Примеры решения производных тригонометрических функций

Теория по производным тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций равны соответственно:

Используя эти производные и правила дифференцирования, выведем формулу для нахождения производной функции . Представим эту функции как , тогда

Далее по правилу дифференцирования частного, получим

Учитывая, что в числителе у нас записано основное тригонометрическое тождество, окончательно получим:

Аналогично можно вывести формулу для котангенса

Производные тригонометрических функций примеры

1. Производные тригонометрических функций находятся по следующим формулам:

Каждая из этих формул справедлива в любой точке области определения соответствующей функции.

2. Формулы дифференцирования.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти производную функции:

Решение. По формулам (4) и (1) из § 5, (5) из § 6 и (1а) из § 7 получим:

По формулам (9) из § 6 и (1) из § 7 получим:

Здесь мы уничтожили иррациональность в знаменателе дроби.

Используя правила дифференцирования, имеем:

Положим получим Теперь по формуле (1) из § 6 имеем:

Сделаем замену получим Нам следует выполнить дифференцирование степени. Применяя последовательно формулы (7) из § 6 и (1) из § 7, получим:

2. Найти производную функции:

Решение. 1) По формулам (4) и (1) из § 5, (5) из § 6, (2а) из § 7 получим:

— 3). Используя формулу (2) из § 7, получим:

Используя формулу (2) из § 5, получим:

Далее, применив правило дифференцирования суммы и формулы (2) и (1) из § 7, получим:

3. Найти производную функции:

Решение. По формулам (4) из § 5 и (За) из § 7 получим:

Производные простых тригонометрических функций

Для нахождения производной тригонометрической функции нужно пользоваться таблицей производных, а именно производными 6-13.

При нахождении производных простых тригонометрических функций во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

  • в выражении функции часто одно из слагаемых представляет собой синус, косинус или другую тригонометрическую функцию не от аргумента функции, а от числа (константы), поэтому производная этого слагаемого равна нулю;
  • почти всегда нужно упростить выражение, полученное в результате дифференцирования, а для этого нужно уверенно пользоваться знаниями по действиям с дробями;
  • для упрощения выражения почти всегда нужно знать тригонометрические тождества, например, формулу двойного угла и формулу единицы как сумму квадратов синуса и косинуса.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Допустим, с производной косинуса всё понятно, скажут многие, начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса двенадцати, делённых на пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) — ловушка, потому что аргумент — не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть, синус этого числа — тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим его производную, не забывая про знак:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Второе слагаемое — тот же случай, что и первое слагаемое в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную второго слагаемого как производную частного:

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями, а именно — в ликвидации трёхэтажности дроби.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Здесь буква «фи» играет ту же роль, что «икс» в предыдущих случаях (и в большинстве других, но не во всех) — независимой переменной. Поэтому, когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять равной нулю производную корня от «фи». Итак:

Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования:

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что существует такая тригонометрическая функция — секанс — и её формулы через косинус. Дифференцируем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем:

Далее применяем следующие тригонометрические тождества:

(это и есть формула двойного угла)

Пример 7. Найти производную функции

Решение. В этом примере от нас потребуется всего-то лишь умение сокращать дроби. И внимание — не забыть, что дробь нужно сократить. Это сделано на последнем шаге решения:

В решении применено тригонометрическое тождество: