Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

– Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

– Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

– Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

– Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора: , где – катеты, – гипотенуза.

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Признаки прямоугольного треугольника

Самые известные признаки прямоугольного треугольника являются обратными теоремами к двум его свойствам.

Признаки прямоугольного треугольника.

Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — прямоугольный.

3. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Сторона, на которой лежит центр описанной около данного треугольника окружности, является гипотенузой.

4. Если радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине его стороны, то этот треугольник прямоугольный.

(Если радиус равен половине стороны, то диаметр равен стороне. Значит, угол, лежащий напротив этой стороны — прямой (как вписанный угол, опирающийся на диаметр)).

Если на основании некоторых данных о треугольнике можно сделать вывод о том, что этот треугольник — прямоугольный, то соответствующее утверждение также может быть названо признаком прямоугольного треугольника.

Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, то этот треугольник — прямоугольный (а соответствующие стороны — его катеты).

Площадь треугольника можно найти по формуле

где a — стороны треугольника, h — высота, проведённая к стороне a. Если

то есть сторона b является высотой, проведённой к стороне a, а значит, стороны a и b перпендикулярны. Следовательно, такой треугольник — прямоугольный.

Свойства прямоугольного треугольника

Свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов треугольника равна :
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:

  • Катет, лежащий против угла 30 о , равен половине гипотенузы.
  • Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
  • Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
  • Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:

  • Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: