Разбираем стереометрические задачи части В, которые могут встретится на ЕГЭ по математике

Сегодня в задачах – конус. Находим объем конуса, площадь поверхности.

Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на .

Объем конуса вычисляется по формуле .

Находим радиус основания по т. Пифагора:

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

В качестве высоты конуса выступает катет треугольника, равный 6. В качестве радиуса основания конуса – второй катет треугольника, равны также 6.

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса есть , где – радиус основания конуса и образующая конуса.

А поскольку длина окружности основания конуса равна и равна 5 по условию, то

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от и , так как ( – радиус, образующая конуса).

Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в 9 раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в 9 раз.

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Согласно условию ( – радиус основания конуса, образующая конуса). Откуда

Прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания таков, что катет вдвое меньше гипотенузы, значит угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Вообще говоря, достаточно сказать, что малый конус подобен исходному с коэффициентом подобия 1:2. Поэтому площади поверхностей будут находится в отношении 1:4.

Значит, площадь полной поверхности отсеченного конуса есть

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

Пусть – радиус основания и образующая исходного конуса.

Проведем образующую . Образовавшиеся прямоугольные треугольники и – подобны. Коэффициент подобия – 2. То есть

Наконец, площадь поверхности отсеченного конуса есть

Найдите объем конуса, образующая которого равна 11 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите .

, где (так как напротив угла 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы ( )) и .

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6 раз?

Если высоту уменьшаем в 6 раз, то и объем уменьшается в 6 раз.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 4,5 раза?

Если увеличить радиус в 4,5 раза, то объем увеличивается в раз.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 45.

Объем цилиндра равен , а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой равен .

Если объем цилиндра равен 45, то объем конуса равен 15.

Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Для того, чтобы найти объем, нам нужно найти радиус основания и высоту конуса (так как ).

Треугольник , образованный диаметром и соответствующими образующими, – прямоугольный и равнобедренный.

Середина гипотенузы является центром описанной окружности около треугольника . А значит . Поэтому, так как диаметр основания равен 66, то

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5. Найдите его объем, деленный на .

Объем конуса есть (где – радиус основания конуса, высота конуса).

Высота известна, найдем радиус основания конуса:

В основании пирамиды – квадрат. Пусть диагонали пересекаются в точке

Из прямоугольного (диагонали квадрата перпендикулярны) треугольника :

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Высоты обоих конусов одинаковы. Поэтому отношение объемов конусов будет зависеть только от отношения радиусов оснований конусов (а точнее, – от отношения квадратов радиусов оснований конусов).

Выясним, в каком отношении находятся между собой и :

Из равнобедренного ( , так как диагонали квадрата являются биссектрисами углов) прямоугольного треугольника (см. рис):

А значит, отношение объемов конусов таково:

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания 9 и высотой 13.

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания 18 и высотой 39.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.

Объем шара есть По условию объем шара равен 156, поэтому откуда

Объем же конуса с радиусом основания и высотой есть

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

I способ. Объем жидкости равен объему занимаемой части конуса.

Поэтому (высота уровня жидкости – если высота конуса равна ; – радиус основания конуса, чей объем занимает жидкость, т. к. треугольники и подобны и коэффициент подобия – 2 (см. рис.)).

Объем же конуса есть

Значит долить нужно миллилитров.

II способ. Можно рассуждать и так:

Отсеченный конус, образовавшийся при пересечении исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия 1:2.

Значит, объем исходного конуса есть объемов отсеченного конуса (объемы подобных тел находятся в отношении , где – коэффициент подобия). Стало быть, на усеченный конус приходится объемов отсеченного (малого) конуса.

То есть объем усеченного конуса (а значит объем жидкости, что нужно долить) есть

Рассмотрено много задач. Пора и передохнуть… А потом – за тест!

Задания ЕГЭ по теме «Цилиндр, конус, шар»

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $45$ см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $3$ р…

Найдите объём $V$ части конуса, изображённой на рисунке. В ответе укажите $ / <π>$.

Объём шара равен $36000π$. Найдите площадь его поверхности, делённую на $π$.

Найдите объём $V$ части цилиндра, изображённого на рисунке. В ответе укажите $ / <π>$.

Объём первого цилиндра равен 18 м$^3$. У второго цилиндра высота в 2 раза больше, а радиус основания — в 3 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Ответ дайте в к…

Одна цилиндрическая кружка вдвое ниже второй, зато вторая в 2 раза у́же. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Объём конуса равен 24. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего …

Объём первого конуса равен $6$ см$^3$. У второго конуса и высота, и образующая в два раза больше, чем у первого. Найдите объём второго конуса.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $45$ см (см. рис.). На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, радиус кото…

Радиус основания цилиндра равен $14$, высота — $9$. Найдите объём $V$ части этого цилиндра, изображённой на рисунке. В ответе укажите $ / <π>$.

Радиус основания конуса равен $4$, высота — $93$. Найдите объём $V$ части этого конуса, изображённой на рисунке. В ответе укажите $ / <π>$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $ <1>/ <3>$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд…

В окружность основания цилиндра вписан правильный треугольник (см. рис.). Найдите объём пирамиды той же высоты, что и цилиндр, в основании которого лежит этот треугольник, если объ…

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара (см. рис.), если его объём увеличился в $27$ раз?

Площадь полной поверхности конуса равна $90π$, а радиус основания равен $5$. Найдите высоту конуса.

Длина окружности основания конуса равна $4$, образующая равна $5$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Найдите объём $V$ конуса, образующая которого равна $10$ и наклонена к плоскости основания под углом $30^<°>$. В ответе укажите $ / <π>$.

Найдите объём $V$ части фигуры, изображённой на рисунке. В ответе укажите $ / <π>$.

Объём цилиндра равен $9$. У конуса радиус основания в $3$ раза больше, а высота в $2$ раза меньше. Найдите объём конуса.

Площадь основания конуса равна $27$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $2$ и $4$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечен…

Летопись МИФИ

Симулятор проблесков сознания

Загрузка календаря

Новые записи

Лучшие записи

Комментарии

Открытый банк задач ЕГЭ по математике 2018

Длина окружности основания конуса равна 2, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 16. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 7. Найдите площадь боковой поверхности конуса.