Радиус вписанной окружности в треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность. Радиус такой окружности будет представлять собой квадратный корень из отношения разности полупериметра с каждой стороной к самому полупериметру.

Если упростить данную формулу для прямоугольного треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора, то мы получим следующее выражение:

Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то в формуле остаются только обозначения a и b , и ее вид упрощается из все того же первого радикала до следующей формы:

В случае с равносторонним треугольником все еще гораздо проще, и его формула может быть выведена не только из формулы для произвольного треугольника, но также и из свойств высоты-медианы-биссектрисы, которые совпадают и делят любую из сторон на две равные части:

Радиус вписанной в треугольник окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:

где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.

Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр

и формулу можно записать так:

Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы.

Радиус окружности, вписанной в правильный (то есть равносторонний) треугольник

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник:

или (без иррациональности в знаменателе):

где a — длина стороны правильного треугольника.

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности также можно найти через радиус описанной окружности:

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :