Презентация по геометрии на тему: «Касательная к окружности. Решение задач» (8 класс)

Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

«КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ» 8 класс

Цели урока: 1. Закрепить теоретический материал п. 69; 2. Совершенствовать навыки решения задач по теме урока.

Теоретический опрос: — Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной. — Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки. — Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (№ 639) Решение:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ: 1) Дано: R=5, AB – каса — тельная. Найти: OB.

2) Дано: AB – каса — тельная; AB=12, OB=13. Найти: R.

3) Дано: AB, BC – каса — тельные, OB=2, AO=4. Найти: .

4) Дано: AB – каса — тельная, R=6, AO= =OB. Найти: AO.

5) Дано: M, N, K – точки касания. Найти: .

Решение задач: № 641; № 644; № 647.

Домашнее задание: § 1, п. 68 – 69, № 634, № 636, № 639.

Цель урока, к которому составлена презентация, — совершенствование навыков решения задач по теме урока. В начале урока ученики отвечают на теоретические вопросы с целью закрепления изученного материала. Затем вместе с учителем проверяют домашнюю работу. Далее учащимся предлагается решение задач по готовым чертежам с целью закрепления всех изученных свойств касательной. Все задачи представлены с решениями, поэтому после самостоятельного решения ученики проверяют правильность выполнения задач. Далее ученикам предлагается решение задач учебника. Домашнее задание также из учебника.

  • Тараскина Наталья Александровна
  • 8647
  • 17.11.2014

Номер материала: 123131

Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Урок геометрии в 8-м классе «Касательная к окружности»

Разделы: Математика

Цели:

  • ввести понятие касательной, точки касания,
  • рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач в природе и технике.

Образовательные:

  1. Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности,
  2. Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.

Воспитательные:

  1. Развивать мышление и речь учащихся,
  2. Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии,
  3. Привитие интереса к математике.

Практические: сформировать умение строить касательную к окружности, рассмотреть примеры в природе и технике.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

  • Карточки с заданиями,
  • Циркуль, треугольник, линейка
  • Мультимедийный проектор, слайды,
  • Модель “Дуб и кот”, маркер.

Оформление кабинета:

  • Рисунки детей “У лукоморья дуб зелёный…”
  • Плакат с высказыванием Козьмы Пруткова

“Наука изощряет ум; ученье вострит память”

I. Организационный момент. (1мин.)

Постановка целей урока.

Ребята этот урок мы посвятим изучению свойства касательной к окружности, научимся строить её. Рассмотрим применение касательной для построения кривых.

II. Повторение изученного материала. (4минут)

1) У каждого ученика карточка с копиркой.

Учащиеся сдают листочки с ответами.

Учитель зачитывает предложение полностью, ученик у которого ответ неверный ставит “минус”, верный – “плюс”.

III. Подготовка к восприятию нового материала. (5минут)

В тетради начертить окружность произвольного радиуса с центром в точке О, провести три прямые, так чтобы получилось разное количество общих точек у прямой и окружности.

Один ученик выполняет задание у доски.

d r нет общих точек

d=r 1 общая точка

IV. Объяснение нового материала. (7минут)

На этом уроке мы рассмотрим свойства окружности и прямой c.

1. Работа с учебником.

На страница 159 найти и прочитать определение касательной к окружности.

Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Назвать на рисунке точку касания и прямую касательную к окружности.

(C— точка касания, прямая с – касательная к окружности)

Какими же свойствами обладает эта прямая? Чтобы ответить на этот вопрос —

проведите отрезок соединяющий центр окружности и точку касания, измерьте получившийся угол. (90 )

— Что можно сказать о касательной и радиусе? — Они перпендикулярны.

2. Прочтите теорему.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство разбирается в ходе беседы.

Учащиеся делают новый чертёж.

Допустим, что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА(На рисунке сделать построение другим цветом). Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с радиусом окружности.

Назовите перпендикуляр к прямой р ОВ

-Расстояние от точки О до прямой р , это ОВ, меньше радиуса окружности ОА, который в данном случае будет являться наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р – перпендикуляр, а, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой, т. е. ОВ

A к окружности, А-точка касания.

Предположим, что р ОА, тогда ОА наклонная к прямой р, а ОВ р, т. к. ОВ

У Лукоморья дуб зелёный
Златая цепь на дубе том.
И днём и ночью кот учёный
Всё ходит по цепи кругом.

Нам эти строки знакомы с детства, мы никогда не задумывались над тем, какую линию вычерчивает кот.

Как вы думаете, что это за линия? (Чаще всего ученики отвечают – окружность)

Два ученика, выходят к столу, на котором расположен ватман, макет дуба и небольшой котёнок (мягкая игрушка), к которому прикреплен маркер, привязанный к “дубу”.

Один ученик придерживает “дуб”, а второй передвигает игрушку “по цепи кругом”. На ватмане вычерчивается кривая.

Учитель показывает слайды построения эвольвенты. Приложение №2. Слайд 3.

Таким образом для построения этой кривой надо хорошо уметь строить касательную в заданной точке.

Ученикам раздаются карточки на которых написан порядок построения эвольвенты. Приложение №1.

После выполнения построения — лучшие работы оцениваются.

С этой же кривой связана и биология . (2 минуты)

1. Ученик рассказывает о берёзовом долгоносике, демонстрируя разрез листа и сворачивает его.

2. Ученик рассказывает о практическом применение касательной к окружности.

КОВШОВАЯ ГИДРОТУРБИНА (ПЕЛТОНА ТУРБИНА)

Гидротурбина, у которой вода (пар) на лопасти (ковши) рабочего колеса поступает через сопла по касательной к окружности, проходящей через середину ковша. Применяют при напорах св. 500 м. Мощность до 110 МВт. Патент на ковшовую гидротурбину в 1889 получил американский инженер А. Пелтон.

VI. Подведение итогов.

Оценки выставляются с учётом диктанта, активности на уроке, за построение эвольвенты. Рефлексия. Приложение №1.

VII. Домашнее задание.

П. 69, вопросы 1-4, №634, решить задачи по готовым чертежам, дополнительную задачу.

Литература:

  1. Н. Ф. Гаврилова Поурочные разработки по геометрии 8 класс. Москва “ВАКО”, 2005.
  2. А. Азевич. Кривые мудрого жучка.
  3. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. “Тезис”, Екатеринбург, 1994
  4. С. Акимова. Занимательная математика. Нескучный учебник. Тригон, С-Петербург,1997.

Разработка урока по геометрии 8 класс на тему «Касательная к окружности»

Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»

Нижегородская область Ветлужский район

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Урок изучения нового: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»

Урок решения ключевых задач: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»

Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф.Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

§ 1. Касательная к окружности.

606860 Нижегородская область Ветлужский район

с. Белышево МОУ Белышевская школа

Урок изучения нового: Касательная к окружности, ее свойство и признак

• Ввести понятие касательной к окружности и точки касания.

• Сформулировать и доказать свойство касательной и ее признак, показать их применение при решении задач.

Диагностические цели урока:

Учащиеся должны знать:

определение касательной к окружности, точки касания;

Учащиеся должны уметь:

Формулировать и доказывать теорему о свойстве касательной к окружности и ее признак;

Развивающая:

развивать логическое мышление;

умения применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная:

воспитывать аккуратность, культуру геометрической речи.

Доска, мел, рисунки, текст теста.

Повторение изученного ранее – 5 мин.

Актуализация знаний учащихся – 3 мин.

Мотивация учебной деятельности – 2 мин.

Постановка целей и учебных задач – 3 мин.

Сообщение темы урока – 2 мин.

Ознакомление с новым материалом – 25 мин.

Подведение итога урока и постановка домашнего задания –5 мин.

I . Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация знаний учащихся

Два ученика готовят решение домашних задач на доске, пока ос­тальные учащиеся решают тест. Задания теста в распечатанном виде раздать на каждую парту.

Проверка домашнего задания

Проверить домашние задачи № 632, 633.

Расстояние от точки А до центра окружности мень­ше радиуса окружности. Докажите, что любая пря­мая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

К раткое решение (см. рис.):

Пусть р произвольная прямая и на ней отложим два отрезка AB и АС такие, что AB = AC = . По теореме Пифагора ОВ = ОС = обе точки В и С лежат на окружности, значит, прямая р является секущей по отношению к данной окружности.

Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

К раткое решение (см. рис.):

АСО — прямоугольный, так как ОАВС — квадрат. По теореме Пифагора АС 2 = АО 2 + ОС 2 = 6 2 + 6 2 = 72 => АС = 6 см.

ОН — высота равнобедренного треугольника АСО, проведен­ная к его основанию => ОН- медиана этого треугольника, то есть AH = HC =3 см.

В ∆ АО H по теореме Пифагора ОН 2 = ОА 2 — АН 2 = 6 2 –( 3 ) 2 = 18 => OH = 3 см 4,2 см.

Радиус окружности равен 5 см => OH AC и окружность пересекается в двух точках. Итак, секущими по отношению к этой окружности, являются АС и ОА. АВ и ВС не являются секу­щими, так как d =ОА = ОС = 6 см > r = 5 см. Ответ: АС и О А.

Тест с целью проверки теории

1. Среди следующих утверждений укажите истинные. Окружность и прямая имеют две общие точки, если:

а) расстояние от центра окружности до прямой не превосхо­дит радиуса окружности;

б) расстояние от центра окружности до прямой меньше ра­диуса окружности;

в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса.

2. Среди следующих утверждений укажите истинные :

а) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.

б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.

в) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса.

Верный ответ: б – истинно.

3. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая не имеют общих точек, если.

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности

4. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая имеют одну общую точку, если.

Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности

5. Вставьте пропущенные слова.

Окружность и прямая имеют одну общую точку, ес­ли расстояние от . до прямой .

Верный ответ: ….центра окружности …. равно радиусу окружности

Постановка учебной задачи:

Мы познакомились с тремя видами взаимного расположения прямой и окружности и знаем как называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки – это секущая.

А сегодня мы познакомимся с определением прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, узнаем ее свойства и признаки.

II . Содержательная часть.

1 . Введение определения касательной и точки касания.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Р исунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.): р — касательная к окружности; А — точка касания.

2. Доказательство теоремы о свойстве касательной к окружности лучше провести в ходе беседы учителя с учащими­ся по рис., приготовленному на доске.

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

— Предположим, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА. Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с ра­диусом окружности.

(Расстояние от точки О — центра окружностидо прямой р меньше радиуса, так как радиус ОА в данном случае является наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой рперпендикуляром к прямой р, а как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой что и наклонная.)

Каково взаимное расположение прямой р и окружности? По­чему?

— Может ли прямая р быть касательной к окружности? Объясни.

(Прямая р не может быть касательной к окружности, так как она имеет с ней две общие точки.)

Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?

(Предположение о том, что прямая р не перпендикулярна радиусу неверное, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу.)

3. Ввести понятие отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Определение: Отрезки АВ и АС называются отрезками каса­тельных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С — точками касания.

Р исунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.):

АВ и АС — отрезки касательных, про­веденных из точки А.

В и С- точки касания.

4. Доказательство свойства отрезков ка­сательных, проведенных из одной точки.

Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо­дящей через эту точку и центр окружности.

Для выполнения творческого задания дать учащимся 3-5 минут, а затем обсудить различные варианты решений. Если учащиеся не смогли самостоятельно справится с заданием, выполнить задание, используя наводящие вопросы.

П о теореме о свойствах касательной к окружности АВ ОВ и АС ОС => ∆ АОВ и ∆ АОС — прямоугольные, они равны по кате­ту (ОВ = ОС) и гипотенузе (ОА) =>АВ = АС и 1 = 2.

Соединим точки А и О отрезком. Что вы можете сказать о тре­угольниках АОВ и АОС ?

Чем является луч АО для угла ВАС ? О чем это говорит?

5. Знакомство с признаком касательной и его доказательство.

— Сформулируйте теорему, обратную свойству касательной к окружности.

Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежа­щий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

— Верна ли теорема, обратная свойству касательной к окружности?

— Докажите ее справедливость.

(По условию теоремы радиус яв­ляется перпендикуляром к прямой, значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Это говорит о том, что прямая и окружность имеют одну общую точку, т. е. прямая является касательной к окружности.)

6. Решение задачи на построение.

Д ана окружность с центром в точке О и точка М на ней. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М (см. рис.).

Вопросы для обсуждения:

Предположим, а — касательная к окружности, проходящая че­рез точку М. Каково взаимное расположение прямой а и ра­диуса ОМ ?

Как построить касательную к окружности, проходящую через М ?

IV . Закрепление изученного материала

Разобрать решение задачи № 638.

Прямая АВ касается окружности с центром О радиу­са r в точке В. Найдите АВ, если ОА =2см, а r = 1,5 см.

АОВ — прямоугольный, по теореме Пифагора

Как построить касательную к окружности?

(Сначала провести радиус ОВ, где Вточка касания, затем провести прямую АВ так, что АВ ОВ.)

Докажите, что прямая АВ является касательной к окружности.

(По признаку касательной к окружности.)

2 . Решить самостоятельно задачи № 640, 635, 637.

Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к ок­ружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см

К раткое решение (см. рис.):

АОВ прямоугольный, ОА = 9 см, ОВ = 4,5 см => ВАО = 30°.

Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Краткое решение (см. рис.):

В ∆ АОВ ОА = АВ по условию задачи, ОВ = ОА как радиусы одной окружности => ∆АОВ — равносторонний, ОАВ = 60°.

Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке В. Докажите, что треугольник АСО равнобедренный.

К раткое решение (см. рис.):

АОС — равнобедренный (ОА = ОС как радиусы) => 1 = 30°, ОС С D (радиус окружности перпендикулярен касательной) => ОС D = 90°.

АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных из точки В к ок­ружности с центром О. Найдите АВ и ВС, если ОА = 16 см, а радиу­сы, проведенные к точкам касания, взаимно перпендикулярны.

Т. к. ВА и ВС — отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, то ОА АВ, ОС СВ, АВ = ВС и 1 = 2 => A ОВ = СОВ.

Т. к. ОА ОС и A ОВ = СОВ = 45° => 1=45°, 2 = 45°.

АОВ — равнобедренный с основанием ОВ, значит, ОА = АВ.

V . Подведение итогов урока

П. 69, вопросы 3-7;

Решить задачи № 634, 636, 639 учебника.

• Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из од­ной точки и показать его применение в процессе решения задач.

Урок: Касательная к окружности. Решение задач

• Закрепить теоретический материал п. 69.

• Совершенствовать навыки решения задач по теме.

I . Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

П. Актуализация знаний учащихся

(Три ученика готовятся у доски.)

— Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

— Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков каса­тельных к окружности, проведенных из одной точки.

— Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Проверка домашнего задания

Проверить домашнюю задачу № 639 через графопроектор.

Прямая АВ касается окружности с центром О радиу­са r в точке В . Найдите АВ, если АОВ = 60°, а r = 12 см.

АОВ- прямоугольный, А = 90° — О = 30° => ОВ = ОА => ОА = 24 см.

По теореме Пифагора АВ = (см).

— Каково взаимное расположение касательной АВ и радиуса ОВ.

Как найти катет АВ треугольника АОВ?

Далее можно заслушать учащихся, подготовивших у доски дока­зательства теорем.

Решение задач на готовых чертежах

(Самостоятельно с последующей проверкой по готовым ответам.)