Примеры и задачи по метрологии

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений по предмету «Метрология, стандартизация, сертификация» для студентов. Также поможем решить метрологию (задачи, контрольные, практические работы) на заказ.

Решения задач по метрологии онлайн

Задача 1. При поверке вольтметра с пределом измерения U0 по образцовому прибору класса 0,1 с тем же пределом измерения поверяемый вольтметр показал величину U1, а образцовый – U2.
Необходимо:
а) определить абсолютную и приведенную погрешности поверяемого прибора в точке измерения; привести таблицу классов точности согласно ГОСТ 8.401 «ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования» и определить класс точности поверяемого прибора, считая, что найденная погрешность является максимальной;
б) определить величину сопротивления RD, включенного последовательно с поверяемым вольтметром, имеющим внутреннее сопротивление RN, если при отсутствии RD вольтметр показал U1, а при включении RD – U3.
Данные для задачи вариант 6: U0 =450, U1 =322, U2 =320,5 U3 =80,5 В; RN=110 кОм.

Задача 2. Начертить эскиз электроизмерительного прибора заданного принципа действия. На эскизе обозначить цифрами основные детали прибора. Пояснить принцип действия прибора, написать и пояснить выражение для вращающего момента на оси (уравнение шкалы). Указать, для измерения каких электрических и неэлектрических величин применяются на судах данные приборы, какими основными эксплуатационными свойствами они обладают.
Электродинамический прибор с механическим противодействующим моментом Схема включения двухэлементного ваттметра для измерения активной мощности в трехфазной сети (с использованием измерительных трансформаторов)

Задача 3. Магнитоэлектрический прибор, имеющий ток полного отклонения рамки In сопротивление рамки Rр и количество делений на шкале А, должен быть применен для измерения тока Ix и напряжения Ux (Ix и Ux – верхние пределы прибора).
Определить:
а) сопротивление шунта для случая использования прибора в качестве амперметра;
б) добавочное сопротивление для случая использования прибора в качестве вольтметра;
в) постоянную шкалы и чувствительность при использовании прибора в качестве вольтметра и амперметра;
г) мощность, рассеиваемую в рамке, в шунте и в добавочном сопротивлении.
Данные для задачи: In=5, мА, Rр=15, Ом, А=150, дел., Ix=30, A, Ux=75, B

Задача 4. Амперметр с пределами измерений $I_n$ показывает $I_x$. Погрешность от подключения амперметра в цепь $\Delta_s$. Среднее квадратическое отклонение показаний прибора $\sigma_I$. Рассчитать доверительный интервал для истинного значения измеряемой силы тока цепи с вероятностью $Р = 0,9544$ ($t_p= 2$) .

Задача 5. При измерении напряжения источника питания получены следующие результаты, В: 9,78; 9,65; 9,83; 9,69; 9,74; 9,80; 9,68: 9,71; 9,81. Найти результат и погрешность измерения напряжения и записать в стандартной форме, если систематическая погрешность отсутствует, а случайная распределена по нормальному закону.

Метрология, стандартизация и сертификация

по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

По величинам расчетных характеристик сопряжений деталей 1-2 и 3-5 (табл.1) выбрать в системе отверстия стандартные посадки с зазором (1-2) и с натягом (3-5). Построить поля допусков и рассчитать допуски посадок, предельные размеры и допуски сопрягаемых деталей, выполнить эскизы деталей и их соединений с простановкой точности сопрягаемых размеров.

Посадка с зазором.

В соответствии с вариантом №73: номинальный диаметр соединения равен 63 мм, предельно допустимые эксплуатационные зазоры [ ]=120 мкм, [ ]=50 мкм.

Рассчитываем допуск соединения: с зазором = 120 – 50 =70 (мкм).

Рассчитываем допуски сопрягаемых деталей, исходя из условия, что детали выполнены с одинаковой точностью и , , по формуле = 70/2 = 35 (мкм).

Устанавливаем номер квалитета по стандартному допуску, ближайшему к расчитанному (табл.1.8, с.43) /1/.

Квалитет 7-й, допуск по которому для размера 63 мм равен 30 мкм.

Для интервала номинальных размеров свыше 50 до 80 мм в посадке предельные зазоры равны:

Smax = 120 мкм, Smin = 60 мкм (табл.1.47) /1/.

Определяем предельные отклонения сопрягаемых деталей по табл. 1.27 и 1.28 /1/:

Для отверстия H7 ES=+30 мкм, EI=0;

для вала e7 es=-60 мкм, ei=-90 мкм.

Рассчитываем предельные характеристики посадки по выбранным предельным отклонениям сопрягаемых деталей:

=30 – (-90) = 120 (мкм)

Проверяем выполнение неравенств для посадки с зазором:

: 120 мкм = 120 мкм/

Строим схемы расположения полей допусков сопрягаемых деталей в выбранной посадке, как показано на рисунке 1.

= 120 – 60 = 60 (мкм)

Рисунок 1 – Схема посадки с зазором

Рассчитываем предельные размеры и допуски сопрягаемых деталей.

Предельные размеры отверстия:

— наибольший предельный размер

Dmax = D + ES = 63 + 0,030= 63,030 (мм);

— наименьший предельный размер

Dmin = D + EI = 63 + 0= 63 (мм).

Предельные размеры вала, соответственно:

dmax = d + es = 63 + (-0,060)= 62,940 (мм);

dmin = d +ei = 63 + (-0,090)= 62,910 (мм).

Допуски сопрягаемых деталей:

Отверстия TD = Dmax – Dmin = ES – EI = 63,030 – 63 =0,030 (мм);

вала Td = dmax – dmin = es – ei = 62,940 – 62,910=0,030 (мм).

Рассчитываем допуск посадки с зазором

= 120 – 60 = 60 (мкм);

по другой формуле

TS = TD + Td = 0,030+0,030= 0,060 (мм) = 60 (мкм).

Посадка с натягом.

В соответствии с вариантом № 73 для посадки с натягом исходные данные: номинальный диаметр 180 мм, предельно допустимым эксплуатационным натягам [ ]=120 мкм. [ ]=40 мкм.

Рассчитываем допуск соединения с натягом:

= 120 – 40 = 80 (мкм)

Рассчитываем допуски сопрягаемых деталей, исходя из условия, что детали выполнены с одинаковой точностью и , , по формуле = 80/2 = 40 (мкм).

Для интервала номинальных размеров свыше 160 до 180 мм в посадке определяем предельные отклонения сопрягаемых деталей по табл. 1.27 и 1.30 /1/:

Для отверстия H7 ES=+25 мкм, EI=0;

для вала r7 es=108 мкм, ei=68 мкм.

Предельные натяги равны:

Nmax = dmax – Dmin = es – EI = 0,108 – 0 = 0,108 (мм)= 108 (мкм),

Nmin = dmin – Dmax = ei – ES = 0,068 – 0,025 = 0,043 (мм) = 43 (мкм).

Проверяем выполнение неравенства для посадки с натягом

Сборник примеров и задач по метрологии

Введение

Данное учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по основным разделам метрологии: международная система единиц, погрешности результатов и средств измерений, случайные погрешности и обработка результатов измерения, оценка погрешности косвенных измерений, методы нормирования погрешностей средств измерений.

Приводятся основные определения и формулы, необходимые для решения задач. Типовые задачи снабжены пояснениями и развернутыми решениями; остальные задачи снабжены ответами для контроля правильности решения. Все физические величины задаются в международной системе единиц (СИ).

При решении задач необходимо выписывать формулы в буквенном выражении, подставлять в них числовые значения и после вычислений привести окончательный результат с указанием погрешности и единиц измерения.

Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу «Метрология» и других дисциплин, содержащих разделы метрологического обеспечения.

1. Международная система единиц (СИ)

1.1. Основные сведения

С 1 января 1982 года в нашей стране введен в действие ГОСТ 8.417-81 «ГСИ. Единицы физических величин», в соответствии с которым осуществлен переход на Международную систему единиц (СИ) во всех областях науки, техники, народного хозяйства, а также в учебном процессе во всех учебных заведениях.

Международная система СИ содержит семь основных единиц для измерения следующих величин:

— масса: килограмм (кг),

— время: секунда (с),

— сила электрического тока: ампер (А),

— термодинамическая температура: кельвин (К),

— сила света: кандела (кд),

— количество вещества: моль (моль).

Производные единицы системы СИ (в количестве более 130) образуются с помощью простейших уравнений между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны единице. Наряду с основными и производными единицами система СИ допускает использование десятичных кратных и дольных единиц, образованных умножением исходных единиц СИ на число 10 n , где n может быть положительным или отрицательным целым числом.

1.2. Задачи и примеры

1.2.1. Как выразится единица электрического напряжения (вольт, В) через основные единицы системы СИ? [9]

Решение. Воспользуемся следующим уравнением для напряжения , где Р – мощность, выделяющаяся на участке цепи при протекании в ней тока I. Следовательно, 1 В – это электрическое напряжение, вызывающее в электрической цепи постоянный ток силой в 1 А при мощности в 1 Вт. Дальнейшие преобразования:

Таким образом получим соотношение, в котором все величины выражаются через основные единицы системы СИ. Следовательно, .

1.2.2. Как выражается единица электрической емкости (фарад, Ф) через основные единицы системы СИ?

1.2.3. Как выражается единица электрической проводимости (сименс, См) через основные единицы системы СИ?

1.2.4. Как выражается единица измерения удельного электрического сопротивления ( ) через основные единицы системы СИ?

1.2.5. Как выражается единица измерения электрической индуктивности (генри, Гн) через основные единицы системы СИ?

1.2.6. Как выражается единица магнитной индукции (тесла, Тл) через основные единицы системы СИ?

1.2.7. Размерность физической величины Х записана в виде формулы размерности через прописные буквы L, M, T, I согласно международного стандарта [10]. Запишите выражение единиц этой величины через основные единицы системы СИ, укажите ее наименование и физическую величину, которая в ней измеряется.

Решение. При решении этой задачи удобно перейти от обозначений размерности к обозначениям физических величин в виде: длина . l, масса , время . Тогда .

Следовательно, данная физическая величина является давлением, единица измерения которой паскаль (Па).

1.2.8. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: работа, энергия, джоуль (Дж).

1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: электрическое сопротивление, Ом.

1.2.10. 1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

1.2.11. 1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если

Ответ: напряженность электрического поля, вольт на метр (В/м).

1.2.12. Заданные физические величины, выраженные во внесистемных единицах, запишите через основные единицы системы СИ: 16 суток, 5 угловых градусов, 20 С, 212 F (Фаренгейта).

Ответ: 1382400 с; 0,087 рад; 293,15 К; 373 К.

2. Виды измерений

2.1. Основные сведения

По способу получения числового значения измеряемой величины все измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные.

Прямым называют измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.

Косвенным измерением называют измерение, результат которого определяют на основании прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью.

Совокупными называют измерения, при которых проводятся одновременно измерения нескольких одноименных величин с определением искомой величины путем решения системы уравнений.

Совместными называют измерения, при которых одновременно проводятся измерения не одноименных физических величин с целью нахождения зависимости между ними.

2.2. Задачи и примеры

2.2.1. Отрезок проволоки длиной l = 1м и диаметром d = 0,1мм имеет электрическое сопротивление R = 51 Ом. Из какого материала сделана проволока и к какому виду относятся эти измерения?

Решение. Сопротивление отрезка проволоки определяется соотношением , где — удельное электрическое сопротивление (постоянная для данного материала величина), l – длина проволоки, S – площадь поперечного сечения. Следовательно, для идентификации материала можно использовать значение его удельного сопротивления.

Определим площадь поперечного сечения:

Тогда удельное сопротивление будет равно:

Материал с таким значением удельного электрического сопротивления является манганин. Исходные параметры отрезка проволоки были измерены с помощью прямых измерений, а неизвестная величина – с помощью известной функциональной зависимости. Следовательно, в этом случае применялся косвенный вид измерений.

2.2.2. Для идентификации материала, из которого сделан цилиндр, штангенциркулем измерим его диаметр d = 1 см и высоту h = 5 см. Из какого материала сделан цилиндр, если его масса, определенная взвешиванием, оказалась равной m = 0,0349 кг? К какому виду относятся эти измерения?

2.2.3. Для определения коэффициента взаимоиндуктивности М двух катушек была измерена индуктивность при согласном Lc = 25мГн и встречном включении Lв = 1 мГн катушек. Чему равен коэффициент взаимоиндуктивности и к какому виду относятся эти измерения?

2.2.4. Для определения сопротивления обмоток электродвигателя, включенных звездой (рис. 2.1), были измерены сопротивления между зажимами обмоток .

Чему равны сопротивления обмоток и к какому виду относятся эти измерения?

2.2.5. Для определения емкостей конденсаторов С1 и С2 они были включены последовательно, потом – параллельно. При последовательном включении был получен результат Спос = 2 мкФ, при параллельном – Спар = 8 мкФ. Чему равны емкости конденсаторов С1 и С2 и к какому виду относятся эти измерения?

2.2.6. Для определения сопротивления R1 и R2 измерили сопротивление при их последовательном Rпос = 10 кОм и при параллельном Rпар = 2,5 кОм включении. Чему равны сопротивления R1 и R2 и к какому виду относятся эти измерения?

2.2.7. При нагревании сопротивление металлического резистора определяется соотношением , где R0 – сопротивление при , — температурный коэффициент сопротивления. Сопротивление резистора было измерено при двух температурах: — и получены значения сопротивлений резистора Ом, Ом. Определите параметры резистора R0 и , установите материал, из которого изготовлен резистор, и укажите, к какому виду относятся эти измерения?

2.2.8. ТермоЭДС, возникающая в спае медь-свинец, определяется соотношением: , где — температура нагретого спая (свободные концы находятся при температуре С). Для определения коэффициентов А и В были измерены термо ЭДС при двух температурах: С и С, — и получены значения е1 = 57,6 мкВ, е2 = 336 мкВ. Чему равны коэффициенты А и В и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: А = 2,76 мкв/ С; В = мкВ/ С 2

2.2.9. Решите задачу, аналогичную 2.2.8. при следующих условиях: спай – цинк-свинец, е1 = 29,5 мкВ при С и е2 = 180 мкВ при С.

Ответ: А = 3,05 мкв/ С; В = -0,01 мкВ/ С 2 .

2.2.10. При нагревании сопротивление термистора изменяется по закону , где А и В – постоянные коэффициенты, Т – абсолютная температура, К. Было измерено сопротивление термистора: при температуре С R1 = 5 кОм и при температуре С R2 = 0,676 кОм. Определите параметры термистора А и В и на основании их установить его тип. К какому виду относятся эти изменения?

Ответ: А = 293 мкОм; В = 4880 К; КМТ – 8.

2.2.11. Решите задачу, аналогичную 2.2.10. при значениях R1 = 100 Ом при С, R2 = 11,2 Ом при С.

Ответ: А = 3,69 мОм; В = 2991 К; ММТ-9.

3. Погрешность измерений

3.1. Основные сведения

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины (МИ 2247-93). Погрешности измерений определяются, главным образом, погрешностями средств измерений (СрИз), но это понятия не идентичные.

По месту возникновения различают инструментальные погрешности и методические. Инструментальными погрешностями СрИз называют такие, которые принадлежат данному средству измерений и возникают вследствие недостаточно высокого качества его элементов. Методические погрешности связаны не с самим средством измерений, а с методом проведения измерений. Причинами появления методических погрешностей являются также неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины.

Статические и динамические погрешности, присущие как средствам, так и методам измерений, различают по их зависимости от скорости изменения измеряемой величины во времени. Погрешности, не зависящие от этой скорости, называются статическими. Погрешности же отсутствующие, когда эта скорость близка к нулю, и возрастающие при ее отклонении от нуля, называются динамическими. Динамической погрешностью средства измерения является разность между погрешностью средства измерения в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени.

В зависимости от характера изменения, возможностей устранения и причин возникновения различают систематические, прогрессивные и случайные погрешности.

Систематическими называют погрешности измерений, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессивными называются погрешности, медленно изменяющиеся во времени.

Случайными называются погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. При этом процесс появления случайных погрешностей средств и результатов измерений за вычетом систематических и прогрессивных погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную и относительную погрешности измерений.

Абсолютной погрешностью ( ) называют разность между измеренным и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

где Х – результат измерения;

Хист – истинное значение измеряемой величины;

ХД – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения ( ) представляет собой отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины и выражается в процентах или долях измеряемой величины.

3.2. Задачи и примеры

3.2.1. Для измерения ЭДС Е = 2,5 В источника с внутренним сопротивлением R0 = 10 Ом использован вольтметр с внутренним сопротивлением Rv = 1000 Ом. Определите абсолютную и относительную погрешности метода измерения.

Решение. Показания вольтметра, согласно рис. 3.1, равны . Следовательно, при этом возникает методическая погрешность, абсолютное значение которой согласно формуле (3.1) равно:

Относительная погрешность метода из формулы (3.2):

3.2.2. Определите относительную погрешность метода измерения ЭДС датчика рН-метра электронным вольтметром постоянного тока с входным сопротивлением RV = 10 Мом. Датчик представляет собой генератор ЭДС с внутренним сопротивлением R0= 2 МОм.

3.2.3. Электрическая цепь состоит из последовательного включенных источника ЭДС Е = 100 мВ и резистора с сопротивлением R = 100 Ом. Для измерения тока в цепь включены миллиамперметр с внутренним сопротивлением RA = 7,5 Ом. Определите относительную и абсолютную погрешности метода измерения, вызванную включением миллиамперметра. Нарисуйте схему измерения.

3.2.4. При косвенном измерении сопротивления Rx постоянному току (рис. 3.2) получены показания амперметра IА = 130,4 мА и вольтметра UV = 52,3 В. Определите относительную и абсолютную погрешности метода,

если вольтметр имеет входное сопротивление RV = 10 кОм.

3.2.5. При косвенном измерении сопротивления постоянному току Rx (рис. 3.3) показания амперметра и вольтметра соответственно равны IА = 345 мА, Uv = 5,45 В. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если амперметр имеет сопротивление RA = 0,35 Ом.

3.2.6. При косвенном измерении мощности Px, потребляемой нагрузкой Rx на постоянном токе, используется схема рис. 3.2. Показания приборов, полученные при измерении: UV = 34,5 В, IA = 210 мА. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если сопротивления приборов соответственно равны: вольтметра RV= 4000 Ом, амперметра RA = 2,5 Ом.

Решение. Приближенное значение потребляемой мощности будет равно

Этот результат будет содержать методическую погрешность, вызванную потреблением мощности вольтметром, абсолютное значение которой будет равно

Относительное значение методической погрешности будет равно

3.2.7. Решите задачу, аналогичную 3.2.6. при условии, что для измерения используется схема рис. 3.3.

3.2.8. Необходимо измерить сопротивление RХ = 10 Ом с помощью вольтметра с сопротивлением RV = 100 Ом и амперметра с сопротивлением RA = 1 Ом. Какую схему (рис. 3.2, рис. 3.3) нужно выбрать, чтобы получить меньшую погрешность метода?

Ответ: схему рис. 3.2.

3.2.9. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью ваттметра и вольтметра в соответствии с зависимостью (рис. 3.4).

Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра Pw = 100 Вт, вольтметра Uv = 150 В, входное сопротивление вольтметра Rv = 2000 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

3.2.10. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью вольтметра и амперметра (рис. 3.5) в соответствии с зависимостью . Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра PW = 100 Вт, амперметра IA = 1 A, сопротивление амперметра RA = 1 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

3.2.11. Измерительный преобразователь представляет собой апериодическое звено. Какую он должен иметь постоянную времени Т, чтобы через время установления tуст = 2,3 с относительное значение динамической погрешности было не более ?

3.2.12. После включения измерительного генератора гармонических колебаний в сеть, частота его колебаний измеряется по закону , где кГц – номинальное значение частоты генератора, считываемое с его шкалы; кГц – значение частоты в момент включения; Т = 5 мин – тепловая постоянная времени. Определите необходимое время прогрева, если допустимая погрешность установки частоты .

4. Случайные погрешности и обработка результатов измерений

4.1. Основные сведения

4.1.1. При выполнении измерений случайные и систематические погрешности появляются одновременно, поэтому погрешность измерения следует рассматривать как случайную величину, где систематическая погрешность есть математическое ожидание этой величины, а случайная погрешность — центрированная случайная величина.

4.1.2. Полным описанием случайных погрешностей являются законы их распределения: интегральный и дифференциальный , связь между которыми имеет следующий вид:

4.1.3. Числовые характеристики (моменты) закона распределения – это математическое ожидание M[ ] и дисперсия D[ ], которые определяются по формулам:

Средняя квадратическая погрешность определяется по формуле:

Вероятность попадания погрешности в интервал ( ) определяется по формулам

4.1.4. На практике наиболее часто встречаются следующие законы распределения: закон равномерной плотности, треугольный закон, нормальный закон и распределение Стьюдента.

Закон равномерной плотности имеет следующие числовые характеристики:

Числовые характеристики треугольного закона распределения:

В формулах (4.5), (4.6) и — границы закона распределения.

Нормальный закон распределения описывается формулой (4.7).

Для практического применения нормального закона необходимо принять какое-то значение измеряемой величин за истинное. В качестве такого значения принимается среднее арифметическое значение ряда измерений величины Х, полученное из формулы

где — среднее арифметическое ряда измерений (математическое ожидание), Xi i-й результат измеряемой величины из ряда (выборки) X1, X2,…,Xn, n – число измерений в ряде (объем выборки).

Тогда средняя квадратическая погрешность (СКП) измерения определяется формулой Бесселя

где — остаточная погршеность.

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического

Оценки , , называются точечными.

На практике обычно используются интервальные оценки в виде доверительной вероятности и доверительных границ погрешности (доверительного интервала). Для нормального закона доверительная вероятность P(t) определяется с помощью интеграла вероятности Ф(t) (4.11) (функция табулизирована)

где — кратность случайной погрешности, — доверительный интервал.

Зная доверительные границы и , можно определить доверительную вероятность

Если доверительные границы и симметричны, т. е. , то и .

При малом числе измерений в ряде ( ) используется распределение Стьюдента.

Плотность вероятности зависит от значения случайной погрешности и числа измерений в ряде n, т. е. . Доверительные границы Е в этом случае определяются

где — коэффициент Стьюдента (определяется из таблицы III приложения).

Доверительная граница и доверительная вероятность также зависит от числа измерений.

4.1.5. При статистической обработке результатов наблюдений выполняются следующие операции.

1. Исключение систематических погрешностей, введение поправок.

2. Вычисление среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, которое принимается за оценку истинного значения измеряемой величины (формула 4.8).

3. Вычисление оценки СКП измерений ( ) и среднего арифметического измерения ( ) (формулы 4.9, 4.10).

4. Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдений.

5. Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности 0,95 или 0,99 (формула 4.14).

6. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерений.

7. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения.

8. Запись результата измерений.

4.1.6. Проверка гипотезы о нормальности распределения осуществляется по критерию (Пирсона) или (Мизеса-Смирнова), если ; по составному критерию, если . При нормальность распределения не проверяется.

Если результаты наблюдений распределены нормально, то определяется наличие промахов. В таблице IV приложения указаны предельные значения коэффициента для различных значений теоретической вероятности появления большой ошибки, которую обычно называют уровнем значимости , при определенном объеме выборки. Процедура обнаружения промахов заключается в следующем. Строится вариационный ряд из результатов наблюдений . Определяется среднее арифметическое выборки ( ) и СКП выборки ( ). Затем вычисляют коэффициенты

Полученные значения и сравнивают с для заданного уровня значимости q при заданном объеме выборки. Если или , то данный результат является промахом и должен быть отброшен.

4.1.7. Проверка согласия экспериментального распределения нормальному с помощью составного критерия осуществляется следующим образом. Выбирается уровень значимости q в пределах от 0,02 до 0,1.

Критерий 1. Производится сравнение вычисляемой по опытным данным величины d с теоретическими точками распределения и (приведены в таблице V приложения) и соответствующие нормальному закону распределения при заданном уровне значимости q1 критерия 1.

Вычисление величины d производится по формуле:

Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений к нормальному закону распределений верна, если вычисленная величина d лежит в пределах

Критерий 2. Оценка по критерию 2 заключается в определении числа отклонений mэ экспериментальных значений tэi от теоретического значения tт для заданного уровня значимости q2. Для этого при заданных q2 и n находится параметр по данным из таблицы VI приложения.

Далее находится квантиль интегральной функции нормированного нормального распределения , которая определяется из таблицы II приложения для значения . Затем вычисляются экспериментальные значения

параметра по формуле (4.18)

Вычисленное значение сравнивается с теоретическим значением и подсчитывается число отклонений , для которых удовлетворяется неравенство . Значение сравнивается с теоретическим числом отклонений , которое находится из таблицы VI приложения. Если , то распределение данного ряда наблюдений не противоречит нормальному.

Если соблюдаются оба критерия, то данный ряд подчиняется нормальному распределению. При этом уровень значимости составного критерия принимается равным .

4.1.8. Определение границ неисключенной систематической погрешности осуществляется по формуле:

где — граница i-й неисключенной систематической погрешности; — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью; при Р = 0,95 = 1,1.

В качестве границ неисключенной систематической погрешности можно принимать пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей средств измерений.

4.1.9. При вычислении доверительной границы погрешности результата определяют отношение . Если , то пренебрегают случайной погрешностью и принимают, что . Если , то границу погрешности находят путем суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины:

где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешности;

— оценка СКП среднего арифметического.

Границы случайной и систематической погрешностей нужно выбирать при одной и той же доверительной вероятности.

4.1.10. Результат измерения записывается в виде .

4.2. Задачи и примеры

4.2.1. Погрешность результата измерения напряжения распределена равномерно в интервале от В до В.

Найдите систематическую погрешность результата измерения, среднюю квадратическую погрешность и вероятность того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от В до В (рис. 4.1).

Решение. Систематическая погрешность равна математическому ожиданию, которое для равномерного закона распределения определяется формулами (4.1, 4.5).

Средняя квадратическая погрешность определяется формулами (4.2, 4.3, 4.5).

Вероятность попадания погрешности в заданный интервал определяется из соотношения (4.4).

где — высота закона распределений.

4.2.2. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно с параметрами мА, мА. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

4.2.3. Погрешность результата измерения напряжения распределена по равномерному закону с параметрами с = 0,25 1/В, мВ. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

4.2.4. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно в интервале от мА; мА. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в диапазоне от мА до мА.

Ответ: мА; мА; Р = 0,5.

4.2.5. Погрешность измерения мощности распределена по треугольному закону в интервале от Вт до Вт. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт. (формулы 4.4, 4.6).

4.2.6. Для закона распределения погрешностей измерения напряжения, показанного на рис. 4.2, определите систематическую погрешность , среднюю квадратическую погрешность , если В. Найдите вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт.

4.2.7. Для закона распределения погрешностей, показанного на рис. 4.3, определите систематическую погрешность и среднюю квадратическую погрешность результата измерения, если В, В. Найдите вероятность Р того, что результат измерения отличается от истинного значения не более, чем на В.

4.2.8. Погрешность измерения напряжения распределена по нормальному закону, причем систематическая погрешность равна нулю, а средняя квадратическая погрешность мВ. Найдите вероятность Р того, что результат измерения отличается от истинного значения не более, чем на мВ.

Решение. Воспользуемся формулой (4.13).

Для нашего случая:

Следовательно, вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения, равна 0,98.

4.2.9. Результат измерения тока содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мА. Систематическая погрешность отсутствует. Какова вероятность q того, что погрешность превысит по абсолютной величине мА?

4.2.10. Результат измерения мощности содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мВт. Систематическая погрешность мВт. Найдите вероятность Р того, что результат измерения (неисправленный) превысит истинное значение мощности [6].

4.2.11. В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, определите среднюю квадратическую погрешность .

4.2.12. Контрольная поверка ЭДС нормального элемента показала, что 60% погрешностей не выходит за пределы мкВ. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону, определите среднюю квадратическую погрешность .

4.2.13. В результате поверки амперметра установлено, что 80% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, найти вероятность Р того, что погрешность измерения превосходит мА.

4.2.14. В задаче 4.2.13. найдите симметричный доверительный интервал, вероятность попадания в который Р = 0,5.

4.2.15. В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по равномерному закону, найдите среднюю квадратическую погрешность .

4.2.16. Предполагаемая дисперсия случайной погрешности частотомера была вычислена заранее и составила D = 100 Гц 2 . Определите, сколько независимых измерений n нужно сделать, чтобы погрешность попала в доверительный симметричный интервал Гц с доверительной вероятностью Р = 0,955, считая закон распределения погрешностей нормальным [6]?

Решение. Вероятность того, что при одном измерении погрешность попадет в доверительный интервал, равна

Вероятность того, что погрешность превзойдет Гц, равна (1-Р) = (1-0,159) = 0,841.

При n независимых измерениях вероятность того, что погрешность превзойдет Гц, равна (1-Р) n = 0,841 n .

С другой стороны, эта вероятность должна быть не более 1-0,955 = 0,045.

Таким образом, число измерений , так как число измерений n может быть только целым числом.

4.2.17. Погрешности результатов измерений, произведенных с помощью амперметра, распределены по нормальному закону с мА; систематическая погрешность отсутствует. Сколько n независимых измерений нужно сделать, чтобы хотя бы для одного из них погрешность не превосходила мА с вероятностью Р = 0,95?

4.2.18. Погрешность результата измерения тока распределена по нормальному закону. Значения случайных погрешностей мА, мА, среднее квадратическое отклонение мА. Определите вероятность выхода погрешности за границы доверительного интервала q для двух случаев:

1. систематическая погрешность ;

2. систематическая погрешность мА.

Решение. Определим границу доверительного интервала: при отсутствии систематической погрешности мА; при наличии систематической погрешности мА, мА.

Найдем вероятность нахождения случайной погрешности в границах доверительного интервала:

1. при отсутствии систематической погрешности воспользуемся формулой (4.13)

2. при наличии систематической погрешности воспользуемся формулой (4.12)

Следовательно, вероятность выхода погрешности за границы доверительного интервала:

1. q = 1 — 0,988 = 0,012; 2. q = 1 — 0,894 = 0,106.

4.2.19. Погрешность измерения сопротивления распределена по нормальному закону, причем средняя квадратическая погрешность Ом. Найдите вероятность того, что результат измерения сопротивления отличается от истинного значения сопротивления не более чем на 0,07 Ом, если:

1. Систематическая погрешность ;

2. Систематическая погрешность Ом.

4.2.20. Погрешность результата измерения напряжения распределена по нормальному закону со средней квадратической погрешностью мВ. Доверительные границы погрешности мВ. Определите вероятность того, что погрешность не выйдет за границы доверительного интервала для двух случаев:

1. Систематическая погрешность отсутствует;

2. Систематическая погрешность мВ.

4.2.21. Для известного числа измерений величины Х получены соответственно значения среднего арифметического и средняя квадратическая погрешность (СКП) . Определите вероятность Р того, что случайная погрешность отдельного измерения Хi не выходит за пределы доверительного интервала , т. е. имеет место неравенство при нормальном законе распределения погрешностей.

4.2.22. Запишите закон распределения погрешностей, получаемый при суммировании пяти независимых составляющих с параметрами: математическое ожидание М1 = 1 В, М2 = -2 В, М3 = 3 В, М4 = -1 В, М5 = -2 В; средние квадратические погрешности (СКП) В, В, В, В, В.

4.2.23. Запишите закон распределения погрешностей, если СКП распределения В, математическое ожидание М = 2 В. Известно, что большие и малые погрешности встречаются одинаково часто.

4.2.24. Для заданного закона распределения определите математическое ожидание и дисперсию :

4.2.25. Решите задачу, аналогичную 4.2.24, если:

4.2.26. Частота сигнала измерялась 16 раз, среднее арифметическое значение параметра, вычисленного по ряду наблюдений кГц, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического составило кГц. Определите доверительную вероятность по нормальному закону и распределению Стьюдента, если границы доверительного интервала в процентном отношении от среднего арифметического установлены .

Решение. Переведем значения границ доверительного интервала в абсолютные значения кГц или кГц. Доверительная вероятност