на рис. 2.8 (варианты заданий даны на рис. 4.5, стр. 87 и в табл. 4.4, стр.88). Во всех вариантах для заданных момента времени, законов изменения угла поворота тела и расстояния точки М, отсчитываемого по дуге окружности от точки О, требуется:

определить модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки для указанного в задании варианта схемы;

подготовить файл исходных данных для выполнения задания с применением ПК.

По условию задания установим следующее. Закон движения точки М по дуге окружности радиусом R=10 см задан в виде явной зависимости от времени (t) дуговой координаты точки: , см.

Вращением вокруг вертикальной оси, отстоящей от центра окружности на расстоянии h=5см, осуществляется переносное движение окружности вместе с движущейся точкой М. Закон изменения угловой координаты при таком вращении также задан в виде явной зависимости от времени (t, сек):

Сформулируем задачу, которую решим вручную на первом этапе выполнения задания.

Для точки М, совершающей сложное движение, в заданный момент времени с определить модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения .

Положением точки М относительно точки О (см. рис. 2.8) отмечено направление положительного отсчета дуговой координаты (в направлении, противоположном ходу часовой стрелки). Указано также положительное направление изменения угловой координаты φ.

Пример определения кинематических характеристик вручную

Рассмотрим первый этап выполнения задания. Точка М участвует в двух независимых движениях: относительном – движение точки по дуге ОМ, заданном естественным способом, и переносном – движение указанной системы отсчета относительно неподвижной системы (вращательное движение окружности вокруг вертикальной оси).

Определим положение точки М в относительном движении через угол , соответствующий дуге ОМ в момент времени с:

Это положение (точка М1) и угол показаны на рис. 2.9. Находим искомые кинематические характеристики относительного движения точки М:

Определим кинематические характеристики переносного движения:

Подсчитаем ускорение Кориолиса

Учитывая направления найденных составляющих скоростей и ускорений точки в относительном движении, изобразим их векторами на рис. 2.9.

Направления векторов скорости и тангенциального переносного ускорения устанавливаются по знакам проекций угловой скорости и углового ускорения (см. рис. 2.9).

Векторы и перпендикулярны друг другу, поэтому модуль их суммы определим по теореме Пифагора

Используя теорему о проекциях, окончательно получим:

Пример определения кинематических характеристик на ПК

Рассмотрим последовательность действий по подготовке файла исходных данных к лабораторной работе на ПК в соответствии с заданием.

Выбор обобщенных координат и структур

Представим на рис. 2.10 движущуюся систему в ее произвольном положении, соответствующем некоторому моменту времени.

Затем выберем неподвижную систему отсчета в виде ортогональной декартовой системы координат с центром на оси вращения. Примем в качестве обобщенных координат параметры ОМ и φ, явно зависящие от времени, и выразим через них декартовы координаты точки М:

Входящие сюда параметры функционально связаны с обобщенными координатами следующими зависимостями, устанавливаемыми по рис. 2.10

Полученные зависимости следует отнести к геометрическим структурам или просто структурам координат точки М (см. п. 1.1).

Дифференциальные структуры образуются при вычислении проекций векторов абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки М:

путем дифференцирования по времени геометрических структур.

Подготовка файла исходных данных

Имя текстового файла исходных данных образуем из названия темы задания и номера варианта или фамилии студента. Расширение файла – . Здесь – это k7_001.kdm (k1_ivanov.kdm)

Ниже представлен текст файла исходных данных для рассмотренного примера и даны пояснения к правилам его составления.

Пример текста файла исходных данных

1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА:=№4 (Кинематика сложного движе-ния точки);

2. ВЫПОЛНИЛ:=ст. Иванов гр. ФТ-18;

4. OM=5*t^2; # относительное перемещение точки #

5. Fi=t^2-3*t+1;# угол поворота диска #

6. h=5; alfa=OM/R; r=R*cos(alfa)-h; R=10;

7. # Координаты точки М: #

10. zM = R*sin(alfa);

11. # Проекции скорости точки М на оси координат: #

15. # Проекции ускорения точки М на координатные оси: #

19. # Кинематические параметры: #

20. Vабс = sqrt(VxM^2+VyM^2+VzM^2); # скорость т. М#

21. Aабс = sqrt(AxM^2+AyM^2+AzM^2); # ускорение т. М#

22. # Кроме того, можно найти для контроля: #

23. # Относительные скорость и ускорения точки М: #

25. Aотнt = Vотн’t;

26. Aотнn = Vотн^2/R;

27. Aотн = sqrt(Aотнt^2+Aотнn^2);

28. # Переносные скорость и ускорения точки М: #

30. Aперt = Fi’t’t*r;

31. Aперn = Fi’t^2*(abs(r));

32. Aпер = sqrt(Aперt^2+Aперn^2);

33. #Ускорение Кориолиса#

34. AКор = 2*abs((Fi’t*Vотн*sin(alfa)));

Пояснения к тексту файла исходных данных

Для удобства ссылок при пояснении текст файла представлен пронумерованными строками (при записи файла на ПК нумеровать строки не надо). В некоторых строках знаки ‘=’, ‘:=’ обрамлены пробелами для лучшей наглядности – это не влияет на правильность чтения данных программой.

Строки с номерами 1, 2, 36-40, начинающиеся со слов: РАБОТА, ВЫПОЛНИЛ, ВАРЬИРОВАТЬ, ПЕЧАТЬ, РАСЧЕТ, КОНЕЦ, представляют собой «инструкции», задающие соответственно номер работы, исполнителя, диапазон изменения времени, список переменных для графического вывода их зависимости от времени, вид расчета и конец читаемой программой части файла исходных данных (за инструкцией КОНЕЦ; можно располагать любую информацию – она никоим образом не повлияет на расчеты).

В строках 3-7, 11, 15 и других записаны «комментарии», облегчающие чтение файла. Выражения в строках 4, 5, 6 и других представляют «формулы», с помощью которых записывают решение задачи по определению кинематических параметров.

Лекции и примеры решения задач механики

Задачи кинематики твердого тела

В кинематике твердого тела определяются закон движения и кинематические характеристики абсолютно твердого тела, а также кинематические характеристики точек тела.

Абсолютно твердым телом называется материальное тело, в котором расстояния между любыми двумя его точками остается постоянным.

Существуют две основные задачи кинематики твердого тела:

  1. задание движения и определение кинематических характеристик движения тела;
  2. определение кинематических характеристик движения (траектории, скорости и ускорения) отдельных точек тела.

Можно выделить пять видов движения твердого тела:

Кинематика плоского движения твердого тела примеры решения задач

В технике угловую скорость часто определяют числом оборотов в минуту (n об/мин). Связь между этими единицами измерения дается формулой

Угловое ускорение тела ε в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота,

и измеряется в рад/сек 2 . Если знаки  и  одинаковы, то вращение тела ускоренное, в противном случае – замедленное. Угловое ускорение тела можно также изобразить в виде вектора , направленного по оси вращения и совпадающего с направлением вектора , если вращение тела ускоренное (рис. 3, б), и противоположно направленного, если замедленное.

В случае равномерного вращения, то есть когда угловая скорость ω постоянна, закон вращательного движения имеет вид:

где – начальный угол отсчета угла поворота.

При равнопеременном вращении, то есть когда постоянно угловое ускорение ε, угловая скорость ω и угол поворота φ (закон движения) определяются формулами

где – угловая скорость и угол поворота в момент времени начала отсчета (начальные условия). Обычно момент времени начала отсчета принимают равным нулю.

Скорость и ускорение точки тела при вращательном движении определяют исходя из естественного способа задания движения, используя кинематические характеристики вращательного движения. Так как длина дуги окружности равна , гдеh – расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности), то из формулы (13) следует:

Вектор скорости перпендикулярен радиусу окружности, которую описывает точка при своем движении, и направлен в сторону вращения тела (рис. 3, а).

Ускорение точки определим через его составляющие, применяя формулы (14), (15), (16):

касательное или тангенциальное ускорение (вектор этого ускорения совпадает по направлению с направлением вектора скорости, если знаки угловой скорости и углового ускорения одинаковы);

нормальное или центростремительное ускорение (направлено по радиусу к оси вращения).

Полное ускорение точки определяется по модулю выражением (рис. 3, б):

Скорость точки можно записать в векторной форме, которую называют формулой Эйлера

где – радиус-вектор точки, проведенный из любой точки на оси вращения. Эта формула определяет скорость точки тела как по модулю, так и по направлению. Используя эту формулу, можно получить векторные формулы для определения составляющих ускорения точки тела:

а) касательное, или тангенциальное ускорение

б) нормальное, или центростремительное ускорение

В векторной форме полное ускорение точки записывают в виде:

2.3. Плоское (плоскопараллельное) движение тела

Движение тела называют плоским, если все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Так как любая прямая, проведенная в теле перпендикулярно неподвижной плоскости движется поступательно, то есть все ее точки движутся одинаково, то для изучения движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью Q, параллельной неподвижной плоскости.

Закон плоского движения записывают как зависимость от времени t координат некоторой его точки, называемой полюсом, например точки А, т. е. и угла поворота вокруг полюса , который отсчитывают от направления некоторой прямой АВ, проведенной в сечении плоской фигуры и одной из координатных осей, например с осьюx. Уравнения

позволяют найти закон движения произвольной точки сечения плоской фигуры (рис. 4).

Пусть длина отрезка АВ = b, тогда закон движения точки В запишется в виде

Для произвольной точки М плоской фигуры, у которой прямая АМ = d составляет с прямой АВ угол α, закон движения этой точки запишется в виде

Так как угол α величина постоянная, то здесь только те же три величины зависят от времени.

Плоское движение можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса. Необходимо отметить, что поступательная часть движения зависит от выбора полюса, а вращательная часть не зависит, то есть вращение вокруг любого полюса происходит с одним и тем же значением угловой скорости ω и углового ускорения ε. Векторы угловой скорости и углового ускорения считают направленными перпендикулярно к плоскости движения.

Определение скорости точки при плоском движении тела

За полюс выбирают точку, у которой линейные скорость и ускорение известны либо могут быть определены по данным задачи. В векторной форме выражение скорости произвольной точки В имеет вид:

где – скорость полюса, скорость точки В при вращении тела вокруг полюса А.

В векторной форме эта скорость определяется формулой

По модулю эта скорость равна

и направлена перпендикулярно отрезку АВ в сторону поворота тела.

Таким образом, выражение скорости точки может быть записано в виде

Формула (34) выражает теорему о распределении скоростей: «Скорость точки плоской фигуры складывается из скорости точки, принятой за полюс, и скорости при вращательном движении вокруг полюса».

Так как вектор перпендикулярен отрезку АВ (рис. 5), то из формулы (34) следует теорема: «Проекции скоростей двух точек сечения тела (плоской фигуры) на прямую, соединяющую их, равны». Если обозначить угол с направлением вектора скорости и прямой через , а с направлением через , то получим выражение этой теоремы в виде

Из формулы (31) следует, что если за полюс выбрать точку, скорость которой в данный момент времени равна нулю, то формула (31) упростится. Если тело не совершает поступательного движения, то такая точка существует, и притом одна. Ее называют мгновенным центром скоростей (МЦС) и часто обозначают через Р (рис. 6). Тогда для произвольной точки М сечения тела можно записать выражение ее скорости в виде

и по модулю она равна

МР – расстояние точки М до мгновенного центра скоростей. Вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку в сторону поворота плоской фигуры.

В общем случае мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через две точки сечения тела к направлению их скоростей.

Имеются частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей (МЦС).

1. При качении без скольжения плоской фигуры по неподвижной поверхности, МЦС (точка P, рис. 7) находится в точке контакта поверхностей.

2. Направление скоростей двух точек сечения тела имеют к ним общий перпендикуляр (рис. 8).

В этом случае используют пропорциональность модуля скорости точек сечения тела их расстоянию до МЦС. Обозначим модуль скорости точки А через , точки В через и расстояние между точками равным АВ, тогда можно определить угловую скорость телаω:

— в случае одинакового направления скоростей и > (рис. 8,а)

— в случае противоположного направления скоростей (рис. 8, б)

Тогда расстояние от этих точек до МЦС, то есть его положение на общем перпендикуляре к скоростям, определяется формулами

3. Если перпендикуляры к скоростям двух точек сечения тела пересекаются в бесконечности или скорости точек равны, то тело совершает мгновенно поступательное движение, его угловая скорость ω равна нулю, и все точки тела имеют одинаковые скорости (рис. 9).

Скорость точки можно определить и в аналитической форме на основании формул (30), то есть через проекции вектора скорости точки на неподвижные оси координат:

В этих формулах – искомые скорости точки М в проекциях на неподвижные оси координат; – проекции скорости полюса на неподвижные оси; – угловая скорость плоской фигуры; координаты полюса А и точки М в неподвижной системе координат соответственно. Модуль скорости точки М по известным проекциям определяется формулой

Определение ускорения точки при плоском движении тела

Взяв от уравнения (34) производную по времени, получим теорему о распределении ускорений точек при плоском движении тела:

Из формулы (44) следует: «Ускорение точки плоской фигуры складывается из ускорения полюса и ускорения при вращательном движении вокруг полюса».

В этой формуле полное ускорение произвольной точки В плоской фигуры; ускорение полюса; центростремительное ускорение при вращении фигуры вокруг полюса и направлено к полюсу; вращательное ускорение вокруг полюса и направлено перпендикулярно прямой АВ в сторону направления углового ускорения ; ускорение точки В при вращении плоской фигуры вокруг полюса А (рис. 10). При этом

В векторной форме ускорение

а по модулю оно равно

Это ускорение из точки В направлено под углом к лучу ВА, тангенс угла равен

Из уравнений (41),(42) можно получить ускорения точки в аналитической форме, то есть через проекции на неподвижные оси координат: