Признаки равенства прямоугольных треугольников

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Признаки равенства прямоугольных треугольников». В ходе урока вы сможете продолжить разговор о свойствах прямоугольного треугольника. Учитель напомнит признаки равенства обычных треугольников, а затем перейдет к признакам равенства прямоугольных треугольников, которые тесно связаны между собой.

Введение и доказательство первого признака равенства прямоугольных треугольников

Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о ).

Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проиллюстрируем данный случай:

Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники

Доказательство:

Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:

Треугольники равны по первому признаку.

Введение и доказательство второго признака равенства прямоугольных треугольников

Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:

Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:

Треугольники равны по второму признаку.

Введение и доказательство третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Данные треугольники равны, если:

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B1) доказывается следующим образом:

Поскольку АВ = А1В1 ( по условию), ∠В = ∠В1, ∠А = ∠А1. Поэтому треугольники АВС и А1В1С1 равны по второму признаку.

Введение и доказательство четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников, введение понятия «внешний угол треугольника»

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

Доказательство:

Совместим наложением треугольники АВС и А1В1С1. Предположим, что вершины А и А1, а также С и С1 совместились наложением, а вершина В и точка В1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ1 (по определению – по условию АВ = АВ1). Поэтому по свойству, ∠АВ1В = ∠АВВ1. Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, ∠АВВ1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о . Таким образом, ∠АВ1В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ1) не может быть равен углу ∠АВВ1, ведь данный угол – тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек В и В1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А1В1С1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

  1. Омский государственный университет (Источник).
  2. Справочный портал calc. ru (Источник).
  3. Учительский портал (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 38. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о . Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Тест Признаки равенства прямоугольных треугольников (7 класс)

  • 1. Тест Треугольники (7 класс) Геометрия. 10 вопросов. Уровень: знаток .
  • 2. Тест Площадь треугольника (9 класс) Геометрия. 10 вопросов. Уровень: обновляется .
  • 3. Тест Прямоугольный треугольник (7 класс) Геометрия. 10 вопросов. Уровень: знаток .
  • 4. Тест по теме Прямоугольник Площадь прямоугольника Геометрия. 10 вопросов. Уровень: обновляется .
  • 5. Тест Соотношения в прямоугольном треугольнике Геометрия. 10 вопросов. Уровень: обновляется .

Тем, кто хочет хорошо знать геометрию и в дальнейшем отлично сдать экзамены по математике (будь то ОГЭ, ЕГЭ или ГВЭ), наши методисты предлагают воспользоваться тестом «Признаки равенства прямоугольных треугольников» (7 класс). Он состоит из десяти разноуровневых заданий, к которым имеется несколько вариантов ответов. Отвечая на вопросы, придется повторить весь материал и попрактиковаться в решении задач.

Тест по геометрии «Признаки равенства прямоугольных треугольников» очень удобен для тех, кто занимается предметом самостоятельно. Он позволяет объективно оценить свои знания. Решить тест можно у нас на сайте в режиме онлайн.

Презентация для 7 класса по геометрии на тему: «Признаки равенства треугольников»

Презентация для помощи учителю в объяснении нового материала

Содержимое разработки

Два треугольника называются равными , если их можно совместить наложением.

Если два треугольника равны , то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней углам одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.